层次分析法(李霞).ppt

层次分析法（AHP）基础课部：李 霞层次分析法美国运筹学家A.L.Saaty于上个世纪70年代 提出的层次分析法(Analytical Hierarachy Process,简称AHP方法),是一种定性与定量相结 合的决策分析方法.它是一种将决策者对复杂系 统的决策思维过程模型化,数量化的过程应用 这种方法,决策者通过将复杂问题分解为若干层 次和若干因素,在各因素之间进行简单的比较和 计算,就可以得出不同方案的权重,为最佳方案的 选择提供依据是一种系统科学中常用的一种系 统分析方法，并成为系统分析的数学工具之一层次分析模型的背景• 日常工作、生活中的决策问题• 涉及经济、社会等方面的因素• 作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化 • Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process)• AHP——一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法层次分析法的基本原理• 将一个复杂的无结构的问题分解为它的 各个组成部分，将这些组成部分(或称为 元素)整理成为一种递阶层次的顺序，按 照每个元素的相对重要性赋于其表示主 观判断的数量值；然后综合这些判断以 决定到底是哪个元素有着最大的权重和 如何影响问题的最终结果。

判断矩阵构成• 在确定各层次各因素之间的权重时，如果 只是定性的结果，则常常不容易被别人接 受，因而Saaty等人提出：一致矩阵法（ 与普通矩阵不同，AHP采用的成对比较的 正互反矩阵） • 即：1. 不把所有因素放在一起比较，而 是两两相互比较 • 2. 对此采用相对尺度，以尽可能减少性 质不同的诸因素相互比较的困难，提高准 确度层次分析法的适用范围• 1、优先排序 7、偏好量度2、方案生成 8、系统设计3、选择最优政策 9、规划制定4、决定需求 10、冲突解决5、分配资源 11、最优化分析6、结果预测 目标层O(选择旅游地)P2 黄山P1 桂林P3 北戴河准则层方案层C3 居住C1 景色C2 费用C4 饮食C5 旅途一. 层次分析法的基本步骤例. 选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地”思维过程的归 纳• 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C， 方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示• 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重• 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。

层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完 成以上步骤，给出决策问题的定量结果层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性A为成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,… , Cn对O的权向量选 择 旅 游 地成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较阵和权向量成对比较完全一致的情况满足 的正互反阵A称一致阵，如• A的秩为1，A的唯一非零特征根为n• A的任一列向量是对应于n 的特征向量• A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ，即一致阵 性质成对比较阵和权向量2 4 6 8比较尺度aij Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9尺度 1 3 5 7 9 相同 稍强 强 明显强 绝对强aij = 1,1/2, ,…1/9的重要性与上面相反• 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个• 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。

• 便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量一致性检验对A确定不一致的允许范围 已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51n1 234567891110为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI定义一致性比率 CR = CI/RI 当CR<0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通过一致 性检验组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根 1 2 … n 权向量 w1(3) w2(3) … wn(3) 第3层对第2层的计算结果k10.595 0.277 0.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验w(2) 0.263 0.475 0.055 0.090 0.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ …=0.300方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T组合 权向量第1层O第2层C1,…Cn第3层P1, …Pm第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量构造矩阵则第3层对第1层的组合权向量第s层对第1层的组合权向量其中W(p)是由第p层对第 p-1层权向量组成的矩阵层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。

2）构造成对比较阵 用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵 3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量 4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据二. 层次分析法的广泛应用• 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题 ，产业结构，教育，医疗，环境，军事等• 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等• 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与• 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡 献收 入发 展声 誉关 系位 置供选择的岗位例1 国家实力分析例2 工作选择过河的效益A经济效益 B1社会效益 B2环境效益 B3节 省 时 间 C1收 入 C2岸 间 商 业 C3当 地 商 业 C4建 筑 就 业 C5安 全 可 靠 C6交 往 沟 通 C7自 豪 感 C8舒 适 C9进 出 方 便 C10美 化 C11桥梁 D1隧道 D2渡船 D3（1）过河效益层次结构例3 横渡江河、海峡 方案的抉择过河的代价A经济代价B1环境代价 B3社会代价 B2投 入 资 金 C1操 作 维 护 C2冲 击 渡 船 业 C3冲 击 生 活 方 式 C4交 通 拥 挤 C5居 民 搬 迁 C6汽 车 排 放 物 C7对 水 的 污 染 C8对 生 态 的 破 坏 C9桥梁 D1隧道 D2渡船 D2（2）过河代价层次结构例3 横渡江河、海峡 方案的抉择待评价的科技成果直接经济效益C11间接经济效益C12社会效益C13学识水平C21学术创新C22技术水平C23技术创新C24效益C1水平C2规模C3科技成果评价例4 科技成果的综合评价三. 层次分析法的若干问题• 正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接 近一致阵的程度？• 怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？• 为什么用特征向量作为权向量？• 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质定理1 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应正特征向量w，且定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 n , = n是A为一致阵的充要条件。

正互反阵的最大特征根是正数 ，特征向量是正向量一致性指标 定义合理2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算 • 精确计算的复杂和不必要 • 简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量 ，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可 取其某种意义下的平均 和法——取列向量的算术平均列向量 归一化算术 平均精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010和积法求解最大特征根和最大特征向量和积法求解最大特征根和最大特征向量•（S1）将矩阵 的每一列向量的归一化得：•（S2）对 按行求和得：•（S3）将 归一化，即有： ，则有特征向量： •（S4）计算与特征向量 对应的最大特征根 的近似值：根法——取列向量的几何平均幂法——迭代算法1）任取初始向量w(0), k:=0，设置精度2) 计算3）归一化5) 计算简化 计算4）若 ，停止；否则，k:=k+1, 转2先求目标层到准则层的成对比较矩阵Ａ的特征向量和最大特征根：一个计算实例（以选择假期旅游地点时目标层到准则层的 成对比较矩阵Ａ为例）＝利用“和法”求特征向量 和特征根（S１）将Ａ的每一列向量归一化得：（S2）将 中元素 按行求和得 各行元素之和：（S3）再将上述矩阵向量归一化得到特征向量近似值， 即为近似特征向量 其中 （S4）计算与特征向量相对应最大特征根 （近似值）故有最大 特征根 对一致性检 验指标： 故通过检验。

在此例中，求出的近似特征向量有这样的意义：表明某人在选择旅游地时，考虑景色的 因素占了0.262的权重，而考虑费用、居住、饮食和旅途 等因素所占的权重分别为0.474，0.055，0.099，0.102 这将为进一步选择方案层中的旅游地点提供依据用 同样的方法可以构造第3层（方案层）对第2层（准则层 ）的每一个准则的成对比较矩阵，分别算出特征向量， 得到相应的。