1.3古典概型与几何概型.ppt

§13 古典概型与几何概型 一、 古典概型二、 几何概型  说明一、 古典概型 (1)随机试验只有有限个可能结果 (2)每一个可能结果发生的可能性相同 这两个条件在数学上可表述为 (1)样本空间有限 记{1 2   n} (2)每一个基本事件的概率相同 即 P{1}P{2}  P{n} 古典概型 古典概型是指满足下面两个假设条件的概率模型  说明一、 古典概型 (1)样本空间有限 记{1 2   n} (2)每一个基本事件的概率相同 即 P{1}P{2}  P{n} 古典概型 根据概率的公理化定义知 古典概型是指满足下面两个假设条件的概率模型  一、 古典概型 (1)样本空间有限 记{1 2   n} (2)每一个基本事件的概率相同 即 P{1}P{2}  P{n} 古典概型 古典概型是指满足下面两个假设条件的概率模型 古典概型的概率计算公式 设是古典概型样本空间 则对任意事件A 有  例112 一个袋子中装有10个大小相同的球其中3个黑球 7个白球 求 (1)从袋子中任取一球 这个球是黑球的概率 (2)从袋子中任取两球 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率 解 (1) 已知 从而事件A “取到的球为黑球”的概率为  例112 一个袋子中装有10个大小相同的球其中3个黑球 7个白球 求 (1)从袋子中任取一球 这个球是黑球的概率 (2)从袋子中任取两球 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率 解 (2) 已知 记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球” C为事件“两个球均为黑球” 则  例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下列各事件的概率 (1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻 (4)第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻) 将4个球随意地排成一行有4!24种排法 即基本事件总数为24 解 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D (1) A有两种排法 故有 (2) B有2(3!)12种排法 故有  例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下列各事件的概率 (1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻 (4)第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻) 将4个球随意地排成一行有4!24种排法 即基本事件总数为24 解 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D (3)先将第1 2号球排在任意相邻两个位置 共有23种排法 其余两个球可在其余两个位置任意排放 共有2!种排法 因而C有23212种排法 故  例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下列各事件的概率 (1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻 (4)第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻) 将4个球随意地排成一行有4!24种排法 即基本事件总数为24 解 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D (4)第1号球排在第2号球的右边与第1号球排在第2号球的左边的排法种数相同 各占总排法数的一半 故有 例114 将n个球随意地放入N个箱子中(Nn) 其中每个球都等可能地放入任意一个箱子 求下列各事件的概率 (1)指定的n个箱子各放一球 (2)每个箱子最多放入一球 (3)某指定的箱子不空 (4)某指定的箱子恰好放入k(kn)个球 将n个球随意地放入N个箱子 共有Nn种放法记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D 解 (1)将n个球放进指定的n个箱子 每个箱子一个球 其放法有n!种 故有 例114 将n个球随意地放入N个箱子中(Nn) 其中每个球都等可能地放入任意一个箱子 求下列各事件的概率 (1)指定的n个箱子各放一球 (2)每个箱子最多放入一球 (3)某指定的箱子不空 (4)某指定的箱子恰好放入k(kn)个球 将n个球随意地放入N个箱子 共有Nn种放法记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D 解  例114 将n个球随意地放入N个箱子中(Nn) 其中每个球都等可能地放入任意一个箱子 求下列各事件的概率 (1)指定的n个箱子各放一球 (2)每个箱子最多放入一球 (3)某指定的箱子不空 (4)某指定的箱子恰好放入k(kn)个球 将n个球随意地放入N个箱子 共有Nn种放法记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D 解 (3)由于C的对立事件C表示“指定的箱子是空的” 它等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中 共有(N1)n种放法 从而 例114 将n个球随意地放入N个箱子中(Nn) 其中每个球都等可能地放入任意一个箱子 求下列各事件的概率 (1)指定的n个箱子各放一球 (2)每个箱子最多放入一球 (3)某指定的箱子不空 (4)某指定的箱子恰好放入k(kn)个球 将n个球随意地放入N个箱子 共有Nn种放法记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D 解  例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率 (1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件分别为A B C 解 (1)第i次取到的黑球可以是a个黑球中的任意一个 选定其中一个以后 其他各次取球必在ab1个球中任意选取 共 有 (ab1)!种 取 法  从 而 A中 包 含 的 取 法 有a[(ab1)!]种 故 例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率 (1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件分别为A B C 解  例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率 (1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件分别为A B C 解  说明二、 几何概型 几何概型 在一个面积为S()的区域中等可能地任意投点 这里“等可能”的确切含义是 点落入中任意区域A的可能性大小与区域A的面积S(A)成正比 而与其位置和形状无关将“点落入区域A”这一事件仍记为A 则有 P(A)tS(A) 其中t为常数 于是由 P()tS()1 上式定义的概率通常称为平面区域上的几何概率 二、 几何概型 几何概型 在一个面积为S()的区域中等可能地任意投点将“点落入区域A”这一事件仍记为A 则有 P(A)tS(A) 其中t为常数 于是由 P()tS()1 例116 某人午觉醒来 发觉表停了 他打开收音机 想听电台报时 设电台每正点时报时一次 求他(她)等待时间短于10 min的概率 以分钟为单位 记上一次报时时刻为0 则下一次报时时刻为60 于是这个人打开收音机的时间必在(0 60)内 记“等待时间短于10 min”为事件A 则有(0 60) A(50 60) 解 于是 例117(会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面 先到者等候另一人20 min 过时就离开 如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达 试求二人能够会面的概率 记7点为计算时刻的0时 以分钟为单位 x y分别记甲、乙到达指定地点的时刻 则样本空间为 {(x y)|0x60 0y60} 以A表示事件“两人能会面” 则显然有 A{(x y)|(x y) |xy|20} 解 依题意 这是一个几何概型问题 于是 。