伯努利方程的解法及其应用.doc

编号编号 学学士士学学位位论论文文伯努利方程的解法及其应用伯努利方程的解法及其应用学生姓名： 江倩 学 号： 20070102018 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2007 级（2）班 指导教师： 胡爱莲 完成日期： 2011 年 5 月 14 日 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESISI中文摘要在参考现有伯努利方程解法的基础上，归纳了几类求解伯努利方程的方法，并探讨了伯努利方程在解某些微分方程中的应用关键词：关键词：伯努利方程；变量代换；常数变易；积分因子；应用 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESISIIThe Solving Methods and the Applicationsof Bernoulli equationAbstractIn the foundation of referring the solving methods to Bernoulli equation ，this paper summarizes some classes methods to solve Bernoulli equation， and discusses the application of Bernoulli equation for solving some differential equationskey words： Bernoulli equation； Variable substitution； Constant change；Integrating factor；Application 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESISIII 目录中文摘要.IABSTRACT.II引言.11.伯努利方程的解法.11.1 变量代换法.11.1.1 一般解法.11.1.2 函数变换法.21.1.3 求导法 .21.1.4 恰当导数法.31.2 常数变易法.41.3 积分因子法.51.4 解法举例.52.伯努利方程的应用.102.1 在一阶微分方程中的应用.102.1.1 在形如( )( )00( )( )()y xy xny yp xy dyq xy dy （( )0y xy dy 存在且不为零）方程中的应用 .102.1.2 在形如1 ( )( )( )( )yyyyfx hygyxhxxxx方程中的应用.112.1.3 在黎卡提方程中的应用.112.2 在高阶微分方程中的应用.132.2.1 在形如( )( )0yp x yq x y方程中的应用.132.2.2 在形如( )( )( )0p x yq x yr x y方程中的应用 .14 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESISIV2.2.3 在形如1( )()nypyqyryf xysys y方程中的应用.163总结.18参考文献.19致谢.20 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS1引言引言在数学科学体系中，微分方程是其中的一类，而伯努利方程又是微分方程中的一个类型，这类方程形如，其中、为的连续( )( )nyP x yQ x y( )P x( )Q xx函数，为常数且0，1。

伯努利方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程，nn一般地，该方程可以通过某些数学方法转化为线性微分方程，进而用初等积分法来求解在数学发展史上，常有一种问题多种解决办法的传统，因此，许多学者都致力于研究伯努利方程的求解本文在充分分析这些参考文献的基础41上，根据其解法特征，将它们进行了分类整理，便于对各种解法的理解和认识同时，探讨了伯努利方程在求解其他类型常微分方程中的应用本文主要分成两个部分，结构如下：第一部分是伯努利方程的解法，主要给出了伯努利方程的变量代换法、常数变易法、积分因子法等三种方法；第二部分是伯努利方程的应用，主要探讨了伯努利方程在一阶微分方程和高阶微分方程的求解中的应用1.1.伯努利方程的解法伯努利方程的解法1.11.1 变量代换法变量代换法1.1.1 一般解法伯努利方程：（0，1） ，( )( )ndyP x yQ x ydxn其一般解法步骤如下： 方程两端同除以得：ny.1( )( )nndyyp x yQ xdx 令即可化为一阶线性微分方程：z 1 ny 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS2(1) ( )(1) ( )dzn P x zn Q xdx 通过常数变易法求得一阶线性非齐次方程的通解 最后经变量代换得原方程的通解，即： (1)( )(1)( )1(1)( )np x dxnp x dxnyn eQ x edxc11.1.2 函数变换法设是伯努利方程的解，则对两边求导得：( ) ( )yu x v x( ) ( )yu x v x，( ) ( )( ) ( )yu x v xu x v x将上式代入方程得：，( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )nnu x v xu x v xp x u x v xQ x ux vx整理得： ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )nnu x v xu x v xp x v xQ x ux vx（1.1） 令解得：( )( ) ( )0v xp x v x ( )( )p x dxv xe， （1.2）将（1.2）式代入（1.1）式得：，( )( )( )( )( )p x dxnp x dxnu x eQ x ux e整理得： ，(1)( )( )( )( )np x dxnu x uxQ x e两边积分得：，(1)( )1( )(1)( )np x dxnuxnQ x edxc故伯努利方程的通解为：(1)( )(1)( )1(1)( )np x dxnp x dxnyn eQ x edxc2 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS31.1.3 求导法令，1( )( )nzA x yB x对上式两边求导得：，1( )( )(1)( )nnzA x yA xn yyB x即有：，11( )( )(1) ( )nnyyzB xA x yn A x代入伯努利方程得：1(1) ( ) ( )( )( )(1) ( ) ( )0nzn A x p xA x yB xn Q x A x令 ， (1) ( ) ( )( )0n A x p xA x( )(1) ( ) ( )0B xn Q x A x解得： ， (1)( )( )np x dxA xe(1)( )( )(1)( )np x dxB xnQ x edx这时伯努利方程变为，解得.0z zc于是得到伯努利方程的通解为：(1)( )(1)( )1(1)( )np x dxnp x dxnyenQ x edxc31.1.4 恰当导数法令，有，( )( )p x dxu xe( )( )( )p x dxu xp x e 即：( )( )( )u xp xu x 则伯努利方程变形为：，11( )( )( )( )( )nnnu xyyyQ x uxu xux，11( )( )( )( )( )nnyu xyQ x uxyu xu x 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS4，11()()( )( )( )nnylnylnuQ x uxu x，11()( )( )( )nnyylnQ x uxuu x设得：yuz，11()( )( )nnlnzQ x ux z （可分离变量微分方程） 1( )( )nnzQ x uxz两边积分解之得：，11(1)( )( )nnznQ x ux dxc用，回代得伯努利方程的通解为：yzu( )( )p x dxu xe(1)( )(1)( )1(1)( )np x dxnp x dxnyn eQ x edxc2 1.21.2 常数变易法常数变易法方程， （1.3）( )( )0,1nyp x yQ x yn（1.3）的齐次方程的通解为：( )p x dxyce设原方程的通解为：，( )( )p x dxyc x e代入（1.3）得：( )( )( )( )( )p x dxnp x dxnc x ecx eQ x这是一个可分离变量的微分方程，可求出1( )ncx即： ，(1)( )1( )(1)( )np x dxncxnQ x edxc则原方程的通解为: 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS5(1)( )(1)( )1(1)( )np x dxnp x dxnyn eQ x edxc4 1.31.3 积分因子法积分因子法将原伯努利方程化为：， 1( ( )( )0nnp x yQ x dxy dy（1.4）有 1( )( ),nnMp x yQ x Ny则： ，1()(1) ( )MNn p xNyx只是关于的函数，则其积分因子为，x( )u x，(1)( )( )np x dxu xe将乘以(1.4)式得：(1)( )( )np x dxu xe ， (1)( )(1)( )1 ( )( )0np x dxnp x dxnnep x yQ x dxy edy（1.5）（1.5）式为全微分方程，其通解为：，(1)( )(1)( )( , )( )np x dxnp x dxnu x yQ x edxy edyc 即：，(1)( )(1)( )11( )1np x dxnp x dxnyeQ x edxcn整理得伯努利方程的通解为：(1)( )(1)( )1(1)( )np x dxnp x dxnyn eQ x edxc51.1.4 4 解法举例解法举例例：解微分方程：26dyyxydxx 解： 一般解法： 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS6方程两端同除以得： 2y，26dyyxdxxy 令有： 1zy，6dzzxdxx它的通解为： ，268xczx故原方程的通解为： 2168xcyx 函数变换法：设是原方程的解，代入原方程得：( ) ( )yu x v x ，226( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )u x v xv x u xu x v xxux vxx 即： ， 226( ) ( )( ) ( )( )( )( )u x v xu x v xv xxux vxx （1.6）令，解得6( )( )0v xv xx6( )v xx将代入（1.6）式得：( )v x，6212( )( )u x xxux x 整理得:，72( )( )u xx ux 解得：，81( )8xuxc 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS7故原方程的通解为：2168xcyx 求导法： 令，1( )( )zA x yB x 对上式两边求导得：，12( )( )( )zA x yA x yyB x，211( )( )( )yyzB xA x yA x 代入原伯努利方程得：，16( )( )( )( )0zA xA x yB xA x xx令 ， 6( )( )0A xA xx( )( )0B xA x x解得： ， 6( )A xx8( )8xB x ，1( )( )zA x yB xc得： 216( )( )8cB xxcyA xx故伯努利方程的通解为：2168xcyx 恰当导数法： 令 ， ，( )u x66dxxex 5( )6u xx则 ( )6( )( )u xp xu xx 则原方程化为： 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS8，2( )( )( )( )u xyyyxu xu xu x ，( )( )( )( )yu xyxu xyu xu x ，()()( )( )ylnylnuxu xu x ，()( )( )yylnxu xuu x 令得：yuz，()。