北京市海淀区高三4月期中练习一模数学【理】试题及答案.doc

北京市海淀区高三4月期中练习（一模）数学理试题一、选择题1、 设集合，则（ ） . . . .2、 抛物线上的点到其焦点的最短距离为（ ） . . . .3、已知向量和向量的夹角为，，则（ ） . . . .4、 是“角是第一象限的角的（ ） . 充分而不必要条件 . 必要而不充分条件 .充分必要条件 .既不充分也不必要条件5、 圆（为参数）被直线截得的劣弧长为（ ） . . . .6、若满足，则下列不等式恒成立的是（ ） . . . .7、某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（ ）8、 某地区在六年内第年的生产总值（单位：亿元）与之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产 总值的年平均增长率最高的是（ ） . 第一年到第三年 . 第二年到第四年 . 第三年到第五年 . 第四年到第六年二、填空题 9、已知，其中为虚数单位，那么实数 10、执行如图所示的程序框图，输出的的职位 11、已知是等差数列， 那么= 的最大值为 12、在中，若 则的大小为 13、社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照， 要求排成一排，小红必须与两位老人都相邻， 且两位老人不能排在两端，则不痛的排法种数是 14、设，若存在实数，使得函数有两个零点，则的取值范围 三、解答题15、已知函数 （1）求的最小正周期及其图像的对称轴方程； （2）求的单调减区间。

16、 某超市从甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个， 并按分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立（1） 写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为 ，试比较的大小（只需写出结论） （2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率； （3）设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率， 求的数学期望17、 如图1，在直角梯形中，四边形是正方形，将正 方形沿折起到四边形的位置，使平面平面，为的中点，如图2. （1）求证： (2) 求与平面所成角的正弦值； （3）判断直线与的位置关系 图2图118、 已知函数 （1）求函数的单调区间 （2）若（其中），求的取值范围，并说明19、 已知椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的方程 （2）是否存在菱形,同时满足下列三个条件： 点在直线上； ‚点在椭圆上； ƒ直线的斜率等于1. 如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由。

20、（14分）有限数列同时满足下列条件①对于任意的②对于任意的三个数中至少有一个数是数列An中的项I）若n＝4，且，求a的值；（II）证明：2，3，5不可能是数列An中的项；（III）求n的最大值海淀区高三年级第二学期期中练习 数学（理）答案及评分参考标准 20xx.4一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）A （6）D （7）C （8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9） （10） （11） （12）或 （13） （14）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为 ………………2分 . 所以 . ………………4分令，得：. ………………6分所以 的最小正周期为，对称轴的方程为.（Ⅱ）. ………………9分 令， 得：. 所以 的单调递减区间为. ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）； ………………2分. ………………4分（Ⅱ）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则，. ………………6分 所以 . ………………8分 （Ⅲ）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3. ………………9分， ，，. 所以的分布列为01230.3430.4410.1890.027 ………………11分所以 的数学期望.………………13分另解：由题意可知.所以 的数学期望. ………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）证明：因为 四边形为正方形， 所以 . 因为 平面平面，平面平面，平面， 所以 平面. ………………2分 因为 平面， 所以 . ………………4分（Ⅱ）解：如图，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则. 所以 ，，. ………………6分 设平面的一个法向量为. 由得令，得，所以 . ………………8分设与平面所成角为，则.所以 与平面所成角的正弦值为. ………………10分（Ⅲ）解：直线与直线平行. 理由如下： ………………11分由题意得，.所以 . 所以 . ………………13分因为 ，不重合，所以 . ………………14分另解：直线与直线平行. 理由如下：取的中点，的中点，连接，，.所以 且.因为 为的中点，四边形是正方形，所以 且.所以 且.所以 为平行四边形.所以 且.因为 四边形为梯形，，所以 且.所以 四边形为平行四边形.所以 且.所以 且.所以 是平行四边形.所以 ，即. ………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）. ………………2分（ⅰ）当时，，则函数的单调递减区间是. ………………3分 （ⅱ）当时，令，得. 当变化时，,的变化情况如下表↘极小值↗ 所以 的单调递减区间是，单调递增区间是. ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意. ………………6分 当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即. 所以 . ………………7分当时，.令，则.当时，，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 . ………………9分因为 ，，，所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为. ………………11分因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是. ………………12分因为 ，，所以 . ………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得： ………………3分解得：所以 椭圆的方程为. ………………4分（Ⅱ）不存在满足题意的菱形，理由如下： ………………5分假设存在满足题意的菱形.设直线的方程为，，，线段的中点，点. 。