解析几何中的开放型题及其思维对策.pdf

中学数学月刊1999年第3期士1一2 一一人,易求得a丫了.飞-,`1 ~~二~,口一 艺丫万 一了’`’z把zl -一二 丁亡 匕 乙了了2代 人 原方 程检 验 知,它们 均不是原 方程的根,所以此题无解.在解 析 几 何 中,利用必要 条 件 去求轨 迹方 程 的例子很多,但 必 须 对所求方 程 进 行 检查,以确保其纯粹 性,这里 就不 赘述 了.总之,必要条件 与充 要条件相比,相 对较弱,易于 寻求和使用.所以有意 识地、合 理 恰当 地 利用必 要条 件 解 题,能起到 缩 小“目标”活动范围,打开思路,优化 解题 过 程 的作用,为 进一步求解 铺 平 道路,但必 须 对 所 得 的结果加以检 验或 证 明.解析几何中的开放型题及其思维对策江苏省宜兴中学怎样 的题才是开放型的呢?一 般 地说,一个习题系统R通常包 括四要素:已知 条 件r、解题依 据解 题 方 法P、结论z,即:R~{r,o,P,z}.四要 素 齐备的题,为“封 闭型题”.缺少或P的题,为“半封 闭型题 , ’; 结 论需要 探 求的为“探索型题”;仅 给出已知条 件者 为“问题性题”;探索型题 及问题性题统 称“开放型题’,.开放型题 的结论有 待 探求,故思维 难以定 向.而结论 之所以难予判 定,又往往 是因为问题比较 抽 象,一 般 规 律 未能 显露出来.因此,这类题 对锻 炼思维大 有裨益.处 理开 放型题时,常用的思 维对 策有:1寻 求矛盾的策略凡 涉 及“是否存 在”、“是否具 有 某 种 性质”等一类的未 定结论的讨论式的开 放型题,我们总是 先假定 结论 中相对立的某一方面成立,进而演 绎 推理,若出现矛盾,即否定了先前的假设,从而得出了另一方面的结 论.这种寻求矛 盾或反例的策略,实际上是 证明问 题的某项必要条件 不能 达到.张弃道(2 1410 0)尸到l的距离d与】尸F:}的比例 中项?若能,求出尸点坐标;若不 能,说明理 由.解二a=5,b~12,⋯`一: 3,亡一琴.勺假 设 在左 半 支上存在尸点满足题意,则.。

_.IP FI}al`}一a’!厂户’}’“”丁丙丽一磅了可一百:·`尸 Fl`一矗`pFZ卜F 5I P一由双 曲线 定 义可知}PF:}一1尸F:1=1 0_」,,_,~~.2 5.~_6 5由此得 }P FI!一竿,}尸F:1一竿.一--一,一`·4”一`’4’而 在△P凡F:中,有}尸F,l+】尸F:I)2`,当尸点 段FIF:上时}尸F,}+}尸F:}~Zc.一65.2 5、__~~,,、、`、,,L_` 于是竿+岑)26,矛盾,故 这样 的P点`~4’4一一’`’“’~~””`-不存在.`._一一例2在抛 物 线y~青扩一l上 是否存“一一`~~~JZ一-一 ~~’ J在 关于直线y一x对 称的两点?略解设存 在A,B两 点关于直 线y一x对 称,则A B所在 的直 线方 程为y-一x+. b由{二二全二+产“点为(拼)·例;已知双 曲线c:票 乙Oy2 一,左、右 焦点 分 别为F,,FZ,左 准 线 为,问能否在双曲线的左 半 支上找 到一点尸,使{尸 F;是(1 !y一下X`一,,_ 田万`_得 `+Zx一一二,Ly一x十x+xZ~一,可知二一而扩十Zx14 4lll.1 22 b0-b:.l2b2.1 9 9 9年 第`3期中学 数学月刊+2一0无 实数解,因此假 设是错误 的.2充要条件推 导的策略把 存 在性命题 当作求解 题来 做,利用 充要条 件 进行 推理,将满足条 件的数学对 象求出来.好处是:推导过 程本 身就是验 证过 程.例3已知两圆:cl:扩+少一4x一5-o,C::2 5x2+2 5夕,+sox一1 1=o,问是否存 在同时满足 下列条件 的抛物 线:(1 )顶点是两圆外 公切线的交 点;(2)对称 轴 过两 圆的 圆心;(3 )和C,有且仅 有两个 公共 点?若存在,有几条;若不存 在,说明理由.解两圆的标准形 式是C, :(x一2)’+夕,=o,在?若 存在,求出方程;若不存在,说明理由.解设P,尸 同在 直 线m:Ax+场+C一O上运动,则还应有A丫+脚`十C一.0丫x ’一3x+Zy十1,了一x+4y一3,:.(3A+B)x+(ZA+4B)y十(C+A一3B)=O,由两直线重合的条件:3 A+BZA+4BABC+A一3B - —一龙, 七CZ’`x+`’2+,’一(晋)’.丫两圆圆心在x轴上,因此两圆外 公切线交点A必 在x轴上(如图1).设 外公切 线与两 圆的切点分 别为51,52.由定比分点公式 易得A(一3,0 ).设抛物 线 的方程为夕,=ZP(x+3),考 虑方程组巧犷一2,{!+;’,L(x一2)`+了一. 9消去y则xZ+(ZP 一4)x+(6P 一5)一0.令△一(ZP一4)2一4(6P 一5 )一o冷P 一1或 者P ~9.当P 一1时,抛 物线少一2(x+3 )同时满足题 设条 件,但 当P一9时,犷一1 8(x+3 )与C,没有公共 点.所以,这样的抛物 线存 在,仅有一条.例4设 动 点尸,尸`坐标分 别 为(x,y),消去A,B,C得kZ一7k+10=o,: ’kl=2,kZ=5.当kl一2时,x一y+4一O;当kZ一5时,4x+sy一5一. 0所以,满足条 件的直 线是存 在的,其方程为x一y+4一o或者4x+sy一5一. 0例5设 抛物线过定 点A( 0,2 ),且以x轴 为准线,(1)求抛物线顶点M的轨迹C;(2)如果点P(a,1)不 段y=1(一2镇x镇2 ) 上,则 当a取何值时,过尸点存在一对互相 垂直的直线 同时 与曲线C有公共点.分析( 1)抛物线过定点,准线方程又已知,焦点 的轨 迹方程便不言而喻了.欲 求顶点M之轨迹,不就是读 者已经相 当熟悉的转移法吗?(2 )是否存 在 这样一对互 相垂 直 的直线呢?如果存在,那么结果 会怎么样?解l ()设抛 物线 顶点坐标 为M(x,y),则抛物线 焦 点坐标 为F(x,Zy),O为坐标原点,由 抛 物 线 定义得}A F{一!AOI,., .丫xZ+(2夕一2)’=2,即x,+4(少一1)’=4,故所求 轨迹Cl为椭圆O).:军+(,一l)2一1(,笋任(2 )设过点尸a (,1 )的直线l:y一1一k(x一a),则y一1一k(x一a),x,+4(少一l)’=4= >xZ+4 k2(x一a)2(了,了),它 们满足了一3x+Zy十,了一x+y一3若尸,尸`在同一直 线上 运动,问这样 的直 线是 否存=,即(+)xZ一“x+(“Z一)=.△=6[Z(一,)+]),就是Z(一’)+)设过点尸与直线垂 直的直线 为y一14.:414 k2s ka4ka101k4a10k4a10.l1中学 数学月刊1 9 ” 年第3期1,二二二—一百一气 2—“少,龙_。

一~1, 、,\八士足用得 百戈4一a一少十1芳.U 尺-若这一对互相垂直的直 线 同时与 曲线C(kZ(4一a“)+1)O,有交点,则戒1,、二、_有解,又“2,⋯a“>4,4一aZv福 而一石,⋯ R):.’.’S`,+S,:+S`3+⋯ +S`,0.’. ’lim (51+52+ ⋯S,)=『r,,:.由数列极限 的定义,对于上述的:>O,必可找 到N,使得当n>N时,有}(51+52+⋯+S,)一二rZI N 时,S,十52+ ⋯ 十民>7 r rZ一`~二R,,:.0甘切产”~“’~,「“~一’aZ’b艺一、~`b>0 )上 的动点尸引圆O:尸+犷一护的两条切 线尸 A,尸B,A,B分 别为 切点,直线AB分别 与x,y轴 交于M,N两点,求(1 )△材ON面积的最小 值;〔2)椭 圆C上是否存 在尸`点,由尸,向圆O所 引两切线互相垂直?证明你的结论.分析C上是否存在这样的点 P ’呢?如果存在,猜想:与a,b可能有关.解( l)设尸(x),则 切 点 弦A B的方程 为二一护,于是M(竺,0 ),N( 0.X1.~,,,__,,卜从l l I JO 人f ON一花了l口义姓}.}口八} 乙Zb}x。

a{少1)夕端+矿式b3即丝⋯△MoN 面积的最刁、值 为 答·(2 )若 乙A尸`B二90 0,则OA尸`B为正方形,IoAI一IA p,l,⋯ 一丫端+,:一,2(其中(x)为 点尸`坐标),即瑞+川一2护,又bZx若+a,y若=aZbZ,从而解 得 {端一黔沁y:一些{子三爵兰沁于是可知,当a)勺厂厄一b时,椭圆c上存~`一,1abb丫a,一2b2仕息厂}一~不喜二二二,-一下不二=不 二一 、了a`一夕了“`一护圆O所引的切线互相垂直.使得P,向视交点玲介点碎解题突破点犷一3湖 南省武冈市第二 中学解 析 几 何 中有些 问题 涉 及 到 曲线 与 曲线、曲线 与直线(线段)的交点,若 我们 视这些交点为分 点,运 用定比分点有关 知识去解决,往往会“柳 暗花 明又一村”,更 体现出数 学解题的简 洁美、奇 异美,从而提 高我们的思维品质下面试举例说 明李用腾(42 2400)1视交点为分点求比值例i已知尸(2,o),尸(o,一丫厄丁),线段尸 F与双 曲线扩一一1交于Q点,求点Q分线段尸F所成的比.分析此题的常 规思维 是 求出点Q的坐标后,再 由分比公 式求出分比值然而若先.:.。