高等传热学肋片分析.doc
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高等传热学肋片分析高等传热学导热理论第三讲肋片导热分析肋片（伸（延、扩）展面、）:从壁面扩展出的换热面肋片的作用：增加传热面积，改变换热条件和增加表面传热系数目的：强化传热，调整温度，减小体积及流阻，减轻重量肋的种类：宜肋，环肋， 异形肋等：一维肋片的条件（假定）：（1） 稳定导热，无内热源2） 连续均质，各向同性3） 表面传热系数h为常量4） 环境换热温度tf不变5） 导热系数入为常量（6） 肋基温度均匀7） 6《II,温度变化与宽度无关8） 肋基与壁面间无接触热阻（无温差）3.1 一雄对称宜肋传热的通用微分方程：对沿x方向一•维传热，设传热面积A,由Fourier定律和热力学第一定律，应用微元分析 法,当入二常量时，有：-dO-hU （t~tf） dx=0d（入 Adt/dx） -hU （t~tf） dx=（入Ad2t/dx）+入（dA/dx）dt~hU（t-tf）dx=0X Ad2t/dx2+ X (dA/dx)dt/dx-hU(t-tf)=0导热面A矩形时A=21y, U=2(l+2y),取 l=l,2yl； A=2y, U=2,得：yd2t/dx2+(dy/dx)dt/dx-h/X (t~tf)=0令：y=8/2(x/H)(l-2n)/(l-n)n=l/2, y= 6 /2 =const,等截血肋。
n=0 y=6/2(x/H),三角形肋n=l/3 y= 6 /2 (x/H) 1/2，凸抛物线n=oo, y= 8/2 (x/H) 2，凹抛物线边界条件：x=0,肋端：(1) IstB. C： t=tf o(2) 2ndB.C中绝热边界条件：dt/dx=03) 3rdB. C： -入 dt/dx=h (t~tf)x=H,肋基：t=tOo3.2等截面百肋的导热分析上式中：n=l/2, y= 8/2 =const,等截面肋换一下坐标得：d2t/dx2 - hU/( X A) (t- tf)=0令：0 =t-tf过余温度d2 0/dx2 - m2 0 =0m2= hU/(X A)边界条件：x=H,肋端:(1) IstB. C： 0 =0 o(2)2ndB. C中绝热边界条件解：d0 /dx=03) 3rdB.C： - X d 0/dx=h2 9x二0,肋基：0 = 0 0通解：0 =cle-mx+c2emx3. 2. 1 IstB.C 解：cle-mH+c2emH=0cl +c2= e 0cl= 0 0 emit /( emll-e-nill)c2=- 0 0e-mII /( emll-e-mll)0 = 0 Osh (hi (H-x) ) /sh (mH)整个肋片散热量：中=-入 Ad。
/dxj x=0= X Am 9 0 ch (mH) /sh (mH)=(hU X A) 1/2 (tO-tf) ch (mH) /sh (mH)特例：H— 8Oe-mx9 H=0一tH=tf整个肋片散热量：O=-XAd0/dxJ x=0= X Am 9 0 =(hUXA)l/2 (tO-tf) 3. 2. 2 2ndB. C 中绝热边界条件 解：-c1e-mH+c2emH=0cl +c2= 0 0cl= 0 0 emll /( emll+e-nill)c2= 0 Oe-mll /( emll+e-nill)0 = 0 Och (m (H-x) ) /ch (mH)整个助片散热量:中=-入 Ad 0 /dx J x=0= X Am 0 0 sh (mH) /ch (nilI)= (hUXA)l/2 (tO-tf) th (mH)特例：I—80 = 0 Oe-mx0 H=O->tH=tf整个肋片散热量：=- X Ad 0 /dxj x=0= X Am 0 0 = (hU X A) 1/2 (tO~tf)结果与IstB. C解相同3. 2.3 3rdB. C 解：-cle-mH+c2emH= h2 0/(入 m)cl +c2= 0 00 = 0 0{[ch(in(H~x)) +h2/(入 m) sh(m(H~x)) ]/ [ch(mH) +h2/(入 m)sh(mH) ])整个肋片散热量：中=-入 Ad。
/dx J x=0 = X Am 0 0{[sh (mH) +h2/ (入 m) ch (mH) ] / [ch (mH) +h2/ (入 m) sh (mH) ]}=(hU X A) 1/2 (tO-tf) ([th (mH) +h2/ ( X m) ] / [ 1 +h2/ ( X m) th (mH) ]}特例：h2二h,可得h2=0,可得绝热边界条件解h2=,可得1st边界条件解H一 8? 0 = 0 Oe-mx整个肋片散热量： ? 0 =- x Ad 9 /dxj x=0= X Am 0 0 = (hU 入 A) 1/2 (tO-tf)3. 2. 4三种肋效率由上分析：温度场变化特点：a. 过余温度为指数(双曲)曲线，肋基与换热流体温差大，肋端温差小肋各处换热量 不同，肋基处换热量最大，肋端处换热量最小b. 当肋高趋向无穷大时，温度分布和换热量有下列趋势：Oe-mx=- A Ad 0 /dx J x=0= X Am 0 0 = (hU X A) 1/2 (tO~tf)由特点a定义第一类肋效率(肋片有效度):n 1=实际传热量/以肋基导热面积为基准的最大传热量(未装肋时肋基传热量)o对绝热边界条件：n 1= (hU X A) 1/2 (tO-tf) th (mH) / (hA (tO-tf)) = th (mH)/ (m(A/U))由特点&定义第二类肋效率(工程上常用)：n2= nf=实际传热量/以肋对流面积为基准的最大传热量(肋片温度等于肋基温度时的 传热量)。
对绝热边界条件：n 2= n f=o. 5x2h/ x =0. 5 5 (x/H) 2 (hUXA)l/2 (tO-tf) th (mH) / (hUH (tO-tf))=th (mH) / (mH)由特点b定义第三类肋效率(肋片高度因子)：n 3二实际传热量/肋片无限高时的传热 量=th (mH)对绝热边界条件：q3=(hUXA) 1/2 (tO-tf) th (mH) / ((hU X A) 1 /2 (tO-tf)) = th (mH)计算热量公式：1/2中=n 1 hA(tO-tf) = n2hUH(to-tf) =n3(hUXA) (tO-tf)大家注意，对肋片，无量纲数mH非常重要，它决定了肋的温度分布和换热量大小三种肋效率间的关系：n2/ n i=a/hun 2/ n 3= 1/mH n 1/ n3=U/mA3.2适用肋片强化传热的条件:问题：加上肋片是否一定能够达到强化传热的目的？回答：不一定，即存在弱化传热 的可能问题：满足什么条件，才能强化传热？我们这样分析：加肋片相当与增加肋高只要求得肋片传热量随肋高的变化规律，就可以得到答案作为例子，我们以等截面肋为对象，引入3rdB. C结果：d O / dH= X m2 {[ch (mH) +h2/ ( X m) sh (mil)] 2- [sh(mll) +h2/ (X m) ch (mH) ] 2}/ [ch (mH) +h2/ ( X m) sh (mH) ] 2=X m2 [ch (mH) +h2/ ( X m) sh (mH) +sh (mH) +h2/ ( X m) ch (mH) ] [ch (mH) +h2/ ( X m) sh (mH) - sh (mH) -h2/ (入 m) ch (mH)]/[ch(mH) +h2/(入 m) sh(mH)]2=X m2 [ch (mH) +h2/ (人 m) sh (mH) + sh (mH) +h2/ (人 m) ch (mH) ] [1 ~h2/ (Am)] [ch (mH)- sh (mH) ] /[ch (mH) +h2/ (X m) sh(mH)]2N0l-h2/(Xm) <0 一 dO/dIKO 增高肋片，弱化传热 l-h2/(Xm) =0 一 d①/dH=O 增高肋片，对传热无影响l~h2/ ( X m) >0 f d中/dH>0增高肋片，强化传热1- h2/(X m)=l-A0. 5h2/(X hU)O. 5 =1-[hA/(X U)]0. 5h2/h>0 (h/h2)2>hA/( X U)h2=h 时 有：BiA/U=hA/(XU)
工程上，有意义的加助应满足要求：BiA/UVl/4,显然，在h较小和X较大时，用肋 容易达到要求结论：气气对流换热时用肋效果好3.3肋形状y的优化：问题：肋型线y取什么曲线好？什么叫做“好” ？给定传热量下要求具有最小体积或 最小质量或给定体积(质量)下要求具有最大传热量对偶优化问题)Schmidt假定：如要得到在给定传热量下要求具有最小体积或最小质量的肋的形状和尺 寸，肋片任一导热截面的热流密度都应相等1928年，Schmidt等提出了一维肋片换热优化理论：设导热系数为常数，沿肋高的温度 分布应为一条直线Duffin应用变分法证明了 Schmidt假定Wikins[3]指出只有在导热系数和换热系数为常数时，肋片的温度分布才是线性的Liu 和Wikins[4]等人还得到了有内热源及辐射换热时优化解长期以来肋片的优化问题受到 理论和应用两方面的重视对称直肋最优型线和尺寸的无量纲表这式分析:假定一维肋片，导热系数和换热系数为常数，我们有对称直肋微分方程(忽略曲线弧 度)：yd2/dx2+(dy/dx)d 9/dx~ 9 h/X =0由Schmidt假定，对任意截面x： d/dx=—q/入=const当入为常量时，温度线性分布：0=clx+c2, x=H, 0 = 00 = clH+c2设导热面为矩 形，将温度解代入微分方程得优化助的型线方程：cl(dy/dx)-h/X (clx+c2)=0y二h/人(0.5x2+c2x/cl+c4) = (0. 5x2+c3x+c4)h/X 这是一条抛物线。
如果该线满足： x=0, y=0 x=H, y= &/2 c4=0, c3 = c2/cl =( 5 入/h —H2)/2H, 0 0 = clH+cl ( S X /h — H2)/2H, cl=2H0O/(6 2X/h+H)特别地若c3=0, 6 /H=hH/ X , y=0. 5x2h/X=0.5 6 (x/H)2相当与n=8时的型线,即凹 抛物线形状的直肋最省材料此时有：c2=0, cl= 0 0/Hc整理得：2y/6=(x/ll)2这条抛物线的几何意义是肋各点的的导热截而比，物理意义是 肋各点的的导热截面的热流量比同时可以求出：(mH) 2=2 nf二0. 53. 4最佳直肋尺寸问题：给定肋形状y=f(x)及体积或质量后，如何确定肋厚或肋高？或肋高是否越大越 好？答案：在选取的6, H,肋的传热量达到最大？数学模型为dC/dH=0 V (或 qm)=CAH = const对矩形等截面肋，绝热边界条件：d 中 /dH=d (X Am 0 0th (mH)) /dH= d((X VhU/ (CH) )0. 5 0 0th( (ChU/ ( XV))。
