2023年第章 正切函数的定义正切函数的图像与性质.doc

§7　正切函数7.1　正切函数的定义7.2　正切函数的图像与性质学习目标：1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像.2.掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．(重点)3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．正切函数的定义(1)正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)．(2)正切线如图1­7­1所示，线段AT为角α的正切线．图1­7­1思考1：设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？提示：当a≠0时，有意义．tan α＝.2．正切函数的图像与性质图像性质定义域值域R奇偶性奇函数周期性周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π单调性在，k∈Z上是增加的对称性该图像的对称中心为，k∈Z思考2：能否说正切函数在整个定义域内是增函数？提示：不能．正切函数y＝tan x在每段区间(k∈Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数为定义域上的增函数． (　　)(2)正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tan x是增函数． (　　)(3)若x是第一象限的角，则y＝tan x是增函数． (　　)(4)正切函数y＝tan x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．若角α的终边上有一点P(2x－1,3)，且tan α＝，则x的值为(　　)A．7　　　 B．8　　　　C．15　　　 D．B　[由正切函数的定义知tan α＝＝，解得x＝8.]3．函数y＝tan 2x的定义域为________. 【导学号：64012046】[解析]　由正切函数的定义知，若使y＝tan 2x有意义，则2x≠kπ＋(k∈Z)．解得x≠＋(k∈Z)．[答案]　4．函数y＝tan x，x∈的值域是________．[解析]　函数y＝tan x在上是增加的，所以ymax＝tan＝1，ymin＝tan 0＝0.[答案]　[0,1][合 作 探 究·攻 重 难]正切函数的概念　已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．[解]　r＝＝5|a|，若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－.tan α＝＝＝－；若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.[规律方法]　1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝.2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．[跟踪训练]1．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，求tan α的值．[解]　由题意知cos α＝＝－，∴b＝±3.又cos α＝－<0，∴P在第二象限，∴b＝3.∴tan α＝－.正切函数的图像　作出函数y＝tan|x|的图像，判断函数的奇偶性及周期性. 【导学号：64012047】[思路探究]　去掉绝对值号，先作出x≥0时的图像，再利用图像变换作出x<0时的图像．[解]　∵y＝tan |x|＝∴当x≥0时，函数y＝tan|x|在y轴右侧的图像即为y＝tan x在y轴右侧的图像．当x<0时，y＝tan |x|在y轴左侧的图像为y＝tan x在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示：由图像知，函数y＝tan|x|是偶函数，但不是周期函数．[规律方法]　1．作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0,0)，，两线是直线x＝±为渐近线．2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．[跟踪训练]2．画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性．[解]　由y＝|tan x|得 ，y＝其图像如图．由图像可知，函数y＝|tan x|是偶函数，单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)．正切函数的性质[探究问题]1．如何判断函数的奇偶性．提示：判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．2．函数y＝tan x的周期是多少？y＝|tan x|的周期呢？提示：y＝tan x的周期是π，y＝|tan x|的周期也是π.　已知f(x)＝－atan x(a≠0)．(1)判断f(x)在x∈上的奇偶性；(2)求f(x)的最小正周期．[思路探究]　(1)通过f(－x)与f(x)的关系判断奇偶性；(2)由正切函数图像的特点可判断函数的最小正周期．[解]　(1)∵f(x)＝－atan x(a≠0)，x∈，∴f(－x)＝－atan(－x)＝atan x＝－f(x)．又定义域关于原点对称，∴f(x)为奇函数．(2)f(x)的最小正周期为π.母题探究1．(变条件)若将例3中的函数变为“f(x)＝－a|tan x|”则它的最小正周期是多少？[解]　f(x)的最小正周期不变还是π.2．(变结论)例3中的条件不变求f(x)的单调区间．[解]　∵y＝tan x在(k∈Z)上单调递增，∴当a>0时，f(x)在上单调递减，当a<0时，f(x)在上单调递增．3．(变结论)例3中的条件不变，求f(x)在上的值域. 【导学号：64012048】[解]　当a>0时，f(x)在上单调递减，故x＝时，f(x)max＝－a，无最小值．∴f(x)的值域为(－∞，－a]．当a<0时，f(x)在上单调递增，当x＝时，f(x)min＝－a.无最大值．∴f(x)的值域为[－a，＋∞)．[规律方法]　对于形如y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为非零常数)的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解.如果ω<0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解.[当 堂 达 标·固 双 基]1．函数y＝tan x的对称中心坐标为(　　)A．(kπ，0)(k∈Z)　　　　 B．(k∈Z)C．(k∈Z) D．(2kπ，0)(k∈Z)C　[y＝tan x的图像与x轴的交点以及x轴上使y＝tan x无意义的点都是对称中心．]2．函数f(x)＝tan的单调递增区间为(　　)A.，k∈ZB．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈ZC　[由kπ－0，∴α在第四象限．[答案]　四4．若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________. 【导学号：64012049】[解析]　由tan θ＝＝＝.∴m＝－.[答案]　－5．函数y＝tan(2x＋θ)图像的一个对称中心为，若－<θ<，求θ的值．[解]　因为函数y＝tan(2x＋θ)的一个对称中心为，∴2·＋θ＝，k∈Z.∴θ＝－π，k∈Z.又∵－<θ<，∴当k＝2时，θ＝；当k＝1时，θ＝－.∴满足题意的θ为或－.第 页。