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复合材料力学第六章复合材料力学第六章2 2§6-1 §6-1 引言和基本假定引言和基本假定 一一. .引言引言本章的目的主要是论述层合板物理方程中所出现的三本章的目的主要是论述层合板物理方程中所出现的三种耦合刚度：种耦合刚度： 拉伸和弯曲耦合刚度拉伸和弯曲耦合刚度  Bij        拉伸和剪切耦合刚度拉伸和剪切耦合刚度  A16,A26        弯曲与扭转耦合刚度弯曲与扭转耦合刚度   D16,D26对层合板弯曲、屈曲和振动性能的影响对层合板弯曲、屈曲和振动性能的影响, 及其给基本微及其给基本微分方程带来的复杂性，特别是通过某些重要结果分方程带来的复杂性，特别是通过某些重要结果来讨来讨论：论：Ø        对称角铺设层合板的对称角铺设层合板的D16,D26 的重要性；的重要性；Ø 反对称正交铺设和反对称角铺设层合板的反对称正交铺设和反对称角铺设层合板的 Bij 的作用4. 边界条件：边界条件：      每个基本微分方程组是四阶的，积分常数为四每个基本微分方程组是四阶的，积分常数为四个，所以每个边界需给出四个边界条件。

个，所以每个边界需给出四个边界条件      通常分简支边和固支边，即使都是简支边或固通常分简支边和固支边，即使都是简支边或固支边，又由于中面位移或内力不同条件给出不同支边，又由于中面位移或内力不同条件给出不同的边界条件的边界条件.简支边：简支边：S位移边界条件位移边界条件半位移半内力半位移半内力内力边界条件内力边界条件半内力半位移半内力半位移S1S2S3S4nt固支边：固支边： (C)法、切向都可动法、切向都可动法向独立，切向可动法向独立，切向可动法向可动，切向独立法向可动，切向独立法、切向独立位移法、切向独立位移二、层合板的屈曲问题基本微分方程二、层合板的屈曲问题基本微分方程      几何、物理与弯曲问题相同几何、物理与弯曲问题相同      C1C2C3C4平衡方程：平衡方程：其中其中为为已知外加平面内膜内力已知外加平面内膜内力载载荷荷值值变变分符号分符号 屈曲前平板保持平的，当外屈曲前平板保持平的，当外载载荷达到某一荷达到某一临临界界值时值时，，层层合板合板产产生微弯状生微弯状态态，即小，即小变变形范形范围围满满足平衡方程足平衡方程像弯曲像弯曲问题问题推推导导基本微分方程那基本微分方程那样样，将几何方程代入，将几何方程代入物理方程，再代入平衡方程，就可得以下方程：物理方程，再代入平衡方程，就可得以下方程：前两个基本微分方程形式上与弯曲的基本微分前两个基本微分方程形式上与弯曲的基本微分方程中的前两个完全一样，只要在位移导数前方程中的前两个完全一样，只要在位移导数前面加一个变分符号就行了。

面加一个变分符号就行了因为第三个平衡方因为第三个平衡方程就不同为此只有第三个基本微分方程形式程就不同为此只有第三个基本微分方程形式上有一些不同，上有一些不同，边边界条件界条件：： 简简支支边边(S)固支固支边边：：同上一同上一样样S1S2S3S4三、振动问题基本微分方程三、振动问题基本微分方程 平衡方程平衡方程：： 与与屈曲问题平衡方程屈曲问题平衡方程相比较，只有第三个相比较，只有第三个平衡方程右端项不同，振动问题有一个惯性力平衡方程右端项不同，振动问题有一个惯性力项这里不再重复，包括边界条件这里不再重复，包括边界条件四四. . 求解方法求解方法1 1、解析方法、解析方法 满足边界条件下满足边界条件下, ,三个微分方程联立求解：三个微分方程联立求解：在特定在特定的边界条件下可采用分离变量法和双三角级数求解的边界条件下可采用分离变量法和双三角级数求解简化条件）正交异性（简化条件）正交异性.2、近似能量法、近似能量法 Rayleigh-Ritz法法, Kalekin法法3、有限差分法、有限差分法 有限元法有限元法一、特殊正交各向异性层合板一、特殊正交各向异性层合板 只需解一个挠度的微分方程只需解一个挠度的微分方程：如同各向同性板的弯曲微分方程的求解，采用双级数法。

令如同各向同性板的弯曲微分方程的求解，采用双级数法令:                                                      可以满足上微分方程和简支边界条件可以满足上微分方程和简支边界条件.对于均布载荷对于均布载荷:不必考虑面内边界有关不必考虑面内边界有关u、、v 的条件的条件§6-3 各种特殊层合板在横向均布载荷各种特殊层合板在横向均布载荷 作用下的弯曲作用下的弯曲将将w代入微分方程，并对比系数可得：代入微分方程，并对比系数可得：一旦一旦w确定下来，则由几何方程可得应变确定下来，则由几何方程可得应变         和和       由物理方程的由物理方程的应力应变关系可得应力应力应变关系可得应力:有正轴应力分量可以考虑强度问题有正轴应力分量可以考虑强度问题二、对称角铺设层合板二、对称角铺设层合板  由于由于 ，仍然只需考虑一个微分方程，仍然只需考虑一个微分方程 由于由于                    ，微分方程中出现对，微分方程中出现对x、、y的奇次微分项。

分离的奇次微分项分离变量的双三角级数解无法满足微分方程，变量实际上不可分离采用变量的双三角级数解无法满足微分方程，变量实际上不可分离采用近似的能量法：近似的能量法：Rayleigh-Ritz 法法 设一挠度函数设一挠度函数 满足几何边界条件，自然边界（力）满足几何边界条件，自然边界（力）条件不一定满足则层板的总势能可用挠度函数的微分（即曲率）表条件不一定满足则层板的总势能可用挠度函数的微分（即曲率）表示为：示为：其中：其中：P w 项是外力功，其余项是板的应变能位移函数项是外力功，其余项是板的应变能位移函数w展开，待定展开，待定系数系数则根据最小总势能原理则根据最小总势能原理，，w满足平衡的条件是：满足平衡的条件是： 的存在增加了挠度，说明弯扭耦合刚度的存在增加了挠度，说明弯扭耦合刚度 降低了板的降低了板的抗弯刚度抗弯刚度根据根据m、、n取的项数，可得一联立方程组解出取的项数，可得一联立方程组解出         ，则，则w解出当当m=1~7，，n=1~7（共（共49项）时，板中央的挠度为项）时，板中央的挠度为:如果忽略如果忽略                的作用，的作用，把板看作是特殊正交各向异性板，则把板看作是特殊正交各向异性板，则两者误差约两者误差约24%。

设设:一一. . 对称角铺设层合板对称角铺设层合板 微分方程为：微分方程为：§6-4 §6-4 各种特殊层合板在面内压缩载荷各种特殊层合板在面内压缩载荷作用下的屈曲作用下的屈曲简支边界条件为：简支边界条件为：D16,D26的存在，无法得到封闭解，的存在，无法得到封闭解，变量不可分离，同样可以由变量不可分离，同样可以由Rayleigh－－Ritz法求解：法求解：设屈曲位移为设屈曲位移为：：满足位移边界，不满足自然边界满足位移边界，不满足自然边界.代入总势能表达式和运用最小势能原理代入总势能表达式和运用最小势能原理：由由                     为为w满足平衡的条件满足平衡的条件在在 和和 时时(Boron/Epoxy)对三种对三种铺设所得解如图铺设所得解如图1 1）正交各向异性解）正交各向异性解（（2 2））2020层层 对称角铺设同上对称角铺设同上（（3 3））2020层为＋层为＋θθ，， 考察弯扭耦合影响载荷：考察弯扭耦合影响载荷：x x方向均方向均匀压缩匀压缩N Nx x可见弯扭耦合的影响与特殊正交各向异性解比较，弯扭耦合的影响可见弯扭耦合的影响与特殊正交各向异性解比较，弯扭耦合的影响降低了屈曲载荷（理论近似解与实际的比较是满意的，说明了近似降低了屈曲载荷（理论近似解与实际的比较是满意的，说明了近似解的可靠性）解的可靠性）。

208060400实验点： 20层 ＋θ 20层 θ（1）（3）（2）1．22．01．62．4正交各向异性解二二, , 反对称正交铺设层合板反对称正交铺设层合板 考察考察 的影响的影响 由于由于 ，屈曲微分方程是联立的屈曲微分方程是联立的对于对于S S2 2简支边界条件简支边界条件选取以下位移变分函数选取以下位移变分函数设设:并令其满足微分方程得：并令其满足微分方程得： 需求最小值在需求最小值在m，，n为整数时为整数时1）（2）（3）（（1）（）（2）解出）解出                     表示代入（表示代入（3）得存在非零解的条件是：）得存在非零解的条件是：式中式中对对                                                         的石墨的石墨/环氧反对称层板环氧反对称层板的解如下图的解如下图.baB11=02层数4602．02．50．51．01．50．51．01．52．02．53．03．5板的长宽比a/b （（1））∞层时：层时：B11＝＝0。

两层时，两层时，B11最大a/b＝＝1时，时，B11＝＝0的的 正则比正则比 值比二层时高出值比二层时高出183％！比四层时高出％！比四层时高出19％，比六层时高出％，比六层时高出8％说 明明 随着反对称正交铺层数的增加，拉弯耦合影响迅速衰减，铺层数随着反对称正交铺层数的增加，拉弯耦合影响迅速衰减，铺层数N ＝＝2 时，耦合影响最大，时，耦合影响最大， 最低在铺层数最低在铺层数N<6层时，耦合影响不容层时，耦合影响不容忽忽 视 （（2）在层数固定时，耦合影响的大小还与）在层数固定时，耦合影响的大小还与E1/E2有关，拉弯耦合影响随有关，拉弯耦合影响随 E1/E2比值的升高而增大比值的升高而增大 （（3）整数波时）整数波时 最小最小.§6-5 §6-5 各种特殊简支层合板的振动问题各种特殊简支层合板的振动问题 一一. .特殊正交各向异性层合板特殊正交各向异性层合板所有耦合刚度均为所有耦合刚度均为0 0，只有一个振动微分方程，只有一个振动微分方程: :满足简支边界条件（无满足简支边界条件（无u，，v向）向）弹性体自由振动是时间的谐函数，所以可选作：弹性体自由振动是时间的谐函数，所以可选作：可把问题分离为时间和空间的变分，合成的微分方程和边界条可把问题分离为时间和空间的变分，合成的微分方程和边界条件由空间的变分件由空间的变分                  来满足：来满足：则振动微分方程存在非零解的条件为：则振动微分方程存在非零解的条件为：上式中各种频率上式中各种频率w对应与不同的对应与不同的m，，n值，即不同的振动波形。

当值，即不同的振动波形当 m＝＝n＝＝1时，得到最低频率－基本频率时，得到最低频率－基本频率对于对于 的特殊正交各向异性方的特殊正交各向异性方板和各向同性板的四个最低频率列与下表，其中系数板和各向同性板的四个最低频率列与下表，其中系数k定义为定义为：波型波型特殊正交各向异性特殊正交各向异性各向同性各向同性mnkmnk第一第一113.6055112第二第二125.8309125第三第三1310.4403215第四第四2113.0000228各向同性板时各向同性板时相应的波形如下图：相应的波形如下图：特特殊殊正正交交各向异性各向异性 m＝n＝1m＝1 n＝2m＝1 n＝3m＝2 n＝1 m＝n＝1m＝1 n＝2 m＝2 n＝1m＝2 n＝2各向同性各向同性虚线为波结线（任何时间是零挠度的线）虚线为波结线（任何时间是零挠度的线）结论：结论： 特殊正交各向异性板的四个最低频率与各向同性板特殊正交各向异性板的四个最低频率与各向同性板 不同，特殊正交各向异性板显示了方向的选择。

各向不同，特殊正交各向异性板显示了方向的选择各向 同性板第二，三波形不同，频率相同特殊正交各向同性板第二，三波形不同，频率相同特殊正交各向 异性板的第二，四波型在异性板的第二，四波型在x x，，y y方向波结线不同时，频方向波结线不同时，频 率亦不相同率亦不相同二二. . 反对称角铺设层合板反对称角铺设层合板 振动微分方程是联立的振动微分方程是联立的考察考察 的影响和铺设角的影响和铺设角θθ变化的影响变化的影响选取以下位移变分选取以下位移变分：和满足基本微分方程和满足基本微分方程 可满足可满足S3S3简支边界条件：简支边界条件：在在B16=B26=0时，退化为特殊正交各向异性解时，退化为特殊正交各向异性解Tij均与均与m，，n 有关不能直接导出有关不能直接导出 的最小值与的最小值与m，，n的简单关系的简单关系数字计算结果表明：数字计算结果表明： 在此处，在此处，拉弯耦合刚度的影响与铺层数，铺设角有关，以及拉弯耦合刚度的影响与铺层数，铺设角有关，以及与材料性能与材料性能E1/E2的大小有关的大小有关。

存在非零解的频率条件为：存在非零解的频率条件为：式中式中0º15º30º45º1020246∞24601020304050E1/E20．20．40．60．81．0小小 结：结：Bij：：层合板中弯曲和拉伸之间的耦合影响减少了层板的有效层合板中弯曲和拉伸之间的耦合影响减少了层板的有效 刚度，一般会增加挠度和显著地降低屈曲载荷和振动刚度，一般会增加挠度和显著地降低屈曲载荷和振动 频率D16，，D26：存在扭转与弯曲耦合的层合板，同样时挠度增：存在扭转与弯曲耦合的层合板，同样时挠度增 加，屈曲载荷和频率减少加，屈曲载荷和频率减少 l无论是存在拉弯耦合或弯扭耦合的情况，对于固定厚度的无论是存在拉弯耦合或弯扭耦合的情况，对于固定厚度的反对称或对称层合板的挠度，屈曲载荷和振动频率的影响反对称或对称层合板的挠度，屈曲载荷和振动频率的影响随着铺层数的增加而迅速衰减（层数增加，意味着趋向均随着铺层数的增加而迅速衰减（层数增加，意味着趋向均匀化），一般认为，当匀化），一般认为，当N>6或或8时时，耦合影响可忽略不计耦合影响可忽略不计。

 结束语结束语谢谢大家聆听！！！谢谢大家聆听！！！48。