初等数学研究复习汇总.doc

第一章1、自然数集是有序集 2、 自然数集具有阿基米德性质 即：如果a,b∈N，则存在n∈N，使na>b3、 自然数集具有离散型 即：在任意两个相邻的自然数a和a’之间不存在自然数b，使aB,即证A-B>0（作差法）¨ 或A/B>1(作商法）3、分析法4、換元法（等量代换法）4、換元法（等量代换法）五、反证法6、放缩法（不等量代换法）¨ （1）欲证AD且D>A（这是缩小）¨ 放缩法¨ 放缩法常见的一些技巧：ü 舍掉或加进一些项ü 放大或缩小分子或分母．ü 运用基本不等式 利用函数单调性7、构造法¨ 构造函数ü 构造的函数通常有一次函数、二次函数、分式函数、指数函数、对数函数等，证明过程中用函数的单调性，函数值的范围，二次函数的判别式等．构造图形8、数学归纳法位置关系的证明 ¨ 1、平行的证法 2、垂直的证法 3、共线点的证法 4、共点线的证法¨ 5、共圆点的证法¨ 圆内角定理：园内角等于它所对的弧与它对顶角所对弧的度数的和的一半。

¨ 圆外角定理：圆外角等于它所对的弧的度数的差的一半例：设四边形ABCD同时有外接圆和内切圆，证明两组对边上的切点的连线必互相垂直 ¨ 1、定义：判定三点或三点以上的点位于同一直线，谓之共线点问题¨ 2、基本方法¨ ①对顶角之逆 ②邻角互补 ③平行线的唯一性¨ ④垂线的唯一性 ⑤证明三点在某一定直线上¨ ⑥证明两点连线与某定直线的交点是第三点¨ ⑦证三点中两两连线的线段有和差关系 ⑧证三点所成的三角形面积为0¨ ⑨证得以其中一点为对称中心，其余两点为对称图形的一对对应点¨ ⑩利用梅涅劳斯定理¨ 还可以利用斯特瓦特定理的逆定理，反证法等等斯特瓦特定理补充知识---------三角形的五心¨ 1、重心：三角形三条中线的交点¨ （这点和各边中点距离等于这条中线的1/3）¨ 2、垂心：三角形三条高或高的延长线的交点¨ 3、外心(外接圆的圆心）：三角形三条边的中垂线的交点¨ （这点到三角形三个顶点的距离相等）¨ 4、内心（内切圆的圆心：三角形三条内角平分线的交点¨ （这点到三角形三条边的距离相等）补充知识---------三角形的五心¨ 5、旁心：旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。

¨ 三角形的一条内角平分线与其它两个角的外角平分线交于一点这个点到三角形的一边及其他两边的延长线的距离相等，这就是三角形的旁心¨ 注：三角形有三个旁心 证明：在任一三角形中，外心、垂心和重心共线————欧拉线 证明：设H、O、G分别是三角形ABC的垂心、外心、和重心作BC边的中线AD交BC于D，因为AG=2GD,AH=20D,∠GAH=∠GDO所以⊿AGH≌⊿DGO则有∠AGH=∠DGO即H、G、O三点共线共点线的证法¨ 体现三角形重要属性的五心------重心、垂心、外心、内心、旁心，全是三线共点的产物¨ 证三线共点的常见思路：¨ 1、证明各线都过某个定点¨ 2、证明两直线的交点在第三条直线上¨ 3、利用西瓦定理¨ 4、利用对称图形的对应点的连线共点于对称中心¨ 5、利用根心定理西瓦定理设X、Y、Z分别是⊿ABC的BC、CA、AB边或其延长线上的点，且有偶数个点在边的延长线上，则AX、BY、CZ三线共点或互相平行的充要条件是¨ 例：证明三角形三条高线共点¨ 证明：三角形的三条中垂线交于一点（外心）。