第4章 线性系统的频域分析.docx

频域分析法频域分析方法是根据系统的频率特性来分析系统的性能，也常称为频率特性法或频率 法频域分析法有以下特点，首先是频率特性有明确的物理意义系统的频率响应可以用数 学模型算出，也可以通过实际的频率特性实验测出这一点在工程实践上价值很大，特别是 对结构复杂或机理不明确的对象，频率分析法提供了一个处理这类问题的有效方法频率法 计算简单，只用很小的计算量和很简单的运算方法，再辅以作图，便可以完成分析与综合的 工作当前已有一套完整便捷的基于频率法的计算机辅助设计软件，可以代替人工完成绝大 部分的设计工作频率法也有其缺点和局限性频率法只适合用于线性定常系统从原理上讲频率法不能 用于非线性系统或时变系统虽然在研究非线性系统时也借用了频率法的一些思想，但只能 在特定的条件下解决一些很有局限性的问题本章研究频率特性的基本概念、图示方法、控制系统的稳定性判据、系统性能的频域分 析方法4.1频率特性系统的频率特性描述了线性系统在正弦信号输入下其稳态输出和输入的关系为了说明频率特性的概念，下面分析线性系统在正弦输入信号的作用下，其输出信号和 输入信号间的关系设线性定常系统输入信号为r(t)，输出信号为c(t)，如图4-1所示。

图 中G(s)为系统的传递函数C(s) b sm + b sm-1 + ••- + b s + b即」 G(s) = = 1 m— m ( n > m) (4-1)R(s) sn + a sn-1 +— + a s + a若在系统输入端作用一个时间的谐波函数，即r(t)= r si倒(+甲，)式中，'是振幅；®是频率；中是相角 顷 J 弘) _*为简便起见，假设中=贝0r(t) = r0 - sin ° t 图4-1 一般线性定常系统由于R (s)=」0^ = 蒙 (4-2)s2 +°2 (s + j°)(s 一 j°)系统输出C(s)为C (s) = G (s) R( s) = bsm+ 牛m 一1 + "・+、1s + bm ——*一sn + a sn-1 +…+ a s + a (s + j°)(s 一 j°)=£— + (工 + 工) (4-3)1 s - s s + j® s - j®式中，s’为系统特征根，即极点(设为互异)q, B, D均为相应极点处留数将上式进行 反变换，得c(t) = W C es’ + (Be-j®t + Dej®t) (4-4)l i=1对于稳态系统，特征根si具有负实部，则c(t)的第一部分瞬态分量，将随时间t的延续 逐渐消失。

系统的稳态分量为c (t) = Be-j®t + Dej®t (4-5)其中，B，D可由式(4-3)通过留数定理求得：B = G(s) - R(s) - (s + j®) = -V - G(- j®) (4-6)s=- j® -2 jD = G(s) - R(s) - (s - j®)| = X - G(j®) (4-7)'s=j® 2 j “由于G (- j®)是⑴®)的共轭复数，可以用极坐标形式表示为G (j®) = |G (j® )| ej/G (j®)G (- j®) = |G (- j® )| ej/G (- j®) = |G (j®)| e - j/G (j®) (4-8)将式(4-6)，(4-7)，(4-8)代入式(4-5)，得稳态分量为c (t) = —|G(j®)|e-j[®t+/g(j®)] +—|G(j®)|ej[®t+/g(j®)] ss 2j ， ' 2 j1 ' 1e j[®t+/ g (j®)] — e-j [®t+/ g (j®)]=r|G(j® )|(4-9)稳态输出信=r |G(j®)|sin[®t + /G(j®)]式(4-9)表明，线性定常系统在正弦输入信号r(t) = %-sin® t的作用下，号是与输入信号同频率、变幅值、有相移的正弦信号。

线性系统在一个正弦输入信号作用下，其稳态输出为同频率的正弦信号将稳态输出正 弦信号和输入信号的振幅之比称为系统的幅频特性，记为A(®)，它描述系统在稳态下响应 不同频率的正弦输入时的幅值的衰减或放大特性;将稳态输出与输入的相位差称为系统的相 频特性，记为中(®)，它描述了系统在稳态下响应不同频率的正弦输入时在相位上产生的超前或滞后；采用复数符号模和幅角表示振幅比和相位差，记为G(加)=A0)新(»)，称为 系统的频率特性若线性系统输入为r(t) - r • sinWi甲)，系统的稳态输出为c (t) = A sin(^t + ^ )0 ss c 1一 A r \G(jo)1 | |则幅频特性 A(o) = — = q =|G (jo )| (4-10)r r相频特性 中(°)=中—中= ZG( j°) (4-11)1频率特性 G (jo) = A(o )ej^ (o) = |G (jo )| eg (jo) = G (s)| (4-12)S = jo可以看出，系统的频率特性G( jo)表示了稳定系统在正弦信号输入下其稳态输出和输入 的关系G(jo)即包含了输入、输出的幅值比，又包含了它们的相位差。

频率特性除可以用 式(4-12)的极坐标形式表示外，还可以用直角坐标的形式来表示即G (jo) = X (o) + jY (o) = |G (jo )|ejw (o) (4-13)实频特性：G(jo)的实部，用Re(o)表示Re(o) = Re[G (jo)] = X (o) (4-14)虚频特性：G(jo)的虚部，用Im(o)表示4-15)(4-16)(4-17)Im(o) = Im[G (jo)] = Y (o)幅频特性：A(o) = |G (jo )\ =(X (o )2 + Y (o)2相频特性：中(o) “G(jo)=或1 X(°)由于频率特性G(jo)相当于把传递函数G(s)中的s换成jo，故频率特性可以通过系统 的传递函数求取若已知系统(环节)的微分方程或传递函数，令s = jo，便得到相应的 幅频特性、相频特性和频率特性的表达式，并可依此作出频率特性曲线频率特性和传递函 数以及微分方程一样，也表征了系统的运动规律，这正是频率分析法能够从频率特性出发研 究系统的理论依据上述三种系统描述法的关系可用图4-2说明图4-2频率特性、传递函数和微分方程三种线性系统描述之间的关系例4-1设系统方框图如图4-3所示，试根据频率特性的物理意义，求在输入信号r(t) = sin 2t作用下，系统的稳态输出孔(t)和稳态误差孔(t)。

图4-3例4-1系统方框图系统的闭环传递函数和误差传递函数:解：由系统方框图可得，C(s) _ 1 E(s) _ s +1R (s)~ s + 2，R( s「s + 2C(沁)R (爬)1 Z(- tan-1 m则相应的频率特性为#E (河) 河 +1 x-'o 2 +1 - ①、 = = , =Z(tan-1 ①-tan-1 一) R (jo) jo + 2 加 2 + 4 2由频率特性的定义可知，当r(t) = sin 2t时，系统的稳态输出o= 2系统的稳态误差① sin(21 - tan-1 y)=0.354sin(21 - 45o)®=2①sin[2t + (tan-1 ①一 tan-1 —) ] = 0.791sin(2t +18.43)o=22o=24.2典型环节和开环系统的奈氏图在工程分析和设计中，通常把频率特性画成曲线，从这些频率特性曲线出发进行研究 因此为了掌握频率分析法，首先要了解并掌握频率特性的各种作图表示方法控制工程中常 采用两种频率特性的图示方法：奈氏图和对数坐标图本节主要讲述奈氏图奈氏图（也称奈奎斯特图或极坐标图或Nyquist图）是频率特性法分析中常用的一种图 解法。

其特点是把频率们看成参变量，将频率特性的幅频和相频特性或实频和虚频特性同 时表示在复平面上上节中阐明频率特性可在复平面上用直角坐标形式表示：G （网=X （①）+ jY （①） （4-18）系统的频率特性也可表示为极坐标的形式：G （j①）=A（（^）ej（p（®）A（rn） =、：'X（rn ）2 + Y （rn ）2/、 Y （①）中（①）=tan-1 （4-19）X （①）可见，频率特性G（加）由幅值为|g（加）|，相角为中（①）的向量来表示当输入信号的S由0 * 变化时，向量G（加）的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动所形成的轨迹，称为G（加）的奈奎斯特（Nyquist）曲线（简称奈氏曲线）或幅相频率特性 曲线（简称幅相曲线）由于幅频特性是S的偶函数，相频特性是S的奇函数，所以一旦画 出了们从零变到无穷的幅相频率特性曲线，则们从零变到负无穷的幅相频率特性曲线根据 对称于实轴的原理随即可得因此一般只需绘制S从零变到无穷的奈氏曲线4.2.1典型环节的奈氏图为了便于对频率特性作图，本章中的开环传递函数均以时间常数形式表示在控制系统 中，一般有下列几种典型的环节组成：（1） 比例环节K（2） 积分环节1s（3） 微分环节s1（4） 一阶惯性环节 ，式中T>0；Ts +1（5） 一阶微分环节1 + Ts，式中T>0；（6） 振荡环节1/''（s2「①2+ 2“泌+1），式中，①/。

0<匚< 1 ；(7)二阶微分环节(s/3)2+ K s/① +1,式中，3 >0, 0

可见，一阶惯图4-8 一阶微分环节的奈氏图性环节是一个相位滞后环节，其最大滞后角为90此时频率为无穷大5. 一阶微分环节一阶微分环节的频率特性为。