等腰、等边三角形知识点2.pdf

等腰三角形知识点知识总结归纳：（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高互相重合推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” ）推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半2. 定理及其推论的作用等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、 底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定例 1. 如图，已知在等边三角形ABC 中， D 是 AC 的中点， E 为 BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM ⊥BC ，垂足为 M求证： M 是 BE 的中点 A D 1 B M C E 例 2. 如图，已知：ABC中，ACAB，D 是 BC 上一点，且CADCDBAD，，求BAC的度数A B C D 说明： 1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法例 3. 已知：如图，ABC中，ABCDACAB，于 D。

求证：DCB2BACA 1 2 D B C E 3 说明： 1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系因此添加底边的高是一条常用的辅助线；2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半” ，或构造“倍” 因此，本题还可以有其它的证法，如构造出DCB的等角等常考题型：1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A. 6 个B. 7 个C. 8 个D. 9 个A 36°E D F B C A E F B D C 2.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D 是 BC 的中点， DE⊥AB， DF⊥AC ，E、F 分别是垂足求证：AE＝AF3.如图，ABC中，100AACAB，，BD 平分ABC求证：BCBDADA D 1 B 2 E F C A D E 1 B 2 F C 3 4 5 6 练习：1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）A. 2cm B. 8cm C. 2cm 或 8cm D. 以上都不对2. 如图，ABC是等边三角形，BCBD90CBD，，则1的度数是 ________。

CA 1 D B 2 3 3. ABC中，120AACAB，，AB 的中垂线交AB 于 D，交 CA 延长线于E，求证：BC21DE等边三角形班级 ___________姓名 _______________ 一、选择题（每题5 分）1．正△ ABC 的两条角平分线BD 和 CE 交于点 I，则∠ BIC 等于（）A．60°B．90°C．120°D． 150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；? ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；? ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如图， D、E、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△ DEF? 的形状是（）A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形EDCABF21EDCAB4．Rt△ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，∠ B=30°， AD=2cm ，则 AB 的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm 5．如上图， E 是等边△ ABC 中 AC 边上的点，∠ 1=∠2，BE=CD ，则对△ ADE 的形状最准确的判断是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状二、填空题（每题6 分）6．△ ABC 中， AB=AC ，∠ A= ∠C，则∠ B=_______．7．已知 AD 是等边△ ABC 的高， BE 是 AC 边的中线， AD 与 BE 交于点 F，则∠ AFE=______ ．8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ ABC 中，∠ B=∠ C=15°， AB=2cm ，CD⊥ AB 交 BA 的延长线于点D，? 则 CD ? 的长度是 _______． 三、解答题10．已知 D、E 分别是等边△ABC 中 AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求 BE 与 CD? 的夹角是多少度？（10 分）11．如图，△ ABC 中， AB=AC ，∠ BAC=120 °， AD ⊥AC 交 BC? 于点 D，?求证： ? BC=3AD. （ 11 分）DCAB12．如图，已知点B、 C、D 在同一条直线上，△ABC 和△ CDE? 都是等边三角形．BE 交 AC 于 F，AD 交 CE于 H，①求证：△ BCE ≌△ ACD ；②求证： CF=CH ；③判断△ CFH ? 的形状并说明理由． （ 18 分）EDCABHF四、探究题13．如图，点 E 是等边△ ABC 内一点， 且 EA=EB ，△ABC 外一点 D 满足 BD=AC ，且 BE 平分∠ DBC ，求∠ BDE的度数．（提示：连接CE） （12 分）EDCAB。