高考数学 3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件.ppt

第五节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣　填一填教材回扣　填一填(1)(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式: :①C①C(α-β)(α-β):cos(α-β)=______________________.:cos(α-β)=______________________.②C②C(α+β)(α+β):cos(α+β)=______________________.:cos(α+β)=______________________.③S③S(α+β)(α+β):sin(α+β)=______________________.:sin(α+β)=______________________.④S④S(α-β)(α-β):sin(α-β)=______________________.:sin(α-β)=______________________.cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ-sinαsinβcosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ⑤T⑤T(α+β)(α+β):tan(α+β)=____________(α,β,α+β≠ +kπ,k∈Z).:tan(α+β)=____________(α,β,α+β≠ +kπ,k∈Z).⑥T⑥T(α-β)(α-β):tan(α-β)=____________(α,β,α-β≠ +kπ,k∈Z).:tan(α-β)=____________(α,β,α-β≠ +kπ,k∈Z).(2)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式: :①S①S2α2α:sin2α=____________.:sin2α=____________.②C②C2α2α:cos2α=_____________=_________=_________.:cos2α=_____________=_________=_________.③T③T2α2α:tan2α=_______(α≠:tan2α=_______(α≠±± +kπ, +kπ,且且α≠kπ+ ,k∈Z).α≠kπ+ ,k∈Z).2sinαcosα2sinαcosαcoscos2 2α-sinα-sin2 2αα 2cos2cos2 2α-1α-1 1-2sin1-2sin2 2αα2.2.必备结论必备结论 教材提炼　记一记教材提炼　记一记(1)(1)降幂公式降幂公式:cos:cos2 2α= ,sinα= ,sin2 2α= α= (2)(2)升幂公式升幂公式:1+cos2α=2cos:1+cos2α=2cos2 2α,1-cos2α=2sinα,1-cos2α=2sin2 2α.α.(3)(3)公式变形公式变形:tanα:tanα±±tanβ=tan(αtanβ=tan(α±±β)(1β)(1∓ ∓tanαtanα··tanβ).tanβ).3.3.必用技法必用技法 核心总结　看一看核心总结　看一看(1)(1)常用方法常用方法: :整体代入法整体代入法, ,配凑法配凑法. .(2)(2)数学思想数学思想: :转化化归思想转化化归思想. .(3)(3)记忆口诀记忆口诀: :余余正正符号异余余正正符号异, ,正余余正符号同正余余正符号同, ,二倍角二倍角, ,数余弦数余弦, ,找联系找联系, ,抓特点抓特点, ,牢记忆牢记忆, ,用不难用不难. .【小题快练】【小题快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考　判一判静心思考　判一判(1)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,βα,β是任意的是任意的.(.(　　　　) )(2)(2)存在实数存在实数α,β,α,β,使等式使等式sin(α+β)=sinα+sinβsin(α+β)=sinα+sinβ成立成立.(.(　　　　) )(3)(3)公式公式tan(α+β)= tan(α+β)= 可以变形为可以变形为tanα+tanβ=tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角且对任意角α,βα,β都成立都成立.(.(　　　　) )(4)(4)存在实数存在实数α,α,使使tan 2α=2tanα.(tan 2α=2tanα.(　　　　) )【解析】【解析】(1)(1)正确正确. .对于任意的实数对于任意的实数αα, ,ββ, ,两角和与差的正弦、余弦公两角和与差的正弦、余弦公式都成立式都成立. .(2)(2)正确正确. .如取如取β=0,β=0,因为因为sin0=0,sin0=0,所以所以sin(α+0)=sinα=sinα+sin0.sin(α+0)=sinα=sinα+sin0.(3)(3)错误错误. .变形可以变形可以, ,但不是对任意角但不是对任意角α,βα,β都成立都成立. .α,β,α+β≠kπ+ ,k∈Z.α,β,α+β≠kπ+ ,k∈Z.(4)(4)正确正确. .当当α=kπ(k∈Z)α=kπ(k∈Z)时时,tan 2α=2tanα.,tan 2α=2tanα.答案答案: :(1)(1)√√　　(2)(2)√√　　(3)(3)××　　(4)(4)√√2.2.教材改编教材改编 链接教材　练一练链接教材　练一练(1)((1)(必修必修4 4人教人教AP130AP130例例4T(1)4T(1)改编改编)sin108)sin108°°cos42cos42°°- -cos72cos72°°sin42sin42°°= =　　　　　　　　. .【解析】【解析】原式原式=sin(180=sin(180°°-72-72°°)cos42)cos42°°-cos72-cos72°°sin42sin42°°=sin72=sin72°°cos42cos42°°-cos72-cos72°°sin42sin42°°=sin(72=sin(72°°-42-42°°)=sin30)=sin30°°= .= .答案答案: :(2)((2)(必修必修4 4人教人教AP137AAP137A组组T5T5改编改编) )已知已知则则cos α=______.cos α=______.【解析】【解析】因为因为答案：答案：3.3.真题小试真题小试 感悟考题　试一试感悟考题　试一试(1)(2014(1)(2014··上海高考上海高考) )函数函数y=1-2cosy=1-2cos2 2(2x)(2x)的最小正周期是的最小正周期是　　　　　　. .【解析】【解析】y=-[2cosy=-[2cos2 2(2x)-1]=-cos4x,(2x)-1]=-cos4x,所以函数的最小正周期所以函数的最小正周期T= .T= .答案答案: :(2)(2014(2)(2014··新课标全国卷新课标全国卷Ⅱ)Ⅱ)函数函数f(x)=sin(x+2f(x)=sin(x+2φφ)-2sin)-2sinφφcos(x+cos(x+φφ) )的最大值为的最大值为　　　　　　　　. .【解析】【解析】因为因为f(x)=sin(x+2f(x)=sin(x+2φφ)-2sin)-2sinφφcos(x+cos(x+φφ) )=sin(x+=sin(x+φφ) )··coscosφφ+cos(x++cos(x+φφ) )··sinsinφφ-2sin-2sinφφcos(x+cos(x+φφ) )=sin(x+=sin(x+φφ) )··coscosφφ-cos(x+-cos(x+φφ) )··sinsinφφ=sinx≤1.=sinx≤1.所以所以f(x)f(x)maxmax=1.=1.答案答案: :1 1考点考点1 1 化简与计算化简与计算【典例【典例1 1】】(1)(2015(1)(2015··合肥模拟合肥模拟)cos(α+β)cosβ+)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=(sin(α+β)sinβ=(　　　　) )A.sin(α+2β)A.sin(α+2β)　　　　B.sinαB.sinα　　　　C.cos(α+2β)C.cos(α+2β)　　　　D.cosαD.cosα(2)(2)计算计算tan25tan25°°+tan35+tan35°°+ tan25+ tan25°°··tan35tan35°°= =　　　　　　　　. .(3) (3) 的化简结果是的化简结果是　　　　　　　　. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)逆用两角差的余弦公式化简逆用两角差的余弦公式化简. .(2)(2)观察式子的特点观察式子的特点, ,逆用两角和的正切公式计算逆用两角和的正切公式计算. .(3)(3)应用二倍角的正、余弦公式化简应用二倍角的正、余弦公式化简. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβD.cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα.=cos[(α+β)-β]=cosα.(2)(2)因为因为tan(25tan(25°°+35+35°°)=)=所以所以tan25tan25°°+tan35+tan35°°=tan60=tan60°°(1-tan25(1-tan25°°tan35tan35°°) )= - tan25= - tan25°°tan35tan35°°, ,所以所以tan25tan25°°+tan35+tan35°°+ tan25+ tan25°°··tan35tan35°°= - tan25= - tan25°°tan35tan35°°+ tan25+ tan25°°tan35tan35°°= .= .答案答案: :(3)(3)原式原式= ==2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|,=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|,因为因为 所以所以cos 4<0,cos 4<0,且且sin 4