2022年高考数学一轮复习第十一章推理与证明11.2直接证明与间接证明讲义.doc

2022年高考数学一轮复习第十一章推理与证明11.2直接证明与间接证明讲义考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度xxxxxxxxxx1.直接证明1.不等式证明2.数列证明3.函数证明A解答题★★★2.间接证明1.不等式证明2.数列证明3.函数证明A解答题★★★分析解读　　本节内容江苏高考一般很少单独考查,一般都和其他知识相结合,放在不同的解答题中考查其运用.五年高考考点一　直接证明1.(xx广东理,19,14分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*.(1)求a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.解析　(1)依题意,得2S1=a2--1-,又S1=a1=1,所以a2=4.(2)当n≥2时,2Sn=nan+1-n3-n2-n,2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1),两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),即-=1,又-=1,故数列是首项为=1,公差为1的等差数列,所以=1+(n-1)×1=n,所以an=n2.(3)证明:当n=1时,=1<;当n=2时,+=1+=<;当n≥3时,=<=-,此时++…+=1++++…+<1++++…+=1++-=-<.综上,对一切正整数n,有++…+<.教师用书专用(2)2.(xx湖北理,22,14分)设n是正整数,r为正有理数.(1)求函数f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(x>-1)的最小值;(2)证明:0时, f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)内是增函数.故函数f(x)在x=0处取得最小值f(0)=0.(2)证明:由(1)知,当x∈(-1,+∞)时,有f(x)≥f(0)=0,即(1+x)r+1≥1+(r+1)x,且等号当且仅当x=0时成立,故当x>-1且x≠0时,有(1+x)r+1>1+(r+1)x.①在①中,令x=(这时x>-1且x≠0),得>1+.上式两边同乘nr+1,得(n+1)r+1>nr+1+nr(r+1),即nr<.②当n>1时,在①中令x=-(这时x>-1且x≠0),类似可得nr>.③且当n=1时,③也成立.综合②,③得0,判断函数g(x)=f(x)-mx零点的个数;(2)设a0),所以g'(x)=ex-m.当m≤1时,g'(x)=ex-m>e0-m≥0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)>g(0)=1,此时函数无零点.当m>1时,令g'(x)=ex-m=0,得x=ln m,当x∈(0,ln m)时,g'(x)<0,g(x)在(0,ln m)上单调递减;当x∈(ln m,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在(ln m,+∞)上单调递增.故g(x)min=g(ln m)=m-mln m=m(1-ln m).当10,此时函数无零点,当m=e时,g(x)min=0,此时函数有1个零点.当m>e时,g(ln m)<0.又因为g(0)=1>0,故函数在(0,ln m)上有唯一零点.g(2ln m)=e2ln m-m·2ln m=m2-2mln m=m(m-2ln m),令φ(m)=m-2ln m(m>e),则φ'(m)=1->0,所以φ(m)在(e,+∞)上单调递增,φ(m)>e-2>0,故g(2ln m)>0,故函数在(ln m,+∞)上有唯一零点,此时函数有两个零点.综上,当me时,函数有2个零点.(2)>.要证>,只要证>.只要证>==1-,令h(x)=+-1(x>0),所以h'(x)=-=>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,故h(x)>0,所以+-1>0,故原不等式成立.2. (xx江苏无锡一中月考)已知函数f(x)=tan x,x∈,若x1,x2∈,且x1≠x2,求证:[f(x1)+f(x2)]>f.证明　要证[f(x1)+f(x2)]>f,即证明(tan x1+tan x2)>tan ,只需证明>tan ,只需证明>.由于x1,x2∈,故x1+x2∈(0,π).所以cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0,1+cos(x1+x2)>0.故只需证明1+cos(x1+x2)>2cos x1cos x2,即证1+cos x1cos x2-sin x1sin x2>2cos x1cos x2.即证cos(x1-x2)<1.由x1,x2∈,x1≠x2知上式显然成立,因此[f(x1)+f(x2)]>f.考点二　间接证明3.(xx江苏无锡期中)设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是　　　　. 答案　③4.(苏教选2—2,二,2,9,变式)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.解析　(1)当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1.又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,两式相减得an+1=an,所以{an}是首项为1,公比为的等比数列,所以an=.(2)证明:反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar+1(p-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.解析　(1)由题设得g(x)=(x-1)2+1,其图象的对称轴为x=1,所以函数在区间[1,b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,即b2-b+=b,解得b=1或b=3.因为b>1,所以b=3.(2)假设函数h(x)=在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数,因为h(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,所以有即解得a=b,这与已知矛盾.故不存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数.B组　xx模拟·提升题组(满分:15分　时间:10分钟)解答题(共15分)　(xx江苏射阳中学质检)各项均为正数的等比数列{an},a1=1,a2a4=16,{bn}的各项均为正数,前n项和为Sn,a4=b3,且6Sn=+3bn+2(n∈N*).(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)令cn=(n∈N*),求使得cn>1的所有n的值,并说明理由;(3)证明{an}中任意三项不可能构成等差数列.解析　(1)设{an}的公比为q,则q>0.∵a2a4=q4=q4=16,∴q2=4,∴q=2,∴an=2n-1,∴b3=a4=8.∵6Sn=+3bn+2,①∴当n≥2时,6Sn-1=+3bn-1+2,②①-②得6bn=-+3bn-3bn-1(n≥2),即(bn+bn-1)(bn-bn-1)=3(bn+bn-1)(n≥2),∵bn>0,∴bn-bn-1=3,∴{bn}是公差为3的等差数列.当n=1时,6b1=+3b1+2,解得b1=1或b1=2,当b1=1时,bn=3n-2,此时b3=7,与b3=8矛盾;当b1=2时,bn=3n-1,此时b3=8=a4,∴bn=3n-1.(2)∵bn=3n-1,∴cn==,∴c1=2>1,c2=>1,c3=2>1,c4=>1,c5=<1,下面证明当n≥5时,cn<1.事实上,当n≥5时,cn+1-cn=-=<0,即cn+11的所有n的值为1,2,3,4.(3)证明:假设{an}中存在三项p,q,r(p