自动控制原理本科生教学课件第五章（1）.ppt

第五章频率域方法1频率法分析的仍然是控制系统的性能，即稳定性、快速性、稳态精度控制系统的性能用时域特性度量最直观，但高阶系统的时域特性很难用分析法确定，目前还没有直接给出时域指标进行系统设计的通用方法频率法是一种间接的研究控制系统性能的工程方法，是一种应用频率特性研究线性系统的经典方法控制系统中的频率特性反映了正弦信号作用下系统响应的性能2频域法的基本思想：把控制系统中的所有变量看成一些信号，而每个信号又是由许多不同频率的正弦信号所合成；各个变量的运动就是系统对各个不同频率信号的响应的总和3设输入ur是正弦波，由于电路是线性的，在过渡过程结束后，输出uc也是同频率的正弦波形，利用复阻抗概念：设ur不是正弦波，则可用富立叶级数和富立叶变换将输入分解成许多叫频率互不相同的正弦函数之和对不同频率的输入输出，仍满足与上式相同的关系42、控制系统及其元部件的数学模型（频率特性）可通过分析法和实验法获得；频率法的优点1、频率特性物理意义明确；按照频率响应的观点，控制系统的运动是信号在一个个环节之间依次传递的过程；每个信号又由一些不同频率的正弦信号合成；在传递过程中，这些正弦信号的振幅和相角以严格的函数关系变化，从而产生形式多样的运动；与微分方程表示相比，易理解，便于分清主次因素。

机理复杂或机理不明而难以列出微分方程的系统3、频域法计算量小，与微分方程求解相比，其计算量可忽略；4、频率法的一部分工作可用作图完成，因而比较直观，便于研究参数变化对系统性能的影响551 频率特性52 典型环节的频率特性53 系统的开环频率特性54 频率稳定判据55 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系56 开环频率特性与系统阶跃响应的关系主要内容50 富立叶变换6基本要求 1. 正确理解频率特性的概念2. 熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线3. 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法4. 熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法 75. 熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其它们的应用6. 熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法7. 理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定性关系8. 理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较 850 富立叶变换法国的富立叶（J. Fourier）先复习周期函数的富立叶级数，再将其发展为非周期函数的富立叶变换富立叶的两个最主要的贡献：n“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”n“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”95.0.1 周期函数的富立叶级数直流分量基波分量n=1谐波分量n1任何满足狄利赫利条件的周期实函数都可以表示为一系列正弦函数和余弦函数之和，即富立叶级数：10直流系数余弦分量系数正弦分量系数11狄利赫利条件： n在一个周期内只有有限个第一类间断点（幅度有限的跳跃，左右极限存在但不相等）； n在一个周期内有有限个极值点；n在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件12n满足条件时，上式几乎处处成立：在连续点处，右端收敛于f(t)的真值；在间断点处，收敛到左右极限的平均值； 13另一种富立叶级数表示合并同频频率的两项项可得:余弦形式14正弦形式15周期函数的复指数级数将周期信号f(t)在指数函数集ejnt，n=0, 1, 2， 3， 上展开就得到指数形式的傅里叶级级数16与三角函数形式傅里叶级级数的关系 三角函数形式傅里叶级级数通过过欧拉公式展开：与指数形式对对照17可得18为了能既方便又明白的表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重如何，就采用了称为频谱图的表示方法。

如图1所示这种图就称为频谱图图中每一条谱线代表一个基波或一个谐波分量，谱线的高度即谱线顶端的纵坐标位置代表这一正弦分量的振幅，谱线所在的横坐标的位置代表这一正弦分量的频率周期信号的频谱频谱图119这种周期信号频谱有以下几个特点：1.这种频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦分量，这样的频谱称为不连续频谱或离散频谱2.这种频谱的每条谱线，都只能出现在基波频率的整数倍的频率上，频谱中不可能存在任何具有频率为基波频率非整数倍的分量3.各条谱线的高度，即各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小的；当谐波次数无限增高时，谐波分量的振幅就无限趋小频谱的这三个特点分别称为频谱的离散性、谐波性、收敛性并具有普遍的意义从频谱图中可以看出这个信号包含有频率的正弦分量以及每个分量所占的比重这种频谱因为它只表示出了各分量的振幅，所以称为振幅频谱有时如果需要，也可以把分量的相位用一个个线段代表并且排列成谱状，这样的频谱就称为相位频谱20周期信号采用指数形式展开后的频谱频谱 , 因Fn一般为为复数,称为为复数频谱频谱 .图2周期信号的复数频谱频谱21周期信号复数频谱图的特点l引入了负频率变量F-n，没有物理意义，只是数学推导；只有把正、负频率项成对地合并起来,才是实际的频谱函数.l每个分量的幅度一分为二,在正、负频率相对应的位置上各为一半.lCn是实函数，Fn一般是复函数。

周期信号三角函数形式傅里叶级级数展开后的频谱频谱为单边频谱为单边频谱 ,而指数形式展开后的频谱为频谱为 双边频边频谱谱.22例 周期矩形脉冲信号的频谱f(t)f(t)t t0 0E E-T-TT T2324x(t)x(t)F Fn nt t0 00 0E ET T-T-T25当周期信号的周期T无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号频率也变成连续变量5.0.2 非周期函数的富立叶变换26频谱演变的定性观察-T/2-T/2T/2T/2T/2T/2-T/2-T/227：周期信号非周期信号连续谱，幅度无限小；离散谱00再用 表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数28从周期信号FS推导非周期的FT频谱密度函数简称频谱函数1n-j)(dtetf29富立叶富立叶变换变换频谱密度函数的表示30富立叶反变换由复指数形式的富立叶级数傅立叶傅立叶反变换反变换31富立叶变换对32FT的物理意义 (a) F()是一个密度函数的概念 (b) F()是一个连续谱 (c) F()包含了从零到无限高 频的所有频率分量 (d) 各频率分量的频率不成谐波关系33富立叶变换存在的充分条件所有能量信号均满足此条件。

34傅立叶变换的基本性质n对称性和叠加性n奇偶虚实性n尺度变换特性n时移特性和频移特性n微分和积分特性n卷积定理35例：单边指数函数n信号表达式幅频相频36f(t)t00037富立叶变换与拉氏变换的关系若在区间t0恒有f(t)=0,则富氏变换的下限可改为0；狄利赫利条件的限制，f(t)不含冲击函数型的部分，所以积分下限取0和0-没区别3851 频率特性性对象的传递函数G(s)中用jw代替s，就得到其频率特性函数频率特性函数：零初始值下单入单出的线性定常系统输出量的富立叶变换象函数与输出量的富立叶变换象函数之比输入量和输出量可用富立叶级数和富立叶变换将分解成许多频率互不相同的正弦函数之和对不同频率的输入输出之比，满足相同的关系研究系统的频率特性只需考虑输入为正弦函数的情况39一、控制系统在正弦信号作用下的稳态输出对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和c(t)，系统的闭环传递函数为式中，为闭环n个互异特征根（极点)40输入信号：其拉氏变换式则：41输出拉氏反变换得瞬态分量稳态分量若系统稳定，则极点都在s左半平面当，即稳态时：42其中稳态分量同理：43将B、D代入则44n式中 可以看出，线性定常系统，在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。

45图系统在正弦信号作用下的稳态响应46n设线性系统G(s)的输入为一正弦信号r(t)=Ar sint，在稳态时，系统的输出具有和输入同频率的正弦函数，但其振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化，即cs(t)=Ac sin(t+) 二、频率特性的定义47n用R(j)和C(j)分别表示输入信号Ar sint和输出信号cs(t)=Ac sin(t+)， 则输出稳态分量与输入正弦信号的复数比即为该系统的频率特性函数， 简称频率特性， 记作48n 输出与输入的振幅比随的变化关系称为幅频特性A(), 输出与输入的相位差随的变化关系称为相频特性(), 49所以：线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率特性（即为幅相频率特性，简称幅相特性）n频率特性的定义既可以适用于稳定系统，也可适用于不稳定系统稳定系统的频率特性可以用实验方法确定50 线性定常系统的传递函数为零初始条件下，输出和输入的拉氏变换之比 频率特性的物理意义：稳定系统的频率特性等于输出和输入的富氏变化之比所以如果 的傅氏变换存在，可令 上式的拉氏反变换为51由于频率特性是传递函数的一种特殊形式，因而它和传递函数、微分方程一样，可以表征系统的运动规律，是描述系统的又一种数学模型。

三种系统描述之间的关系52以RC网络为例而RC电路的传递函数为T=RC频率特性53幅频特性：相频特性：幅频和相频特性都是输入正弦频率的函数5455对频率特性的几点说明（1） 频率特性不仅仅针对系统而言， 其概念对控制元部件、 控制装置也都适用；（3） 由于系统（环节）动态过程中的稳态分量总是可以分离出来， 而且其规律性并不依赖于系统的稳定性， 因此可以将频率特性的概念推广到不稳定系统（环节）2） 频率特性只适用于线性定常模型，否则不存在这种稳态对应关系；56（4） 由频率特性G(j)的表达式可知，其包含了系统的全部动态结构和参数，所以根据频率法可运用稳态的频率特性间接研究系统的动态响应，避免求解高阶微分方程；（5） 根据频率特性的定义可知， 即使在不知道系统内部结构和机理的情况下， 也可以按照频率特性的物理意义通过实验来确定， 这正是引入频率特性这一数学模型的主要原因之一57三、频率特性的几种表示方法频率特性的图形表示是描述系统的输入频率从0到变化时频率响应的幅值、 相位与频率之间关系的一组曲线虽然系统的频率特性函数有严格的数学定义， 但它最大的优点是可以用图示方法简明、 清晰地表示出来， 这正是该方法深受广大工程技术人员欢迎的原因所在。

581、幅频特性、相频特性、幅相特性 =为系统的幅频频特性为系统的相频频特性59n幅相频率特性图又称奈奎斯特图（Nyquist）图或极坐标频率特性图n极坐标频率特性图是当从0到变化时，以为参变量，在极坐标图上绘出G(j)的模|G(j)|和幅角G(j) 随变化的曲线，即当从0到变化时，向量G(j)的矢端轨迹n G(j)曲线上每一点所对应的向量都表与某一输入频率相对应的系统（或环节）的频率响应， 其中向量的模反映系统（或环节）的幅频特性， 向量的相角反映系统（或环节）的相频特性 幅相特性60n绘制C电路的幅频特性、相频特性、幅相特性例解 该电路的频率特性为在不同下求出的|G(j)|及G(j)如表5-所示61表5-不同下的|G(j)|及G(j)的值1/2T1/T2/T3/T4/T5/T0.45 0.320.240.2-63.5-71.5 -76-78.762RC网络的幅频特性和相频特性1/2T1/T2/T3/T4/T5/T0.45 0.320.240.2-63.5-71.5 -76-78.763图53 RC网络的幅相特性曲线1/2T1/T2/T3/T4/T5/T0.45 0.320.240.2-63.5-71.5 -76-78.7RC网络的幅相曲线是以 为圆心，半径为 的半圆64在工程实际中, 常常将频率特性画成对数坐标图形式,对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包括对数幅频和对数相频两条曲线2、对数频率特性的变化范围极广（0），如果采用普通坐标分度的话，很难展示出其如此之宽的频率范围。