(完整版)《一元二次不等式及其解法》典型例题透析.doc

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析类型一：解一元二次不等式例1. 解下列一元二次不等式（1）； （2）； （3）思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.解析：（1）方法一：因为所以方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是.方法二： 或解得 或 ，即或.因而不等式的解集是.（2）方法一：因为，方程的解为.函数的简图为：所以，原不等式的解集是方法二：（当时，）所以原不等式的解集是（3）方法一：原不等式整理得.因为，方程无实数解，函数的简图为：所以不等式的解集是.所以原不等式的解集是.方法二：∵∴原不等式的解集是.总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三：【变式1】解下列不等式(1) ；(2) (3) ； (4) .【答案】（1）方法一：因为方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是：.方法二：∵原不等式等价于, ∴ 原不等式的解集是：.（2）整理，原式可化为,因为,方程的解，，函数的简图为：所以不等式的解集是.（3）方法一：因为方程有两个相等的实根：，由函数的图象为：原不等式的的解集是.方法二：∵ 原不等式等价于：, ∴原不等式的的解集是.（4）方法一：因为，方程无实数解，由函数的简图为：原不等式的解集是.方法二：∵，∴ 原不等式解集为.【变式2】解不等式：【答案】原不等式可化为不等式组 ，即，即，解得∴原不等式的解集为.类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例2. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集。

思路点拨:由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得. 解析：由题意可知方程的两根为和由韦达定理有，∴，∴化为，即，解得，故不等式的解集为.总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键举一反三：【变式1】不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数解析：(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，所以， 即， ∴ 10； （3）x2-(a+1)x+a<0； 解析：(1) ∴原不等式的解集为。

2) Δ=a2-4当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为当Δ<0，即-21时，原不等式的解集为{x|11或 -1

总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”举一反三：【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0； 【答案】当a=0时，x∈(-¥,2]. 当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为①当a>0时，若， 即时，；若， 即时，x∈R； 若， 即时，.②当a<0时，则有：， ∴ 变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1<0；【答案】当a=0时，.当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)， ①a>0时，则Δ>0，.②a<0时，若a<0，△<0， 即a<-1时，x∈R；若a<0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1；若a<0，△>0， 即 -10【答案】若a=0，原不等式化为-x+1>0，解集为{x|x<1}；若a≠0，原不等式为关于x的一元二次不等式.方程的判别式△=1-4a (Ⅰ)当△=1-4a<0，即时，方程没有实数根，故函数的图象开口向上，与x轴没有交点，其简图如下：所以，此时不等式的解集为实数集R； (Ⅱ)当△=1-4a=0，即时，方程有两个相等实数根x=2，故函数的图象开口向上，与x轴有唯一交点(2，0)，其简图如下：所以，此时不等式的解集为；(Ⅲ)当△=1-4a>0，即时，方程有两个不等实数根，，①当时，函数的图象开口向上，与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：所以，此时不等式的解集为；②当a<0时，函数的图象开口向下，与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：所以，此时不等式的解集为；综上所述：a<0时，原不等式解集为；a=0时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为实数集R.。