行列式按行列展开定理.docx

余子式的定义:在n阶行列式中，把（）元aij所在白^第i行，第j列去掉之后，留卜来的n-i阶行列式称作aij的余子式，记作M j二、代数余子式：在n阶行列式的aij余子式M j加上符号（1）i j,称作aj的代数 余子式Aj ：Aj（1）ijMij三、 引理1： 一个n阶行列式，如果其中的第i行所有元素除了（i,j ）元2外都为0,则这个行列式等于aj与它的代数余子式乘积:D aijAij四、 行列式按行（列）展开法则：定理3:行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子 式的乘积之和：Dai1A1 ai 2 A 2 ainAinD a1 j Aja2j A2janj Anj (i j)推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0 ：ai1 Aj1 ai2 Aj2ain AjnD a1i A ja2i A2jani(i j)五、克拉默法则：如果含有n个未知数的n个线性方程组:ra11x1a12X2a1nXn na21x1a22x2a31x1a32x2a3nxnb3anlXi 3n2X2annxnbnal1其系数行列式不等于0,即：D ...an1a1n...0ann那么,X1方程组有惟一解：D1 D2一,x2 —, xND DDna11a1,j 1a1nb2a2, j 1Djan1bnan,j 1 ann① 定理4:如果含n个未知数的n个线性方程组的系数行 列式不等于0,则方程一定有解，且解是惟一的。

②定理4 ：如果含n个未知数的n个线性方程组无解或者有两个不同的解，则它的系数行列式必然为 0③ 定理5:上述方程对应的齐次线性方程组：a12X2a21X1a22X2a31X1a32X2a1nxn0a2nXn0a3n Xn0an1x1an2x2ann xn0x1x2xn0 一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组的 0 解，如果是一组不全为 0 的数是齐次线性方程组的解，叫做齐次线性方程组的非 0解，齐次线性方程组一定有 0 解，但是不一定有非0解定理5：如果齐次线性方程组有非0 解，则它的系数行列式必然等于 0定理 5 ：如果齐次线性方程组的系数行列式等于0，则它一定没有非0 解六、 求解行列式的基本方法① 利用初等变换② 利用性质③ 特殊规律行列式解法。