湖南省高中数学 小专题复习课 热点总结与强化训练(四)配套课件 理 新人教A版.ppt

热点总结与强化训练(四)热点热点1 1 空间几何体的三视图及其表面积、体积空间几何体的三视图及其表面积、体积 1.1.本热点在高考中的地位本热点在高考中的地位 柱、锥、台、球及其简单组合体，三视图柱、锥、台、球及其简单组合体，三视图, ,直观图等内容直观图等内容是立体几何的基础，是研究空间问题的基本载体，也是高考对是立体几何的基础，是研究空间问题的基本载体，也是高考对立体几何考查的一个重要方面，其中几何体的结构特征和三视立体几何考查的一个重要方面，其中几何体的结构特征和三视图是高考的热点图是高考的热点. .从近几年的新课标高考来看，对三视图的考从近几年的新课标高考来看，对三视图的考查每年都有，主要以选择题、填空题的形式考查三视图、几何查每年都有，主要以选择题、填空题的形式考查三视图、几何体的表面积、体积的计算，且难度有逐年加大的趋势体的表面积、体积的计算，且难度有逐年加大的趋势. . 2. 2.本热点在高考中的命题方向及命题角度本热点在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对三视图的考查每年都有所变化，主要有以从高考来看，对三视图的考查每年都有所变化，主要有以下几种方式：下几种方式： (1)(1)由几何体画三视图或考查对简单几何体的三视图的识由几何体画三视图或考查对简单几何体的三视图的识别；别； (2)(2)由三视图还原几何体，主要考查对空间几何体的认识由三视图还原几何体，主要考查对空间几何体的认识及空间想象能力；及空间想象能力； (3) (3)借助于三视图研究几何体，将三视图与几何体的表面借助于三视图研究几何体，将三视图与几何体的表面积、体积的计算结合在一起进行考查积、体积的计算结合在一起进行考查. .另外，此类问题也可能另外，此类问题也可能以解答题的形式进行综合考查，以三视图的形式给出几何体的以解答题的形式进行综合考查，以三视图的形式给出几何体的特征，进一步考查空间中的位置关系特征，进一步考查空间中的位置关系. . 1. 1.识与画三视图的关键点识与画三视图的关键点 (1)(1)要牢记三视图的观察方向和长、宽、高的关系要牢记三视图的观察方向和长、宽、高的关系. .三视图三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，反映了一正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，反映了一个几何体各个侧面的特点个几何体各个侧面的特点. .正视图反映物体的主要形状特征正视图反映物体的主要形状特征, ,是是三视图中最重要的视图三视图中最重要的视图; ;俯视图要和正视图对正俯视图要和正视图对正, ,画在正视图的画在正视图的正下方；侧视图要画在正视图的正右方正下方；侧视图要画在正视图的正右方, ,高度要与正视图平齐高度要与正视图平齐. . (2) (2)要熟悉各种基本几何体的三视图要熟悉各种基本几何体的三视图. . 2. 2.空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 (1)(1)柱体、锥体、台体的侧面积就是各个侧面积之和，表柱体、锥体、台体的侧面积就是各个侧面积之和，表面积就是各个面的面积之和，即侧面积和底面积之和面积就是各个面的面积之和，即侧面积和底面积之和. . (2) (2)圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式. .名称名称 表面积表面积体积体积圆柱圆柱 2πr2πrl+2πr+2πr2 2(r(r为底面半径，为底面半径，l为母线长为母线长) ) V=Sh V=Sh=πr=πr2 2h h(S(S为底面面积，为底面面积，h h为高为高) ) 圆锥圆锥 πrπrl+πr+πr2 2(r(r为底面半径，为底面半径，l为母线长为母线长) )(S S为底面面积为底面面积，，h h为为高高)圆台圆台π(r1+r2)l+πr12+πr22(r1,r2为上，下底面半径，为上，下底面半径，l为母线为母线长长)(S′(S′，，S S为上、下底面面积，为上、下底面面积，h h为高为高) )球球4πR4πR2 2( (半径为半径为R)R)V= πRV= πR3 3( (半径为半径为R)R) 3. 3.几何体的表面积及体积问题求解技巧几何体的表面积及体积问题求解技巧 (1)(1)求几何体的表面积和体积问题，可以多角度、多方位求几何体的表面积和体积问题，可以多角度、多方位考虑，熟记公式是关键所在考虑，熟记公式是关键所在. .求三棱锥的体积，等体积转化是求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上一面上. . (2) (2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以便于求解不规则几何体转化为规则几何体以便于求解. . 平时的备考中要从对空间几何体的整体观察入手，遵循从平时的备考中要从对空间几何体的整体观察入手，遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则认识空间图形，通常采用直整体到局部、从具体到抽象的原则认识空间图形，通常采用直观感知认识空间图形，培养和发展空间想象能力及几何直观能观感知认识空间图形，培养和发展空间想象能力及几何直观能力力. .同时对于几何体的表面积、体积的求法要加大训练，培养同时对于几何体的表面积、体积的求法要加大训练，培养准确运算的能力准确运算的能力. .1.(20111.(2011··广东高考广东高考) )如图，某几何体的正视图如图，某几何体的正视图( (主视图主视图) )是平行是平行四边形，侧视图四边形，侧视图( (左视图左视图) )和俯视图都是矩形和俯视图都是矩形, ,则该几何体的体则该几何体的体积为积为( )( )(A)6 (B)9 (C)12 (D)18(A)6 (B)9 (C)12 (D)18【解析【解析】】选选B.B.由三视图得，几何体为一平行六面体，底面是边由三视图得，几何体为一平行六面体，底面是边长为长为3 3的正方形，高的正方形，高 . .所以几何体的体积所以几何体的体积 故选故选B.B.2.(20112.(2011·· 浙江高考浙江高考) )若某几何体的三视图如图所示，则这个若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是几何体的直观图可以是( )( )【解析【解析】】选选D.D.由三视图的概念容易判断由三视图的概念容易判断A A、、B B的正视图应是正方的正视图应是正方形，形，C C的俯视图不含从正方形的顶点到一边中点的斜线，故的俯视图不含从正方形的顶点到一边中点的斜线，故D D正正确确. .3.(20123.(2012··济南模拟济南模拟) ) 一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示( (单位长度单位长度:cm), :cm), 则此几何体的表面积是则此几何体的表面积是( )( )(A)(80+16 ) cm(A)(80+16 ) cm2 2 (B)84 cm(B)84 cm2 2(C)(96+16 ) cm(C)(96+16 ) cm2 2 (D)96 cm(D)96 cm2 2【【解析解析】】选选A.A.由三视图可得该几何体是正四棱锥与正方体的组由三视图可得该几何体是正四棱锥与正方体的组合，合，S S表面积表面积＝＝4 42 2××5+4( )5+4( )=(80+16 )cm=(80+16 )cm2 2. .4.(20124.(2012··揭阳模拟揭阳模拟) )如图，三棱柱如图，三棱柱ABCABC——A A1 1B B1 1C C1 1的侧棱长和底面的侧棱长和底面边长均为边长均为4 4，且侧棱，且侧棱AAAA1 1⊥⊥底面底面ABCABC，其正视图是边长为，其正视图是边长为4 4的正方的正方形，则此三棱柱的侧视图的面积为形，则此三棱柱的侧视图的面积为( )( )(A)16 (B) (C) (D)(A)16 (B) (C) (D)【解析【解析】】选选D.D.由题意知该三棱柱的侧视图是长为由题意知该三棱柱的侧视图是长为4 4，宽为，宽为 的矩形，故其面积为的矩形，故其面积为5.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为分别为( )( )(A)7+ (A)7+ ，，3 (B)8+ 3 (B)8+ ，，3 3(C)7+ (C)7+ ，， (D)8+ (D)8+ ，，【解析【解析】】选选C.C.由几何体的三视图可得，此几何体是四棱柱，底由几何体的三视图可得，此几何体是四棱柱，底面是梯形，其表面积为面是梯形，其表面积为S S＝＝2 2×× (1 (1＋＋2)2)××1 1＋＋1 12 2＋＋1 12 2＋＋1 1××2 2＋＋ ××1 1＝＝7 7＋＋ ，体积为，体积为6.(20126.(2012··潍坊模拟潍坊模拟) )某几何体的一条棱长为某几何体的一条棱长为 ，在该几何体，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的正视图中，这条棱的投影是长为 的线段，在该几何体的的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a a和和b b的线段，则的线段，则a a＋＋b b的最大值为的最大值为( )( )(A) (B) (C)4 (D)(A) (B) (C)4 (D)【解析【解析】】选选C.C.结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图，设长方体的长、宽、高分别为算．如图，设长方体的长、宽、高分别为m m，，n n，，k k，由题意得，由题意得 ，， ⇒⇒n n＝＝1 1，，∴∴(a(a2 2－－1)1)＋＋(b(b2 2－－1)1)＝＝6 6⇒⇒a a2 2＋＋b b2 2＝＝8 8，，∴(a∴(a＋＋b)b)2 2＝＝a a2 2＋＋2ab2ab＋＋b b2 2＝＝8 8＋＋2ab≤82ab≤8＋＋a a2 2＋＋b b2 2＝＝16.16.即即a a＋＋b≤4b≤4，当且仅当，当且仅当a a＝＝b b＝＝2 2时取等号时取等号. .7.(20127.(2012··福州模拟福州模拟) )一几何体的三视图如图所示：一几何体的三视图如图所示：(1)(1)画出它的直观图，并求其体积；画出它的直观图，并求其体积；(2)(2)你能发现该几何体的哪些面互相垂直？试一一列出．你能发现该几何体的哪些面互相垂直？试一一列出．【解析【解析】】(1)(1)几何体的直观图如图，棱锥几何体的直观图如图，棱锥P P－－ABCABC，，其中其中PC⊥PC⊥平面平面ABCABC，，∠ABC∠ABC＝＝9090°°，，△ABC△ABC斜边斜边ACAC上的高为上的高为 cmcm，，PCPC＝＝6 cm6 cm，，ACAC＝＝5 cm5 cm，， (2)(2)互相垂直的面分别有：平面互相垂直的面分别有：平面PAC⊥PAC⊥平面平面ABCABC，平面，平面PBC⊥PBC⊥平面平面ABCABC，，平面平面PBC⊥PBC⊥平面平面PAB.PAB.热点热点2 2 点、线、面的位置关系及空间向量在立体几何中的应用点、线、面的位置关系及空间向量在立体几何中的应用 1.1.本热点在高考中的地位本热点在高考中的地位 点、直线、平面的位置关系主要包括空间点、直线、平面之点、直线、平面的位置关系主要包括空间点、直线、平面之间的位置关系及线面、面面平行间的位置关系及线面、面面平行( (垂直垂直) )的判定和性质，是解决立的判定和性质，是解决立体几何中推理和计算问题的基础，而空间向量在立体几何中主要体几何中推理和计算问题的基础，而空间向量在立体几何中主要用于证明空间线面间的位置关系及计算空间角，它们都是高考的用于证明空间线面间的位置关系及计算空间角，它们都是高考的必考内容必考内容. . 2. 2.本热点在高考中的命题方向及命题角度本热点在高考中的命题方向及命题角度 高考对本部分内容考查的题型比较稳定，以空间线面关系高考对本部分内容考查的题型比较稳定，以空间线面关系的推理证明与二面角的求解为主，难度中等的推理证明与二面角的求解为主，难度中等. . (1) (1)以选择题、填空题的形式考查空间中的位置关系，且以选择题、填空题的形式考查空间中的位置关系，且这种题型常与充要条件及命题结合在一起这种题型常与充要条件及命题结合在一起. .有时也以此类题型有时也以此类题型考查空间角的求法考查空间角的求法. . (2) (2)解答题考查空间角的求法以及线线、线面、面面的垂解答题考查空间角的求法以及线线、线面、面面的垂直与平行等直与平行等. .第一问一般为空间线面关系的证明，第二问一般第一问一般为空间线面关系的证明，第二问一般是二面角的求法，并且根据几何体很容易建立空间直角坐标系，是二面角的求法，并且根据几何体很容易建立空间直角坐标系，将二面角的求解转化为空间向量的有关运算将二面角的求解转化为空间向量的有关运算. .  1. 1.直线、平面平行的判定与性质直线、平面平行的判定与性质 利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化，解决平利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化，解决平行关系的判定时，一般遵循从行关系的判定时，一般遵循从““低维低维””到到““高维高维””的转化，即的转化，即从从““线线平行线线平行””到到““线面平行线面平行””，再到，再到““面面平行面面平行””，而应用，而应用性质定理时，其顺序正好相反；但也要注意其转化的方向，要性质定理时，其顺序正好相反；但也要注意其转化的方向，要依题目的具体条件而定，不可过于模式化依题目的具体条件而定，不可过于模式化. .平行公理平行公理线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行 2. 2.直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质 (1)(1)线面垂直的判定和性质实质体现了线线垂直与线面垂线面垂直的判定和性质实质体现了线线垂直与线面垂直的相互转化直的相互转化. .判定定理中的两条相交直线必须保证判定定理中的两条相交直线必须保证““在平面在平面内相交内相交””这一条件，而且已知线面垂直，则直线与平面内任一这一条件，而且已知线面垂直，则直线与平面内任一直线垂直的性质又为我们提供了证明线线垂直的依据直线垂直的性质又为我们提供了证明线线垂直的依据. .  (2) (2)要证面面垂直，可以考虑利用面面垂直的定义即证这要证面面垂直，可以考虑利用面面垂直的定义即证这两个平面所成的二面角是直二面角；也可先证线面垂直，即设两个平面所成的二面角是直二面角；也可先证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平法先找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行面内或与另一个平面内的一条直线平行. .而见到面面垂直时要而见到面面垂直时要首先想到在其中一个平面内找首先想到在其中一个平面内找( (或作或作) )出交线的垂线，此直线与出交线的垂线，此直线与另一个平面垂直另一个平面垂直. . 3. 3.向量法证明线面位置关系的常用依据向量法证明线面位置关系的常用依据 设直线设直线l，，m m的方向向量分别为的方向向量分别为a＝＝(a(a1 1,b,b1 1,c,c1 1),),b=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2).).平面平面αα、、ββ的法向量分别为的法向量分别为 ＝＝(a(a3 3,b,b3 3,c,c3 3), =(a), =(a4 4,b,b4 4,c,c4 4).). (1) (1)线线平行：线线平行： l∥m∥m⇔⇔a∥∥b⇔⇔a=k=kb⇔⇔a a1 1=ka=ka2 2,b,b1 1=kb=kb2 2,c,c1 1=kc=kc2 2. . (2) (2)线线垂直：线线垂直： l⊥m⊥m⇔⇔a⊥⊥b⇔⇔a··b=0=0⇔⇔a a1 1a a2 2+b+b1 1b b2 2+c+c1 1c c2 2=0.=0.(3)(3)线面平行：线面平行：l∥α∥α⇔⇔a⊥ ⊥ ⇔⇔a·· =0=0⇔⇔a a1 1a a3 3+b+b1 1b b3 3+c+c1 1c c3 3=0.=0.(4)(4)线面垂直：线面垂直：l⊥⊥α⇔⇔a∥ ∥ ⇔⇔a=k =k ⇔⇔a a1 1=ka=ka3 3,b,b1 1=kb=kb3 3,c,c1 1=kc=kc3 3. .(5)(5)面面平行：面面平行：α∥β∥β⇔⇔ ∥ ∥ ⇔⇔ =k =k ⇔⇔a a3 3=ka=ka4 4,b,b3 3=kb=kb4 4,c,c3 3=kc=kc4 4. .(6)(6)面面垂直：面面垂直：α⊥βα⊥β⇔⇔ ⊥ ⊥ ⇔⇔ ·· =0=0⇔⇔a a3 3a a4 4+b+b3 3b b4 4+c+c3 3c c4 4=0.=0.  4. 4.巧用巧用““向量法向量法””求解求解““空间角空间角”” (1)(1)向量法求异面直线所成的角向量法求异面直线所成的角 若异面直线若异面直线a,ba,b的方向向量分别为的方向向量分别为a, ,b, ,异面直线所成的角异面直线所成的角为为θ,θ,则则 (2)(2)向量法求线面所成的角向量法求线面所成的角 求出平面的法向量求出平面的法向量n, ,直线的方向向量直线的方向向量a，设线面所成的，设线面所成的角为角为θ,θ,则则 (3) (3)向量法求二面角向量法求二面角 求出二面角求出二面角α-α-l-β-β的两个半平面的两个半平面αα与与ββ的法向量的法向量n1 1, ,n2 2, ,若二面角若二面角α-α-l-β-β所成的角所成的角θθ为锐角，为锐角， 则则 若二面角若二面角α-α-l-β-β所成的角所成的角θθ为钝角，为钝角， 则则 (1) (1)熟练掌握立体几何的基本概念、公理、定理是基础；解熟练掌握立体几何的基本概念、公理、定理是基础；解题步骤要规范，注重通性通法的运用题步骤要规范，注重通性通法的运用. . (2) (2)从高考的考查形式看，命题的载体以柱体、锥体为主，从高考的考查形式看，命题的载体以柱体、锥体为主，但同时也逐步趋向不规则几何体，因此要有意识地加强对空间几但同时也逐步趋向不规则几何体，因此要有意识地加强对空间几何体结构特征的认识和空间想象能力的培养何体结构特征的认识和空间想象能力的培养. . (3) (3)重视空间直角坐标系的建立方法及对向量计算的训练重视空间直角坐标系的建立方法及对向量计算的训练. . (4) (4)注重数学方法，加强学法指导注重数学方法，加强学法指导. . 转化与化归的思想贯穿立体几何的始终，是处理立体几何转化与化归的思想贯穿立体几何的始终，是处理立体几何问题的基本思想．另外还要注意提高识图、理解图、应用图的问题的基本思想．另外还要注意提高识图、理解图、应用图的能力，解题时应多画、多看、多想，这样才能提高空间想象能能力，解题时应多画、多看、多想，这样才能提高空间想象能力和解决问题的能力力和解决问题的能力. .1.(20111.(2011··新课标全国卷新课标全国卷) )如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD为为平行四边形，平行四边形，∠DAB=60∠DAB=60°°,AB=2AD,PD⊥,AB=2AD,PD⊥底面底面ABCDABCD．．(1)(1)证明：证明：PA⊥BDPA⊥BD；；(2)(2)若若PD=ADPD=AD，求二面角，求二面角A-PB-CA-PB-C的余弦值的余弦值. .【解题指南【解题指南】】(1)(1)利用勾股定理证明利用勾股定理证明BD⊥AD,BD⊥AD,从而证明从而证明PD⊥PD⊥平面平面ABCDABCD，再证，再证BD⊥BD⊥平面平面PADPAD即可即可. .(2)(2)建立空间直角坐标系，求出平面建立空间直角坐标系，求出平面PABPAB和平面和平面PBCPBC的法向量，的法向量，利用向量求解利用向量求解. .【解析【解析】】(1)(1)因为因为∠DAB=60∠DAB=60°°，，AB=2AD,AB=2AD,由余弦定理得由余弦定理得 BD= AD,BD= AD,从而从而BDBD2 2+AD+AD2 2= AB= AB2 2，故，故BD⊥AD,BD⊥AD,又又PD⊥PD⊥底面底面ABCDABCD，可得，可得BD⊥PD,BD⊥PD,又因为又因为PD∩AD=D,PD∩AD=D,所以所以BD⊥BD⊥平面平面PAD,PAD,故故 PA⊥BD.PA⊥BD.(2)(2)如图，以如图，以D D为坐标原点，为坐标原点，ADAD的长为单位长，射线的长为单位长，射线DADA为为x x轴的轴的正半轴建立空间直角坐标系正半轴建立空间直角坐标系DxyzDxyz，，则则A(1,0,0)A(1,0,0)，，B(0, ,0)B(0, ,0)，，C(-1, ,0)C(-1, ,0)，，P(0,0,1).P(0,0,1). =(-1, ,0), =(0, ,-1), =(-1,0,0), =(-1, ,0), =(0, ,-1), =(-1,0,0),设平面设平面PABPAB的一个法向量为的一个法向量为n=(x,y,z=(x,y,z) )，，由由 ，得，得令令y=1y=1，得，得同理可得平面同理可得平面PBCPBC的一个法向量为的一个法向量为所以所以由图形知，二面角由图形知，二面角A-PB-CA-PB-C为钝角，为钝角，故二面角故二面角A-PB-CA-PB-C的余弦值为的余弦值为2.2.如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABCABC——A A1 1B B1 1C C1 1中，中，AC⊥BCAC⊥BC，，AC=BC=1AC=BC=1，，CCCC1 1=2,=2,点点D D、、E E分别是分别是AAAA1 1、、CCCC1 1的中点的中点. . (1)(1)求证：求证：AE∥AE∥平面平面BCBC1 1D D；；(2)(2)证明：平面证明：平面BCBC1 1D⊥D⊥平面平面BCDBCD；；(3)(3)求求CDCD与平面与平面BCBC1 1D D所成角的正切值所成角的正切值. .【解析【解析】】(1)(1)在矩形在矩形ACCACC1 1A A1 1中，中，由由C C1 1E∥AD,CE∥AD,C1 1E=ADE=AD，，得四边形得四边形AECAEC1 1D D是平行四边形，是平行四边形，所以所以AE∥DCAE∥DC1 1. . 又又AEAE平面平面BCBC1 1D D，，C C1 1D D⊂ ⊂平面平面BCBC1 1D D，，所以所以AE∥AE∥平面平面BCBC1 1D.D.(2)(2)直三棱柱直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，BC⊥CCBC⊥CC1 1，，AC⊥BCAC⊥BC，，CCCC1 1∩AC=C∩AC=C，，所以所以BC⊥BC⊥平面平面ACCACC1 1A A1 1，，而而C C1 1D D⊂ ⊂平面平面ACCACC1 1A A1 1，，所以所以BC⊥CBC⊥C1 1D.D.在矩形在矩形ACCACC1 1A A1 1中，中，DC=DCDC=DC1 1= = ，，CCCC1 1=2=2，，从而从而DCDC2 2+DC+DC1 12 2=CC=CC1 12 2，，所以所以C C1 1D⊥DCD⊥DC，， 又又DC∩BC=CDC∩BC=C，，所以所以C C1 1D⊥D⊥平面平面BCDBCD，， 而而C C1 1D D⊂ ⊂平面平面BCBC1 1D D，，所以平面所以平面BCBC1 1D⊥D⊥平面平面BCD.BCD.(3)(3)方法一方法一: :由由(2)(2)可知平面可知平面BCBC1 1D⊥D⊥平面平面BCDBCD，所以，斜线，所以，斜线CDCD在平在平面面BCBC1 1D D的射影在的射影在BDBD上，上，∠BDC∠BDC即为直线即为直线CDCD与平面与平面BCBC1 1D D所成的角所成的角. .又由又由(2)(2)可知，可知，BC⊥BC⊥平面平面ACCACC1 1A A1 1，，所以，所以，BC⊥CDBC⊥CD，，所以，三角形所以，三角形BCDBCD是直角三角形，是直角三角形，BC=1,CD= BC=1,CD= ，，所以所求值为所以所求值为方法二：以方法二：以C C1 1为原点，射线为原点，射线C C1 1A A1 1，，C C1 1B B1 1,C,C1 1C C为为x,y,zx,y,z轴的正半轴轴的正半轴建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，则则C(0,0,2),D(1,0,1),CC(0,0,2),D(1,0,1),C1 1(0,0,0),B(0,1,2)(0,0,0),B(0,1,2)，则，则 =(-1,0,1)=(-1,0,1)，， =(1=(1，，0 0，，1)1)，， =(0=(0，，-1-1，，-2).-2).设平面设平面BCBC1 1D D的一个法向量为的一个法向量为n=(x,y,1)=(x,y,1)，，由由 , ,得得x+1=0x+1=0，，由由 , ,得得y+2=0y+2=0，， 由以上两式解得由以上两式解得x=-1,y=-2,∴x=-1,y=-2,∴n=(-1,-2,1)=(-1,-2,1)，，设设n与与 的夹角为的夹角为θθ，，则则即即CDCD与平面与平面BCBC1 1D D所成角的正弦值为所成角的正弦值为 ，故所求值为，故所求值为3.3.如图，矩形如图，矩形ABCDABCD所在的平面与平面所在的平面与平面AEBAEB垂直，且垂直，且∠BAE=120∠BAE=120°°，，AE=AB=4AE=AB=4，，AD=2AD=2，，F,G,HF,G,H分别为分别为BE,AE,BCBE,AE,BC的中点．的中点．(1)(1)求证：直线求证：直线DEDE与平面与平面FGHFGH平行；平行；(2)(2)若点若点P P在直线在直线GFGF上，且二面角上，且二面角D D——BPBP——A A的大小为的大小为 ，试确定，试确定点点P P的位置．的位置．【解析【解析】】(1)(1)取取ADAD的中点的中点M M，连接，连接MHMH，，MG.MG.∵F∵F，，G,HG,H分别是分别是BEBE，，AE,BCAE,BC的中点，的中点，∴MH∥AB,GF∥AB∴MH∥AB,GF∥AB，，∴MH∥GF∴MH∥GF，，∴∴MGMG⊂ ⊂平面平面FGHFGH，，又又MG∥DEMG∥DE，，且且DEDE平面平面FGHFGH，，∴DE∥∴DE∥平面平面FGHFGH．．(2)(2)如图，在平面如图，在平面ABEABE内，过内，过A A作作ABAB的的垂线，记为垂线，记为AIAI，则，则AI⊥AI⊥平面平面ABCD.ABCD.以以A A为原点，为原点，AIAI、、ABAB、、ADAD所在的直线所在的直线分别为分别为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴建立空间直角轴建立空间直角坐标系坐标系AxyzAxyz. .∴A(0,0,0),B(0,4,0)∴A(0,0,0),B(0,4,0)，，D(0,0,2),E(2 ,-2,0),D(0,0,2),E(2 ,-2,0),G( ,-1,0),F( ,1,0).G( ,-1,0),F( ,1,0).∴ =(0,2,0)∴ =(0,2,0)，， =(0,-4,2)=(0,-4,2)，， =( ,-5,0)=( ,-5,0)．． 设设 =(0,2λ,0)=(0,2λ,0)，，则则设平面设平面PBDPBD的一个法向量为的一个法向量为n1 1=(x,y,z=(x,y,z) )，，则则取取y= y= ，得，得z=2 z=2 ，，x=5-2λx=5-2λ，，∴∴ 又平面又平面ABPABP的一个法向量为的一个法向量为n2 2=(0,0,1).=(0,0,1).∴∴解得解得λ=1λ=1或或4.4.故故 或或 ，，∴∴点点P P与与F F点重合或点重合或 =4.=4. 4.4.已知某几何体的三视图如图所示，其中已知某几何体的三视图如图所示，其中P′P′、、P″P″，， 分别分别是该几何体的一个顶点是该几何体的一个顶点P P在三个投影面上的投影，在三个投影面上的投影，A′A′，，B′B′，，C′C′，，D′D′分别是另四个顶点分别是另四个顶点A A，，B B，，C C，，D D的投影的投影. .(1)(1)从从①②①②两个图中选择出该几何体的直观图；两个图中选择出该几何体的直观图；(2)(2)求直线求直线PAPA与平面与平面PBCPBC所成角的正弦值；所成角的正弦值；(3)(3)设平面设平面PADPAD与平面与平面PBCPBC的交线为的交线为l，求二面角，求二面角A A——l——B B的大小的大小. .【解析【解析】】(1)(1)图图①①为该几何体的直观图为该几何体的直观图; ;(2)(2)依题意依题意, ,平面平面PBC⊥PBC⊥平面平面ABCD,ABCD,平面平面PBC∩PBC∩平面平面ABCD=BC,ABCD=BC,设设BCBC的中点为的中点为O,O,则则PO⊥BC,PO⊥PO⊥BC,PO⊥平面平面ABCD.ABCD.取取ADAD的中点的中点M,M,连接连接OMOM，，则则OM⊥BC.OM⊥BC.如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系OxyzOxyz. .P(0,0,2),A(2,1,0), =(2P(0,0,2),A(2,1,0), =(2，，1 1，，-2),-2),又平面又平面PBCPBC的一个法向量为的一个法向量为m=(1,0,0),=(1,0,0),∴∴直线直线PAPA与平面与平面PBCPBC所成角的正弦值为所成角的正弦值为 . . (3)∵D(2,(3)∵D(2,－－1,0), =(0,2,0), =(2,1,-2),1,0), =(0,2,0), =(2,1,-2),设设n=(x,y,z=(x,y,z) )为平面为平面PADPAD的一个法向量的一个法向量, ,则则 , ,取取n=(1,0,1)=(1,0,1)，，则则∴∴二面角二面角A A－－l－－B B的大小为的大小为4545°°. .。