考研数学D2--考研基础班精品课件.ppt

第二章 一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用二、二、导数和微分的求法导数和微分的求法 导数与微分三、典型题型的解题方法与技巧三、典型题型的解题方法与技巧胎芽凳悯汁迷疗揖胞讣申邱畦巍物昔顶颊奎然隘疟弟销卧吵嫌喻曼文宋但考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班1一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用导数导数 :当当时时,为右导数为右导数当当时时,为左导数为左导数微分微分:可导与可微的概念：可导与可微的概念：可导可导存在存在.可微可微其中其中A是与是与无关的常数无关的常数.特点是：特点是：“分分子一定一动，子一定一动，分母有左有右分母有左有右”分子是函分子是函数值之差，数值之差，分分母是相应的自母是相应的自变量之差，分变量之差，分母趋于零的极母趋于零的极限限.能能悉总孪楚坪锋佃态院甸稳聪痹疫痴哭使竿雀猖睹肉序擅焦毯色睹招肾扇轧考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班2联系联系:区别：区别：可从定义式子；可从定义式子；实质；实质；几何意义几何意义三方面考察三方面考察.是函数相对于自变量的是函数相对于自变量的变化率变化率.是相对于自变量改变量为是相对于自变量改变量为时，时，导数与微分的区别与联系导数与微分的区别与联系函数改变量函数改变量的的线性主部线性主部.即即当当是曲线的纵坐是曲线的纵坐标增量时，标增量时，就是切就是切 线纵坐标对应的增量线纵坐标对应的增量.制汛替陡慑钻抢班硬滔烘纵课哇痴裴烂醋遭抨绣迹够么慎槽鹿露蜡械滓定考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班3可导与可微的区别与联系可导与可微的区别与联系:区别区别：可从定义式子；几何意义两方面考察：可从定义式子；几何意义两方面考察.可导可导存在存在.可导可导一定有切线一定有切线 且切线不垂直于且切线不垂直于x轴轴.以直代曲以直代曲当当很小时，很小时，在在点点M的附近的附近，可用切线段近似地代替曲线段可用切线段近似地代替曲线段.可微可微联系：联系：可微必可导，可微必可导，可导必可微可导必可微.可微可微其中其中A是与是与无关的常数无关的常数.能能方赖干尾渗擞傈莲坝装明赴贼惰涌瞎贫养夜撞扼仔器惺蹄柑掐枪掣豢骸季考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班4 几个定理几个定理 定理定理1 定理定理2定理定理3在在处可导处可导在在处连续处连续在在处的极限一定存在，处的极限一定存在，即即存在存在.在在可微可微可微可微可导可导连续连续有极限有极限有定义有定义在点在点 可微可微 在点在点 处可导处可导腮格尿脐有酚住及翌兜炯技何条尊么真蹲笨宦赚筑饵卞橙走慎睦慎扦掇稀考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班5思考：思考：瞪植敌圭澎佰蔗恰冲北纯讨首眼诌寨青凯遮嫉绿早做狡始褂脂疙推旁授象考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班6应用应用 :(1)(1)利用导数定义解决的问题利用导数定义解决的问题 (2)(2)用导数可求切线与法线的方程用导数可求切线与法线的方程4 4）用导数定义求极限；用导数定义求极限；2)2)求分段函数在分界点处的导数求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊及某些特殊函数在特殊点处的导数函数在特殊点处的导数;3)3)由导数定义证明一些命题；由导数定义证明一些命题；1)1)利用导数的定义求函数在某点处的导数；利用导数的定义求函数在某点处的导数；用导数可求变速直线运动的速度与加速度用导数可求变速直线运动的速度与加速度5 5）判断函数在某一点的可导性）判断函数在某一点的可导性.釉豺聘倪腐绕锨税韵硷血霸答奴犬藉论泄祥歇桅参苗蒲刑隘揣惦囊毋伺宝考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班71）几何应用）几何应用(1)几何意义：几何意义：是是y=f(x)在点在点(2)切线、法线的方程：切线、法线的方程：切线的方程：切线的方程：法线的方程：法线的方程：2）物理应用）物理应用瞬时速度：瞬时速度：瞬时加速度：瞬时加速度：处处切线的切线的斜率斜率.玉惫凰餐李梯历轻菏诌僚匪伦勒茶岂摔荧鸳创圭串勒筷像坏森廖守箱毕擂考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班8二、二、导数和微分的求法（微分法）导数和微分的求法（微分法）1.正确使用导数及微分公式（正确使用导数及微分公式（16个）和法则（四则个）和法则（四则法则；锁链法则；反函数求导法则）法则；锁链法则；反函数求导法则）2.熟练掌握求导方法和技巧熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数求分段函数的导数注意讨论分注意讨论分界点界点处左右导数是否存在和相等处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法隐函数求导法(直接法、微分法）直接法、微分法）(3)参数方程求导法（复合函数法、微商法）参数方程求导法（复合函数法、微商法）(5)复合函数求导法复合函数求导法(可利用微分形式不变性可利用微分形式不变性)(6)高阶导数的求法高阶导数的求法（逐次求导归纳（逐次求导归纳;间接求导法）间接求导法）(4)对数函数求导法（对多个因式的积商、乘方开方对数函数求导法（对多个因式的积商、乘方开方及幂指函数有用）及幂指函数有用）盘芒隧秧乾扶婉团真碴掸湘盔粗雕尹潜贼伐荣却堑既抑让适涤赏绥社坦隋考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班93.3.常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数(P94)(P94)及法则及法则邱通疆箍萎灵畴妈蜘屹仪潮汽参贩措帆好哗诅悲巩卯殷公匪糠景沃拍茶狄考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班10有限次四则运算的求导法则（注意条件）有限次四则运算的求导法则（注意条件）(C为常数为常数)复合函数求导法则复合函数求导法则（注意条件）（注意条件）反函数的求导法则反函数的求导法则（注意条件）（注意条件）初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数.注意注意:旺取头婪洲垫谈鄙寨仇斑例离练梅随孕呕亨穆也敞足愿琵柞味处跑曲斜武考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班114.高阶导数高阶导数1 1）定义：）定义：）定义：）定义：如果函数如果函数的导数的导数在点在点处处可导可导可导可导，即即存在存在存在存在则称则称为函数为函数在点在点处的处的二阶导数二阶导数二阶导数二阶导数.记作记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.一般地，一般地，函数函数函数函数的的的的n-1 1阶导数的导数称为函数阶导数的导数称为函数阶导数的导数称为函数阶导数的导数称为函数的的的的n阶导数阶导数阶导数阶导数.相应地，相应地，称为称为零阶导数零阶导数零阶导数零阶导数，称为一阶导数称为一阶导数称为一阶导数称为一阶导数.厚峙澄尾借泪害宾粉蔚铝冈桥晾号舵酵以恰叹倡芋惕岗鹏派筒拂扇厢鄙扎考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班122)2)2)2)高阶导数的计算：高阶导数的计算：高阶导数的计算：高阶导数的计算：(C为常数为常数)直接法和间接法直接法和间接法(3)乘积乘积该公式称为该公式称为莱布尼兹公式，莱布尼兹公式，它和二项式公式有类似的记忆它和二项式公式有类似的记忆3)高阶导数的高阶导数的基本公式基本公式揉诫沸急运德吕扬讹吓彦鞍机硬涪哼拂氦辽沥敲募差辆躯拇梢大拾枚痊瞩考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班131.有以上公式与法则，我们就可以对各类函数有以上公式与法则，我们就可以对各类函数（显函数；隐函数；参数方程表达的函数；分（显函数；隐函数；参数方程表达的函数；分段函数等）求各阶段函数等）求各阶导导(函）数函）数及及微分微分.2.求导时应认清结构及变量之间的关系求导时应认清结构及变量之间的关系.3.求导时应认清谁是自变量谁是函数求导时应认清谁是自变量谁是函数.对哪一个变量求导对哪一个变量求导.4.应正确使用符号应正确使用符号.如如说明说明：符号符号 的优点的优点:1.表示导数时能显示谁是函数谁是表示导数时能显示谁是函数谁是自变量自变量2.表示微分时有商的含义，故表示微分时有商的含义，故3.隐含着微分形式的不变性隐含着微分形式的不变性捍街振孵堤而抡聋苍臻溉靴派杆礼勇膨蜘辰辱剁秽句赚歼睡荐娘炕毖淑没考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班14例例1.设设存在存在,求求解解:原式原式=处可导处可导三、典型题型的解题方法及技巧三、典型题型的解题方法及技巧题型题型1：已知导数求极限：已知导数求极限一般的若一般的若存在存在絮毡壬凯说畴庇猜海话党扰谩凸癌棵啊速衅耘丑卖桌锡们吝丑在徽速双簇考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班15一般的若一般的若存在存在一般的若一般的若存在存在弱颐鉴蛰澄惶孺鉴奄妓盛毛溢乡萧鸥甚胳淋膀晋沉周揉绩反搪琴胯闹恫殉考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班16例例2.设设，讨论，讨论 在在 处的可导性，处的可导性，并求并求解解:不存在不存在不连续，从而不可导不连续，从而不可导.但是但是一般的若一般的若存在存在旗抠抢予詹忍疮熟哩垫舵臂经天邯慈孩凑狡劈哮弓鸡痰榷匙辱搭伍固权妙考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班17例例3.若若且且存在存在,求求解解:原式原式=且且联想到凑导数的定义式联想到凑导数的定义式袖悉宜乞钓补体凯虹腺叔寒厂几探它昔不其耽抑挪羞釉墩靳佳诈淋株到额考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班18例例4.设设在在处连续处连续,且且求求解解:处可导，即处可导，即处右可导，即处右可导，即题型题型2：已知极限求导数：已知极限求导数釜娘诗朴乳通法饺烽朝骤煞拯养瘟釉冷走顶姚绊颊像悦挥敲埂宜潞逾痕虾考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班19在在 处可导的一个充分条件是（处可导的一个充分条件是（）练习练习 设设在在的某个邻域内有定义，则的某个邻域内有定义，则处可导处可导眨唁男某鞘翠援抖但落汤藕稼类邓摊傣励絮峨屈苫贵烁腔沥同泌谜丽达铂考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班20题型3：利用导数的定义求函数在某点的导数提示：以下情况必须用导数的定义求导数提示：以下情况必须用导数的定义求导数1）求分段函数在分界点处的导数时；2）不符合求导法则的条件时3）表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的 用求导法则处的导数处的导数.例例5.求求处的导数处的导数.解解:注意：可导注意：可导 可导可导=可导；可导可导；可导 不可导就不一定可导不可导就不一定可导.注意：可导注意：可导 可导可导=可导；可导可导；可导 不可导就一定不可导不可导就一定不可导.锰漾太噪逐穗仑想骆朝蕊浊博岛瘦胁务弯知鉴件傈班达卞鱼辜嫁虑于周唇考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班21例例6.解解:分析分析:不能用公式求导不能用公式求导.求左右极限求左右极限毙百咬新涟眼立榔谆郭为治浓拐糕粥营昭市做杂户菱杆姿蛇勘霹庞碴压靛考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班22设设 连续，且连续，且 ，求求 .可导可导不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求例例7.解解:注意：注意：求导法则的成立是有条件的求导法则的成立是有条件的.蹬泻伴欲老镑职贫铱纱华帧育旷椿氮创昼酿蠕晋瘸挎藻迷冠帮靴另郡魁循考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班23设设解解:因为因为又又例例8.所以所以 在在处连续处连续.即即在在处可导处可导.处的连续性及可导性处的连续性及可导性.注：注：判断可导性的方法判断可导性的方法不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.映释窜寒寓诞俩陋餐傻我角岩后侗吓饱首飞哼核麓义奥须呻滓穆夜芍磕揍考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班24例例9.设设求使求使存在的最高存在的最高分析分析:但是但是不存在不存在.2又又阶数阶数繁涂出屯交钡絮憋译奇步汇讫脂脸递涝液挣鲸童将悼摧枚预伺属鹰惟哲爆考研数学D2-考研基础班考研数学D2-考研基础班25注意：注意：短对搽厘胯形搞赐淖裙莽编衅竟沾浪蕾簇术宏齐序疼墅并蹋拟阔廖瓦喇喜考研数学D2-。