（可编）空间直角坐标系与空间向量典型例题.docx

空间直角坐标系与空间向量一、建立空间直角坐标系的几种方法构建原则：遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上作法：充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下：（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例 1 已知直四棱柱 ABCD － A1B 1C1D 1 中， AA1 ＝ 2 ，底面 ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角， AB ∥ CD ， AB ＝ 4， AD ＝ 2 ，DC ＝ 1 ，求异面直线 BC 1 与 DC 所成角的余弦值．解析：如图 1 ，以 D 为坐标原点，分别以 DA 、DC 、DD 1 所在直线为 x 、y、z 轴建立空间直角坐标系，则 C1 （０， 1 ， 2 ）、 B （ 2， 4 ，０），∴ BC1 ( 2， 3，2) ， CD (0， 1，0) ．设 BC1 与 CD 所成的角为 ，5则 cosBC1 CD BC1 CD3 17．17（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系例 2 如图 2 ，在三棱柱 ABC － A1 B 1C1 中， AB ⊥侧面 BB 1 C1 C， E 为棱 CC 1 上异于C、 C1 的一点， EA ⊥EB 1 ．已知 AB2 ， BB 1＝ 2 ， BC ＝ 1 ，∠ BCC 1＝ ．求二3面角 A－ EB 1 － A1 的平面角的正切值．解析：如图 2 ，以 B 为原点，分别以 BB 1 、 BA 所在直线为 y 轴、 z 轴，过 B 点垂直于平面 AB 1 的直线为 x 轴建立空间直角坐标系．由于 BC ＝ 1， BB 1 ＝2 ， AB ＝ 2 ，∠ BCC 1 ＝ 3 ，3 1∴在三棱柱 ABC － A1B 1C1 中，有 B（０， ０， ０）、A（０， ０， 2 ）、B 1（０， 2 ，０）、c ， ，0 、2 203 3C1 ， ，2 2．设 E3 ， a，0 且 1 a 3 ，2 2 2由 EA ⊥ EB 1 ，得EA EB1 0，即 3 ，a， 23 ，2a，02 23 a( a 2) a 2 2 a 3 0 ，∴ a 1 a 3 0 ，4 4 2 21 3 3 1即 a 或 a （舍去）．故 E ， ，0 ．2 2 2 2由已知有EA EB1 ，B1 A1EB1 ，故二面角 A－ EB 1 － A1 的平面角 的大小为向量B1 A1 与 EA 的夹角．因 B1 A13 1BA (0，0， 2) ， EA ， ， 22 2故 cosEA B1A1 EA B1 A12 ，即 tan 23 2（三）利用面面垂直关系构建直角坐标系例 3 如图 3 ，在四棱锥 V－ ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD ⊥底面 ABCD ．（ 1）证明 AB ⊥平面 VAD ；（ 2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值．解析：（ 1 ）取 AD 的中点 O 为原点，建立如图 3 所示的空间直角坐标系．设 AD ＝ 2，则 A（ 1，０，０）、 D （－ 1 ，０，０）、 B （ 1 ， 2 ，０）、 V（０，０， 3 ），∴ AB ＝（０， 2 ，０）， VA ＝（ 1 ，０，－ 3 ）．由 AB VA(0，2，0) (1，0，3) 0 ，得AB ⊥ VA ．又 AB ⊥ AD ，从而 AB 与平面 VAD 内两条相交直线 VA 、AD 都垂直，∴ AB ⊥平面 VAD ；（ 2）设 E 为 DV 的中点，则 E1 ，0， 32 2∴ EA3，0，3 ， EB3 ，2，3 ， DV(1，0，3) ．2 2 2 2∴ EB DV 3 ，2， 32 2(1，0， 3) 0 ，∴ EB ⊥ DV ．又 EA ⊥ DV ，因此∠ AEB 是所求二面角的平面角．∴ cosEA，EBEA EB 21．EA EB 721故所求二面角的余弦值为 ．7（四）利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例 4 已知正四棱锥 V － ABCD 中，E 为 VC 中点，正四棱锥底面边长为 2 a，高为 h．（ 1）求∠ DEB 的余弦值；（ 2）若 BE ⊥ VC ，求∠ DEB 的余弦值．解析：（ 1 ）如图 4 ，以 V 在平面 AC 的射影 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中 O x∥ BC ， O y∥ AB ，则由 AB ＝ 2 a， OV ＝ h，有 B（ a， a，０）、 C（- a， a，０）、 D （ - a， - a，０）、 V（0 ， 0 ， h ）、a a hE ， ，2 2 23 a h a 3 h∴ BE a， ， ， DE ， a， ．2 2 2 2 2 2BE DE6a 2 h2∴ cosBE，DEBE DE，10a 2 h 26a 2 h2即 cos∠ DEB；10a 2 h2（2 ）因为 E 是 VC 的中点，又 BE ⊥ VC ，所以 BE VC0 ，即3 a， a h( a， a，h) 0 ，，2 2 223 a 2 h2∴ a0 ，∴ h2a ．2 2 26a 2 h2 1 1这时 cosBE，DE10a 2 h2，即 cos∠ DEB ．3 3引入空间向量坐标运算， 使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析， 只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．（五）利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例 5 已知两个正四棱锥 P－ ABCD 与 Q－ ABCD 的高都为 2 ，AB ＝ 4 ．（1 ）证明： PQ⊥平面 ABCD ；（2 ）求异面直线 AQ 与 PB 所成的角；（3 ）求点 P 到面 QAD 的距离． 简解：（ 1 ）略；（2 ）由题设知， ABCD 是正方形，且 AC ⊥ BD ．由（ 1）， PQ⊥平面 ABCD ，故可分别以直线 CA， DB， QP 为 x ， y， z 轴建立空间直角坐标系（如图 1 ），易得AQ ( 2 2，0，2)，PB(0，2 2，2) ， cosAQ，PBAQ PB 1．AQ PB 3所求异面直线所成的角是arccos 1 ．3（3 ）由（ 2 ）知，点D (0，2 2，0)，AD( 2 2，2 2，0，) PQ(0，0，4) 设 n = （ x， y， z）是平面 QAD 的一个法向量，则n AQ 0，得2 x z0，取 x ＝ 1 ，得n = (1， 1，2) ．点 P 到平面 QAD 的距离n AD 0，x y 0，PQ ndn2 2 ．点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第（ 3）问也可用“等体积法”求距离．二、 向量法解立体几何（一）知识点向量的数量积和坐标运算6图3 甲a,b 是两个非零向量， 它们的夹角为 ，则数 | a || b |cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积） ，记作 a b ，即 a b| a || b |cos .其几何意义是 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积 . 其坐标运算是：若 a (x1 , y1 , z1 ), b (x2 , y2 , z2 ) ，则① a bx1 x2y1 y2z1 z2 ；2② | a | x1y1 z1 ,| b | x2y2 z2 ；22222③ a bx1 x2y1 y2z1 z2④ cosa,bx1x 22 2x1 y1y1 y22z1 x 2z1 z22 2 2y 2 z2（二）例题讲解题型：求角度相关1. 异面直线m, n 所成的角分别在直线 m, n 上取定向量a, b, 则异面直线m, n所成的角 等于向量a, b所成的角或其 A nC a补角（如图 1 所示），则 cos| a| a |b | .| b |n mD 图1 b B2. 直线 L 与平面 所成的角在 L 上取定 AB ，求平面 的法向量 n（如图 2 所示） ，再求cos| AB n | L， B n则 为所求的角 .23. 二面角| AB || n |A图方法一：构造二面角 l 的两个半平面 、 的法向量n1 、 n2（都取向上的方n1 n2向，如图 3 所示），则l11① 若二面角 l 是“钝角型” 的如图 3 甲所示，那么其大小等于两法向量n1 、n2的夹角的补角，即cosn1 n2 . n n12| n1 | | n2 |② 若二面角 l 是“锐角型” 的如图 3 乙所示， 那么其大小等于两法向量ln1 、n2 的 图夹角，即cosn1 n 2 . .| n1 | | n2 | n2B方法二：在二面角的棱 l 上确定两个点 A、B ，过 A、B 分别在平面 、 内求l n1A图4出与 l 垂直的向量 n1 、n2（如图 4 所示），则二面角 l 的大小等于向量n1 、 n2的夹角，即cosn1 n2 .| n1 | | n 2 |题型：求距离相关1. 异面直线分别在直线m、n 。