高二上期数学文科复习知识点总结5450.pdf

高二上期数学文科复习知识点总结 一、立体几何 1．多面体的结构特征 (1)棱柱 底面：互相平行侧面：都是四边形，且每相邻两个面的交线都 平行且相等 (2)棱锥 底面：是多边形侧面：都是有一个公共顶点的三角形 (3)棱台 棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分． 2．旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 3．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 45°(或 135°)，z′轴与x′轴和 y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 4．三视图 (1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线． (2)三视图的画法 ①基本要求：长对正，高平齐，宽相等． ②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线 5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图  侧面 积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝ π(r＋r′)l 6．空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝13Sh 台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝13(S上＋S下＋ S上S下)h 球 S＝4πR2 V＝43πR3 二、点线面的位置关系 1．四个公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类：  共面直线 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角： ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． ②范围：0，π2. (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与相交 a∩α＝A 1 个  平面 平行 a∥α 0 个 在平面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0 个 相交 α∩β＝l 无数个 4．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) ∵l∥a，a⊂α， l⊄α，∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β， α∩β＝b， ∴l∥b 5．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β，b∥β， a∩b＝P，a⊂α， b⊂α，∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b， ∴a∥b 6．直线与平面垂直  (1)直线和平面垂直的定义： 直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 α 互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a⊥αb⊥α⇒a∥b 7．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线， 则这两个平面互相垂直 l⊂βl⊥α⇒α⊥β 性质定理 两个平面互相垂直， 则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α 三、直线与方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°. (2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝tan_α，倾斜角是 90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式： 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝y2－y1x2－x1＝y1－y2x1－x2. 3．直线方程 名称 几何条件 方 程 局限性 点斜式 过点(x0，y0)，斜率为 k y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于 x 轴的直 线 斜截式 斜率为 k，纵截距为 b y＝kx＋b 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2) y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 不包括垂直于坐标轴的直线 截距式 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a，b(a，b≠0) xa＋yb＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为 0) 4．两直线的位置关系 斜截式 一般式 方 程 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0) 相 交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 当A2B2≠0时，记为A1A2≠B1B2 垂 直 k1＝－1k2或 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 当B1B2≠0时，记为A1B1·A2B2＝－1 平 行 k1＝k2 且 b1≠b2  A1B2－A2B1＝0，B2C1－B1C2≠0或 A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0 当A2B2C2≠0时，记为A1A2＝B1B2≠C1C2 5．两直线的交点 设两条直线的方程是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组 A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立． 6．几种距离 (1)两点间的距离： 平面上的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式 d(A，B)＝|AB|＝ x1－x22＋y1－y22. (2)点到直线的距离： 点 P(x1，y1)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2.  (3)两条平行线间的距离： 两条平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝|C1－C2|A2＋B2. 四、圆与方程 1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0) 圆心：(a，b)，半径：r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心：－D2，－E2， 半径：12D2＋E2－4F 2．点与圆的位置关系 点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)若 M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. (2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴 A1A2的长为 2a 短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝ca，e∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 3．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 4．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)  图形 性质 范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a 或 y≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±bax y＝±abx 离心率 e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2 实虚轴 线段 A1A2叫作双曲线的实轴， 它的长|A1A2|＝2a； 线段 B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长． a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 5．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点 F 距离与到定直线 l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 6．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F(p2，0) F(－p2，0) F(0，p2) F(0，－p2) 离心率 e＝1 准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下  焦半径(其中P(x0，y0) |PF|＝x0＋p2 |PF|＝－x0＋p2 |PF|＝y0＋p2 |PF|＝－y0＋p2 7．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时， 通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A， B 不同时为0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程． 即 Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0，消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0. (1)当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ，则 Δ>0⇔直线与圆锥曲线 C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线 C 相离． (2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 8．弦长公式：设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2·x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋1k2·|y1－y2| ＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2. 六、简单的逻辑用语 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用p 和q 分别表示 p 和 q 的否定，于是四种命题的形式就是 原命题：若 p 则 q(p⇒q)； 逆命题：若 q 则 p(q⇒p)； 否命题：若p 则q(p⇒q)； 逆否命题：若q 则p(q⇒p)．  (2)四种命题间的关系 (3)四种命题的真假性 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． ②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 若 p⇒q，则 p 叫做 q 的充分条件；若 q⇒p，则 p 叫做 q 的必要条件；如果 p⇔q，则 p 叫做q 的充要条件． 4．逻辑联结词 命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p 且 q”记作 p∧q，“p 或 q”记作 p∨q，“非 p”记作 p. 5．命题 p∧q，p∨q，綈 p 的真假判断 p q p∧q p∨q p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 6.全称量词与存在量词 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，p(x)． (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词， 并用符号“∃”表示． 含有存在量词的命题， 叫做特称命题， 可用符号简记为∃x∈M， p(x)， 它的否定∀x∈M，p(x)． 七、导数及其应用 1．函数的平均变化率 一般地， 已知函数 y＝f(x)， x0， x1是其定义域内不同的两点， 记 Δx＝x1－x0， Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)， 则当 Δx≠0 时， 商________________________＝ΔyΔx称作函数 y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率． 2．函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数 (1)定义  函数 y＝f(x)在点 x0处的瞬时变化率______________通常称为 f(x)在 x＝x0处的导数，并记作f′(x0)，即______________________________． (2)几何意义 函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是过曲线 y＝f(x)上点(x0，f(x0))的____________． 导函数 y＝f′(x)的值域即为__________________． 3．函数 f(x)的导函数 如果函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，就说 f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作 f(x)的导函数，记作____________． 4．基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f(x)＝C f′(x)＝______ f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝______ (α∈Q*) F(x)＝sin x f′(x)＝__________ F(x)＝cos x f′(x)＝____________ f(x)＝ax (a>0，a≠1) f′(x)＝____________(a>0，a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝logax(a>0，a≠1，且x>0) f′(x)＝__________(a>0， a≠1，且 x>0) f(x)＝ln x f′(x)＝__________ 5．导数运算法则 (1)[f( x)± g( x)] ′＝__________； (2)[f( x) g( x)] ′＝______________； (3)fxgx′＝______________ [g( x)≠0] ． 6．复合函数的求导法则：设函数 u＝φ(x)在点 x 处有导数 ux′＝φ′(x)，函数 y＝f(u)在点 x处的对应点 u 处有导数 yu′＝f′(u)，则复合函数 y＝f(φ(x))在点 x 处有导数，且 y′x＝y′u·u′x，或写作 f′x(φ(x))＝f′(u)φ′(x)． 7．导数和函数单调性的关系： (1)若 f′(x)>0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)>0 的解集与定义域的交集的对应区间为______区间； (2)若 f′(x)<0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)<0 的解集与定义域的交集的对应区间为______区间； (3)若在(a，b)上，f′(x)≥0，且 f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，b) 上为______函数，若在(a，b)上，f′(x)≤0，且 f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，b)上为______函数． 8．函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地，当函数 f(x)在点 x0处连续时， ①如果在 x0附近的左侧________，右侧________，那么 f(x0)是极大值； ②如果在 x0附近的左侧________，右侧________，那么 f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x)； ②求方程________的根； ③检查 f′(x)在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得________． 9．函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上必有最值的条件 如果函数 y＝f(x)的图象在区间[a，b]上________，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤： ①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的________； ②将函数 y＝f(x)的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 。