赵明高斯与正态分布的由来.doc

正态分布的由来正态分布是最重要的一种概率分布正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre 于 1733 年受次提出的，但由于德国数学家 Gauss 率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布．高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举但现今德国 10 马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来这要到 20 世纪正态小样本理论充分发展起来以后拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章(发表于 1810 年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”—— 误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成后来到 1837 年，海根(G.Hagen)在一篇论文中正式提出了这个学说。

其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差”之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差(近似地)服从正态分布拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一( 算术平均的优良性，误差的正态性) 为出发点但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义1809 年，高斯(Carl　Friedrich　Gauss，1777—1855) 发表了其数学和天体力学的名著《绕日天体运动的理论》 在此书末尾，他写了一节有关“数据结合”（data　combination）的问题，实际涉及的就是这个误差分布的确定问题他的做法与拉普拉斯相同但在往下进行时，他提出了两个创新的想法一是他不采取贝叶斯式的推理方式，测量误差是由诸多因素形成，每种因素影响都不大。

按中心极限定理，其分布近似于正态分布是势所必然其实，早在 1780 年左右，拉普拉斯就推广了狄莫佛的结果，得到了中心极限定理的比较一般的形式可惜的是，他未能把这一成果用到确定误差分布的问题上来高斯的第二点创新的想法是：他把问题倒过来，先承认算术平均是应取的估计，然后去找误差密度函数条件下才能成立，这就是正态分布一种概率分布正态分布是具有两个参数 μ 和 σ2 的连续型随机变量的分布，第一参数 μ 是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数 σ2 是此随机变量的方差，所以正态分布记作 N(μ，σ2 )遵从正态分布的随机变量的概率规律为取 μ 邻近的值的概率大，而取离 μ 越远的值的概率越小；σ 越小，分布越集中在 μ 附近，σ 越大，分布越分散正态分布的密度函数的特点是：关于 μ 对称，在 μ 处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为 0，在 μ±σ 处有拐点它的形状是中间高两边低，图像是一条位于 x 轴上方的钟形曲线当 μ＝0，σ2＝1 时，称为标准正态分布，记为 N（0 ，1） μ 维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

正态分布最早由 A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举但现今德国 10 马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。