第七讲--函数迭代与函数方程.doc

1第七讲 函数迭代与函数方程对于函数 ，令()fx， ，…， ，(1)(2)(1)fxfx()(1)nnfxfx其中 ，且 ．2n*N我们将 称为函数 的 次迭代，将含有未知函数的等式称为函数()nfx()fxn方程．函数迭代与函数方程是数学竞赛中的一类重要题型．引例 分别就下面给出的 求 次迭代 ．()f()nfx（1） ，这里 为常数；()fxc（2） ，这里 为常数，且 ；ab,a1a（3） ，这里 为常数；()1fx（4） ，这里 为给定的正整数；m（5） ，这里 为正实数，且 ；2()fxab,a1a（6） ；1f（7） ，这里 为给定的正整数；()kkxfa（8） ， ；21f（9） ， ．()4)x01x求函数迭代的两种常用方法：①不动点法．它在处理函数迭代问题时经常用到，请对比递推数列中的不动点法；②桥函数法．若存在一个函数 以及它的反函数 ，使得()x1()x，1)fg我们就称 通过 和 相似，简称 和 相似，其中 称为桥()fx()gx(fx()x函数．用数学归纳法可以证明 ．()()nnfg21.已知 为一次函数，且 ，求 ．)(xf )12(3)(07207207xf )(xf2.设函数 ，满足 ，且 ，都有Rf: 1)(fRy,，2)(xfxyf求 ．)(xf3.设集合 ，映射 ，且满足 ，问满足题{1,23}AB:fAB(3)()fxf意的映射 有几个？f4.函数 定义在整数集上，满足 ，()fn3(10)()5nff求 ．(84f5.已知函数 是 的映射，满足：)(xfN①对任意非负整数 ，有 ；n)(1(nff② ，有 ．m, )mf求 ．)201(f6.已知 是 的函数， ， ，)(xfQ2)1(f 1)()()yxfxfyf求 ．)(f7.求所有函数 ，使得 ，有Nf: n．nfff 3)(()(31.定义在 上的函数 满足 ，求R()1fx20())415xffx．(204)f2.设函数 ，且对任意的实数 都有:fx，222()(3)915fxf x求 ．(50)f3.设函数 在定义域 上严格单调递增，且对所有的 ，均有()fx(0,)0x，试求 的值．1[()]()ff1f4.已知函数 的定义域为 ，且对定义域内的所有 都有()fx{01}x且 x，试求 ．12()fx()f5.设对满足 的所有实数 ，函数 满足 ，求xx()fx3()()1xff．()fx6.设函数 是定义在正整数集 到 上的增函数，且f *N有 ． （1）求 和 ；（2）猜想 的表达式，并试着给予()fn()f015)f ()fn证明．7.设函数 是定义在正整数集 到 上的增函数，且有 ，f * ()4fn，求 ．(1)3f(2015)8.设函数 ，且严格递增， ，:fN[()]3fn求 ．()9(6)f9.试求出所有函数 ，使得 ，都有Rf: Ryx,4．)()(2yfxfyxf。