《函数的极限》PPT课件.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节本节内容内容 :函数的极限 目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 时时函数极限的定义函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积.面积为A )边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度  ,要求确定直接观测值精度  :目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 . 设函数在点的某去心邻域内有定义 ,如果在确定的数值A，的过程中对应的函数值无限接近于那么就说A是函数当时的极限.目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 . 设函数在点的某去心邻域内有定义 ,当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当时, 有若记作极限存在函数局部有界(P36定理2) 这表明: 几何解释几何解释:目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明证证:故对任意的当时 , 因此总有目录 上页 下页 返回 结束 例例2证证目录 上页 下页 返回 结束 练习练习. 证明证证:欲使取则当时, 必有因此只要目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明证证:故取当时, 必有因此目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 证明: 当证证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证 .必有目录 上页 下页 返回 结束 例例7 7解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,3.单侧极限单侧极限:目录 上页 下页 返回 结束 2. 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :当时, 有右极限 :当时, 有定理定理 3 .( P39 题*11 )目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 给定函数讨论 时的极限是否存在 . 解解: 利用定理 3 . 因为显然所以不存在 .目录 上页 下页 返回 结束 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,练习练习证证目录 上页 下页 返回 结束 播放播放二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限目录 上页 下页 返回 结束 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2 . 设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释几何解释:记作直线 y = A 为曲线的水平渐近线 .A 为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 证明证证:取因此注注:就有故欲使只要目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :当时, 有当时, 有几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，目录 上页 下页 返回 结束 三、函数极限的性质2.函数极限的局部有界性函数极限的局部有界性1.函数极限的唯一性函数极限的唯一性目录 上页 下页 返回 结束 3. 函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性定理定理3 . 若且 A > 0 ,证证: 已知即当时, 有当 A > 0 时, 取正数则在对应的邻域上(< 0)则存在( A < 0 )(P37定理3)目录 上页 下页 返回 结束 若取则在对应的邻域上 若则存在使当时, 有定理定理 :(P37定理3´)分析分析:目录 上页 下页 返回 结束 推论推论 . 若在的某去心邻域内, 且 则证证: 用反证法.则由定理 1,的某去心邻域 , 使在该邻域内与已知所以假设不真, (同样可证的情形)思考: 若推论 中的条件改为是否必有不能不能! 存在如 假设 A < 0 , 条件矛盾,故目录 上页 下页 返回 结束 4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定理定理目录 上页 下页 返回 结束 证证目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在的极限都存在, ,且相等且相等. .目录 上页 下页 返回 结束 例例7证证目录 上页 下页 返回 结束 二者不相等二者不相等,目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 若极限存在,2. 设函数且存在, 则例3是否一定有第四节 ？目录 上页 下页 返回 结束 四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)目录 上页 下页 返回 结束 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.目录 上页 下页 返回 结束 一、填空题一、填空题:练练 习习 题题目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 练习题答案练习题答案作业作业：P37 T1 (2)(4) T2 (2) T3 T4 T6 T7。