群的基本概念教材课件.ppt

群的基本概念群的基本概念目录目录2 群的基本概念群的基本概念2.1 群的定义群的定义2.3 同构与同态同构与同态2.2 群的乘法表群的乘法表2.4 群的直积群的直积2.6 分子点群的共轭分类分子点群的共轭分类2.5 群元素的共轭分类群元素的共轭分类2.1 群的定义群的定义元素元素 A、B、C、. 组成集合组成集合 G，在集合，在集合 G 中定义有称为中定义有称为 乘法乘法 的某种组合运算，如果的某种组合运算，如果 G 对该对该 乘法乘法 满足以下四个条件，则集合满足以下四个条件，则集合 G 构成群构成群1) 封闭性封闭性 A、B 为群为群 G 中的元素，如果：中的元素，如果：AB = C则则 C 也是群也是群 G 中的一个元素中的一个元素2) 结合律结合律 群元素相乘满足乘法结合律，如：群元素相乘满足乘法结合律，如：ABC = ( AB )C =A( BC )(3) 恒等元素恒等元素 群中有且仅有一个恒等元素群中有且仅有一个恒等元素 E，且有：，且有：EX = XE = X其中其中 X 为群中的任何元素为群中的任何元素群元素的数目称为群的阶群元素的数目称为群的阶 h .(4) 逆元素逆元素 群中任一元素群中任一元素 X 都有一个逆元素都有一个逆元素 X-1 ，且逆元素，且逆元素 X-1 也也是该群中的元素，且有：是该群中的元素，且有：X X-1 = X-1 X = E 从数学的角度看，按一定规则联系起来的任何元素的一个集合，从数学的角度看，按一定规则联系起来的任何元素的一个集合，如果满足上述四个条件，就称为群。

群的特征不在于构成群的是何种如果满足上述四个条件，就称为群群的特征不在于构成群的是何种元素，而在于它们共同遵守着某种规则，这种规则反映了群元素之间元素，而在于它们共同遵守着某种规则，这种规则反映了群元素之间的内在联系的内在联系除除 0 以外的全体实数的集合对数的乘法构成群；（以外的全体实数的集合对数的乘法构成群；（1）任意两实数之）任意两实数之积仍为实数，（积仍为实数，（2）数的乘法服从结合律，（）数的乘法服从结合律，（3）恒等元为）恒等元为 1，（，（4）逆元为其倒数逆元为其倒数例例 1-1 实数加法群实数加法群例例 1-2 实数乘法群实数乘法群全体实数的集合对于数的加法构成群；（全体实数的集合对于数的加法构成群；（1）任意两实数之和仍为实）任意两实数之和仍为实数，（数，（2）数的加法服从结合律，（）数的加法服从结合律，（3）恒等元为）恒等元为 0，（，（4）逆元为其）逆元为其相反值例例 1-3 立正操立正操例例 1-4 全体正整数的集合不能构成整数乘法群尽管该集合满足封全体正整数的集合不能构成整数乘法群尽管该集合满足封闭性和结合律，也有恒等元，但除闭性和结合律，也有恒等元，但除 1 以外，其余元素均无逆元。

以外，其余元素均无逆元四个操练动作：立正，向右转，向左转，向后转的集合构成群，如四个操练动作：立正，向右转，向左转，向后转的集合构成群，如果定义两个动作的乘法为进行一个动作之后接着进行另一个动作果定义两个动作的乘法为进行一个动作之后接着进行另一个动作例例 1-5 全体实数的集合，虽然能构成实数加法群，但不能构成实数全体实数的集合，虽然能构成实数加法群，但不能构成实数乘法群因为其中的乘法群因为其中的 0 无逆元2.2 群的乘法表群的乘法表 群是按一定规律相互联系着的元素的集合，这个规律就是所谓群是按一定规律相互联系着的元素的集合，这个规律就是所谓的乘法对一个有的乘法对一个有 h 个元素的有限群来说，如果知道了所有可能的个元素的有限群来说，如果知道了所有可能的乘积（乘积（h2 ）是什么，那么群元素之间的关系就一目了然，这个群就）是什么，那么群元素之间的关系就一目了然，这个群就完全且唯一的被定义了乘法表就是这样一个概念完全且唯一的被定义了乘法表就是这样一个概念 对于一个有限群对于一个有限群 G 和群和群 G 中任意两个元素的乘积关系以表格的中任意两个元素的乘积关系以表格的形式来表示，称为乘法表。

形式来表示，称为乘法表利用乘法表可以方便的进行群的运算利用乘法表可以方便的进行群的运算1）乘法表由）乘法表由 h 行和行和 h 列组成列组成列列写在表的左边，写在表的左边，行行在表的顶部如：在表的顶部如：1）乘法表由）乘法表由 h 行和行和 h 列组成列组成列列写在表的左边，写在表的左边，行行在表的顶部如：在表的顶部如：2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，习惯上按照习惯上按照（列）（列）（行）（行）定义，即在定义，即在 x 列列和和 y 行行的交叉点上找到的的交叉点上找到的元素是元素是 xy 的乘积1）乘法表由）乘法表由 h 行和行和 h 列组成列组成列列写在表的左边，写在表的左边，行行在表的顶部如：在表的顶部如：2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，习惯上按照习惯上按照（列）（列）（行）（行）定义，即在定义，即在 x 列列和和 y 行行的交叉点上找到的的交叉点上找到的元素是元素是 xy 的乘积行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左乘行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左乘因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上。

因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上1）乘法表由）乘法表由 h 行和行和 h 列组成列组成列列写在表的左边，写在表的左边，行行在表的顶部如：在表的顶部如：2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，习惯上按照习惯上按照（列）（列）（行）（行）定义，即在定义，即在 x 列列和和 y 行行的交叉点上找到的的交叉点上找到的元素是元素是 xy 的乘积行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左乘行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左乘因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上重排定理重排定理 在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一次且只被列入一次次且只被列入一次由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有任意两列全同任意两列全同每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列重排定理重排定理 重排定理能帮助构建乘法表重排定理能帮助构建乘法表如三阶（抽象）群：如三阶（抽象）群： 在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一次且只被列入一次。

次且只被列入一次由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有任意两列全同任意两列全同每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列重排定理重排定理 重排定理能帮助构建乘法表重排定理能帮助构建乘法表如三阶（抽象）群：如三阶（抽象）群： 在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一次且只被列入一次次且只被列入一次由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有任意两列全同任意两列全同每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列例例 2-1 二阶点群二阶点群 抽象的看，只有一个可能的二阶群，它具有下列乘法表这个抽象的看，只有一个可能的二阶群，它具有下列乘法表这个群用符号群用符号 G2 表示例例 2-2 三阶点群三阶点群 G3 也只有一种可能：也只有一种可能：例例 2-2 三阶点群三阶点群 G3 也只有一种可能：也只有一种可能：循环群：循环群：G = |a1, a2, an = E|上述 G3 群是循环群的一个例子。

群是循环群的一个例子AA = A2 = B, AB = A3 = E1） 四阶循环群四阶循环群 ：例例 2-3 四阶群有两个四阶群有两个：1） 四阶循环群四阶循环群 ：例例 2-3 四阶群有两个四阶群有两个：AA = A2 = B, AB = A3 = C, AC = A4 = EBA = A3 = C, BB = A4 = E, BC = A5 = ACA = A4 = E, CB = A5 = A, CC = A6 = B2） 四阶群四阶群 ：例例 2-3 四阶群有两个四阶群有两个：2） 四阶群四阶群 ：例例 2-3 四阶群有两个四阶群有两个：这个群的特点是每个群元素的逆都是其自身这个群的特点是每个群元素的逆都是其自身2） 四阶群四阶群 ：例例 2-3 四阶群有两个四阶群有两个：可对易（可对易（Abel）群：）群：任意两群元素的乘积是可对易的，任意两群元素的乘积是可对易的，aiaj =ajai上述例子都是上述例子都是 Abel 群的例子群的例子这个群的特点是每个群元素的逆都是其自身这个群的特点是每个群元素的逆都是其自身例例 2-4 C2v 群群例例 2-4 C2v 群群例例 2-5 S3 置换群置换群 S3 置换群是三个数码置换群是三个数码 1，2，3 的所有可能的置换，共有的所有可能的置换，共有 6 个群个群元素：元素： 群元素相乘相当于进行一次置换后，再进行一次置换群元素相乘相当于进行一次置换后，再进行一次置换。

置换群的群元素相乘彼此不对易，作用的先后次序是重要的：置换群的群元素相乘彼此不对易，作用的先后次序是重要的：先右边先右边，再左边再左边（action in turn !）如 由此可得到由此可得到 S3 置换群的乘法表置换群的乘法表 S3 置换群表：置换群表：C3v 群的群元素与群的群元素与 S3 置换群的置换群的群元素存在一一对应关系这群元素存在一一对应关系这个对应关系可通过右图分析得个对应关系可通过右图分析得出出如：如：例例 2-6 C3v 群群C3v 群的群元素作用下三个数码的置换群的群元素作用下三个数码的置换C3v 群的群元素作用下三个数码的置换群的群元素作用下三个数码的置换C3v 群的群元素与群的群元素与 S3 置换群的置换群的群元素存在一一对应关系这群元素存在一一对应关系这个对应关系可通过右图分析得个对应关系可通过右图分析得出出如：如：例例 2-6 C3v 群群根据两个群的群元素的对应关系可以得到根据两个群的群元素的对应关系可以得到 C3v 的群表：的群表：2.3 同构与同态同构与同态如如 例例 2-1 中的中的 C2 群、群、Ci 群、群、Cs 群三个群同构群三个群同构两个群，如果其群元素数目相同（两个群，如果其群元素数目相同（同阶群同阶群），而且乘法关系相同），而且乘法关系相同（有相同的乘法表有相同的乘法表），则称这两个群），则称这两个群同构同构，即有相同的结构。

即有相同的结构如如 C3v 群与群与 S3 群同构此外，还有群同构此外，还有 Cnv 群与群与 Dn 群同构，群同构，O 群与群与 Td 群同构同构与同态在构造群表和群的特征标表中作用很大同构与同态在构造群表和群的特征标表中作用很大如果两个群的群元素之间存在如果两个群的群元素之间存在 1 对对 m 的关系，则这两个群同态的关系，则这两个群同态如如 G2 群与群与 C3v 群同态，存在着群同态，存在着 1 对对 3 的关系从乘法表的区域分布的关系从乘法表的区域分布可以看出：可以看出：2.4 群的直积：直积群群的直积：直积群2.4.1 子群子群因为有相同的乘法关系，子群因为有相同的乘法关系，子群 H 与群与群 G 有相同的单位元素有相同的单位元素若一个群若一个。