中考专题---平行四边形综合复习.doc

一、同步知识梳理知识点1：平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形定义的作用：（1）给出一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两组对边分别平行，那么它一定是平行四边形；（2）给出了平行四边形的一个重要性质:两组对边分别平行知识点2：平行四边形的性质（1） 定义性质：平行四边形的两组对边分别平行2） 性质:A、平行四边形的对角相等B、平行四边形的对边相等C、平行四边形的对角线互相平分 （3）平行四边形是中心对称图形，平行四边形绕其对角线的交点旋转180后，与自身重合，我们说平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点注意：边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平分知识点3：平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形二、同步题型分析题型1：平行四边形的定义例1：如图1，四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是 _，理由是_ _解： 平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 例2：判断题：(1)两条对边平行的四边形叫做平行四边形． ( )(2)平行四边形的两角相等． ( )(3)平行四边形的两条对角线相等． ( )(4)平行四边形的两条对角线互相平分． ( )(5)两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离． ( )(6)平行四边形的邻角互补． ( )题型2：平行四边形的性质例1：如图，□ABCD中，∠B、∠C的平分线交于点O ，BO 和CD 的延长线交于E ，求证：BO=OE ．证明：在□ABCD中，∵AB//CD，　　∴ ，又∵（角平分线定义）．　　∴，又∵ ， ∴ ∴BO=OE．例2：已知：如图4－21， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．证明：在 ABCD中，AB∥CD，∴　∠1＝∠2．∠3＝∠4．又 OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴ △AOE≌△COF（ASA）．∴　OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．∵ ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．∴ AB—AE=CD—CF． 即 BE=FD．例3：如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分．证明：连结EH，HF、FG、GE∵AE⊥BD，G是AD中点． ∠GED=∠GDE同理可得 ∵四边形ABCD是平行四边形∴ADBC，∠GDE=∠HBF∴GE=HF，∠GED=∠HFB∴GE∥HF∴四边形GEHF为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴EF和GH互相平分．(平行四边形对角线互相平分)题型3：平行四边形的判定 例1：如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）(★)解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．又∵AG=CH，∴BG=DH．又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上） 例2：如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形．证明：有（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边行，∴AD∥BC，∴∠MDB=MBD，∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．三、 课堂达标检测检测题1：1. 已知在平行四边形ABCD中，∠A＝72°，∠B＝___________ 2. 已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，它的周长30。

BC＝__________ 3. 已知在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2∶3，∠B＝___________ 4. 已知在平行四边形ABCD中，∠BAC＝58°，∠ACB＝26°，∠D= ___________ 答案 1. 108° 2. 10 3. 108° 4. 96检测题2：如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：四边形AECF是平行四边形．证明：□ABCD中，ABCD∴∠ABD=∠CDB(两直线平行内错角相等)AE⊥BD、CF⊥BD∴AE∥CF∠AEB=∠CFD=90°∴△ABE≌△CDF(AAS)∴AE=CF∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)检测题3：已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．(★)证明：∵□ABCD中，对角线AC交BD于点O，∴OB=OD，又∵四边形AODE是平行四边形，∴AE∥OD且AE=OD，∴AE∥OB且AE=OB，∴四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．一、专题精讲 例1：平行四边形的综合判定如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形．（2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．例2：平行四边形中的计算如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　）解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴ ，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．例3：平行四边形的折叠如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，∴DO=DA，∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，∴∠AEO=60°，又∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO=∠AEO=60°，∴BC∥AE，∵∠BAO=∠COA=90°，∴CO∥AB，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）解：设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，在Rt△ABO中，∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，∴ ，在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2， ，解得：x=1，∴OG=1．二、专题过关检测题1：如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=　　..解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=．检测题2: 将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点与重合，点落到处，折痕为．（1）求证：；（2）连结，判断四边形是什么特殊四边形？说明你的结论．证明：（1）证明：由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′，∠C=∠D′AE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD．∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3．∴∠1=∠3．∴△ABE≌△AD′F（ASA）（2）解：四边形AECF是菱形．证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠5=∠6．∴∠4=∠6．∴AF=AE．∵AE=EC，∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．∵AF=AE，∴四边形AECF是菱形．三、学法提炼1、专题特点：针对无锡中考的证明题，偏难一点针对无锡中考的计算压轴题，难度小些，主要是综合性不能太高2、解题方法掌握好平行四边的判定方法当图形中出现两个及两个以上的等边三角形或正方形或等腰直角三角形时，一定会有全等有平行，有交点，定有相似折叠要掌握好轴对称的性质3、注意事项 注意角的范围，平角，周角的应用在比例时一定要看好是谁比谁，不要乱比折叠时，不要怕，等量关系多，从边到角一个一个标记一、 能力培养综合题1 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出。