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线性代数行列式的计算与性质行列式在数学中，是一个函数，其定义域为这建口的矩阵一 1,取值为 一个标量，写作 • i 或-： 行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广或者说，在 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响无论是性代 数、多项式理论，还是在微积分学中 （比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中十七世纪晚期，关孝 和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形 式十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究十九世纪以 后，行列式理论进一步得到发展和完善矩阵概念的引入使得更多有关行 列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用， 出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行 列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数矩阵A的行列式有时也记作 |A|绝对值和矩阵范数也使用这个记 法，有可能和行列式的记法混淆不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如: II ' II），且可以使用下标。

此外，矩阵的绝对值是没有定义的因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式） 例如，一个矩阵：'a b c xdefA，g h i <行列式 mV也写作P" l，或明确的写作：A=即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的行列式的提 出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈 特弗里德•莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同一、行列式的定义与计算一个n阶方块矩阵A的行列式可直观地定义如下：ndet（X）=工昭附）］［珈⑹i=l其中， 是集合{ 1,2,…，n } 上置换的全体，即集合 { 1,2,…，n } 到自身上的一一映射（双射）的全体；ET - 表示对血全部元素的求和，即对于每个 i邑论nsgn（（7）偽疳（》. = i. 在加法算式中出现一次；对于每一对满足 吨沁"：的数对 ， 是矩阵A的第i行第j列的元素即a 表示置换 v、的符号差，具体地说，满 足但‘”匚八⑴ 的有序数对代:茫 称为-的一个逆序 如 果-的逆序共有偶数个，则 曲&1,如果共有奇数个，则 :心:—1举例来说，对于3兀置换即是说 打1）=2 ,，（打=丄,） 而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2个逆序（偶数个），因此3^）=1, 从而3阶行列式中项 ° ；八 的符号是正的。

但对于三元置换（即是说 「＜；—“，；•；「.丄，人门-—■•*）而言，可以数出共有 3 个逆序（奇数个），因此 -，从而3阶行列式中项迟好⑺津七升的符号是负的注意到对于任意正整数 n，-共拥有n!个元素，因此上式中共有 n!个求和项，即这是一个有限多次的求和对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好 是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至 左下）元素乘积之和（见图中红线和蓝线） 血J alj2=_ 旳,12 血,12阶矩阵的行列式:3阶矩阵的行列式:*11*12*13*21*22*23*31*32*33a2iai2a33 - *11*32*23=aiia22a33 + ai2 a23a31 + *21*32*13 - *13*22*31 -但对于阶数 ；的方阵A,这样的主对角线和副对角线分别只有n条，由于A的主、畐叹寸角线总条数.「二匚匸（二_ d■:「…亠的元素个数因此，行列式的相加项中除了这样的对角线乘积之外， 还有其他更多的项例如4阶行列式中，项巩.0曦曲旄/氨M就不是任何对角线的元素乘积 不过，和2、3阶行列式情况相同的是，n阶行列式中的每一项仍然是从矩 阵中选取n个元素相乘得到，且保证在每行和每列中都恰好只选取一个元 素，而整个行列式恰好将所有这样的选取方法遍历一次。

另外，nXn矩阵的每一行或每一列也可以看成是一个 n元矢量，这时矩阵的行列式也被称为这 n个n元矢量组成的矢量组的行列式行列式的性质行列式的一些基本性质，可以由它的多线性以及交替性推出在行列式中，一行（列）元素全为 0，则此行列式的值为 000 ...0°21■■flag •…■ ■■ ■®2n■K偽11■ »00 …0*21*22…3 +*2n*n1*n2…*nn0 血2 * * - ®ln0 ^22・・・■ ■ * ■■ ■ V ■■ ■ ■ ■込12 - - - ^nn在行列式中，某一行（列）有公因子 k，则可以提出k在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆^11»^13 …■'aln-All^12 …-«■®lnOil-fl12 … aln» ■0*1 + 如■-+加…+ ^in——■a1 *+£-*八加Fl■ ■ ■410*712 - - ■■^nn■ ♦®n2 ---®fl71: "■» : 也fill ■-- 偽171分为两个相加的行列式行列式中的两行（列）[51]O互换，改变行列式正负符号ajn^in%aj2在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为 0。

2 2 … 28 8 … 8=0■ ■■■ B >■ W B W- * - ^nn将一行（列）的k倍加进另一行（列）里，行列式的值不变ajl^12口尹+上為2注意：一行（列）的 k倍加上另一行（列），行列式的值改变将行列式的行列互换，行列式的值不变，其中行列互换相当于转置 这个性质可以简单地记作D = |dij| = |«ji| = DT例如flllfl12 ---压1科fi 1:°21 •…^711■---■ V・ ■■a2n■=a12■畋 ---■ ■'■ ■■an2V612 ■…^-nn£1^2 科 * ■ ■^nn行列式的乘法定理：方块矩阵的乘积的行列式等于行列式的乘积企:丄匕)-:上_订〔上"1心：：二」特别的,若将矩阵中的每一行每一列上的数都乘以一个常数 r,那么所得到的行列式不是原来的 r倍，而是rn 倍det(rX) = det(r/n ・ A) = det(rZn)・ det(X) = rn det(X)o以上的乘法公式还可以进一步推广为所谓柯西-比内公式，从而使得只要两个矩阵的乘积是方块矩阵，就有类似于以上的结果：假设 A是一个沁:一法门矩阵，而B是一个这乂沁矩阵如果S是" 中具有m个元素的子集in ：■ f' ,我们 记AS为A中列指标位于S中的小利弋子矩阵。

类似地， 记BS为B中行指标位于 S中的 护 子矩阵那么det.(XB)二 52det(As) det(Bs)s这里求遍! 1 r i'中m个元素的所有可能子集S (共有 C(n,m) 个)如果m = n ,即A与B是同样大小的方块矩阵，则只有一个容许集合S，柯西-比内公式退化为通常行列式的乘法公式如过 m = 1 则有n容许集合S，这个公式退化为点积如果 m > n，没有容许集合 S， 约定行列式det(AB) 是零[54]若A是可逆矩阵， '-- '■- [55]由行列式的乘法定理以及二丁― 可以知道，行列式定义了一个从一般线性群 ：卜丄九)到•- - 上的群同态若将方块矩阵中的元素取共轭，得到的是矩阵的共轭矩阵共轭矩阵 的行列式值等于矩阵行列式值的共轭： 二;M[① 一"若两个矩阵相似，那么它们的行列式相同这是因为两个相似的矩阵 之间只相差一个基底变换，而行列式描述的是矩阵对应的线性映射对体积 的影响，而不是体积，所以基底变换并不会影响行列式的值用数学语言 来说，就是：如果两个矩阵 A与B相似，那么存在可逆矩阵 P使得a rur ，所以det(A) = det(PBP_,] =

这可由矩阵必和其若尔当标准型相似推导出特殊地，三角矩阵的行列式等于其对角线上所有 元素的乘积由于三角矩阵的行列式计算简便，当矩阵的系数为域时，可以通过高 斯消去法将矩阵变换成三角矩阵，或者将矩阵分解成三角矩阵的乘积之后 再利用行列式的乘法定理进行计算可以证明，所有的矩阵 A都可以分解成一个上三角矩阵 U、一个下三角矩阵 L以及一个置换矩阵 P的乘积：— ■' ；： ■ ■ ■汀这时，矩阵 A的行列式可以写成：det(X) = det(F)・ det(L) * det(t/)分块矩阵的行列式并不能简单地表示成每个分块的行列式的乘积组合对于分块的三角矩阵，仍然有类似的结论:=det(A) det(D)，矩阵的行列式等于对角元素的行列式之乘积对于一般情况，若对角元素中有一个是可逆矩阵，比如说 A可逆，那么矩阵的行列式可以写做=de^det^D-CA^B矩阵的行列式和矩阵的迹数有一定的关联，当矩阵的系数为域时，在 定义了矩阵的指数函数后，有如下的恒等式：det-(exp(A)) = exp(tr(A))。