杨学枝第八届大会报告——22道不等式猜想证明综述.doc

二十二道不等式猜想证明综述杨学枝（福建 福州第二十四中学 350015）笔者于2009年8月8tl至10日，在深圳召开的全国第七届初等数学研究学术交流会上，以及 2009年8月15日至16日在浙江电大海宁学院召开“第四届全国不等式学术年会”会上报告了《二 十二道不等式猜想》（也可参见拙作《数学奥林匹克不等式研究》一书，呛尔滨工业大学出版社，2009 年7月出版），三年来，全国不等式爱好者展开了热烈讨论，使得这22道不等式猜想基本上得到了 解决，现将具体解决情况综述如下，有遗漏之处，敬请谅解.龙 ％1•设 a. w[0,—）（[• = 1,2,…昇2）, a =——,则2 n（^tanaJ-Cj-Jcos2 aj

2 =…=an时取等号.见《数学奥林匹克不等式研究》第四章“应用基本不等式证明不等式”例26.2007年7月12 口笔者解答了斤=3和〃=4的情况，分别见《数学奥林兀克不等式研究》第四 章“应用基本不等式证明不等式”例26和第七章“其他法证明不等式例子”例27； 2012.03.30,严 文兰老师用计算机验证了当/1>20时，猜想3不成立•但对于当5<<19时，还未解决.4. 设,v. e R+J = 1,2,•••,/?,则当且仅当舛=兀2 = * * * = ^；,时取等号.见《数学奥林匹克不等式研究》第三章“放缩法证明不等式”例7.当n = 1,2时，不难证明猜想4成立；当“ = 3,4,5时，杨学枝老师己经在《数学奥林匹克不等式 研究》中证明了猜想4成立.2011.10.20,何灯（福建省福清市港头中学）、李明（辽宁省沈阳市中国医科大学）、邹桂忠（广 东茂名东华教育）三人否定了心9时猜想4不成立•但对于 = 6,7,8的情况，至今未有定论.5•设x,. g/?+（z = 1,2,---,m）,且 V—^-<1,则铝1 +兀” 22 S巧》以・（!1斗）"・l

6•当a,bwR—,n为大于1的正整数时，有2(/ +方")"+| >当且仅当a = b时取等号.2010.02.21,何灯用机器验证了猜想6成立，2010.02.22,李明，2011.03.0,孙世宝老师用求导的方法证明了猜想6 ； 2011.12. 06,严文兰老师给出了猜想6的初等证法；2010. 03. 18,石焕南老师利用Z.Pales的Gini平均比较定理证明了猜想6；李明老师还提出了猜想6的如下推广：猜测 6 的推广:当 a.be R~ 9 n>2,ne RSt,2(af, +bn)n+l > (an+, +bn+l)(an-1 +bn~l)n+1,当且仅当a=b时取等号.李老师指出，“利用maple软件观察出该推广成立•事实上，由上面笔者证明猜测6的过程易见, 当“2或 心3,皿尺时，猜想6的推广式成立；当2 — <3时，如何手工证明猜想6的推广式还有 待进一步研究._7.设g R (z = 1,2,3,•••,/?:),加,斤为正整数，S.n>m>2,则/n(x<+I-(EOn+1*i=l f=l /=!当且仅当d]=兔=…=暫时取等号・若上述猜想成立,则对于任意非负数知(,=1,2,+ 1, j = l,2,..-,zn,n>m>2),有"+1 加 ”+1 m "+1/=l y=l 1=1 7=1 j=l /=1以上猜想6, 7中的诸式，见《数学奥林匹克不等式研究》第七章“其他法证明不等式例子”例6.2011.11.01,张小明老师用求导的方法证明了猜想7, 2011.11.04进一步对证明作了改进.8•设dw/T, n为正整数,n>2,则2( 1 + a" )21 >(1 + /“T)(] + an-i)2“T ,当且仅当a = 1时取等号.见《数学奥林匹克不等式研究》第八章“练习提示与参考答案”题13.2010.02.22,李明老师，2011.03.01,孙世宝老师，分别用求导的方法证明了猜想8； 2011.12. 06, 严文兰老师给出了猜想8的初等证法；2010. 03.18,石焕南老师指出，何灯在文[2]中利用一定的技 巧并结合软件计算证实了该猜测，但其证明过程计算量较大且属于半手工证明，李明在文[31中利用 导数手工证得当a,bnO,tteR,n = 2或时猜想成立，而当2<〃<3时，未给出手工证明.，石 老师利用Z.Pales的Gini平均比较定理，就a,b》0, nwR, n>2的推广情形给出猜想6和猜想 8的一个证明(刊于《不等式研究通讯》2010年第2期)•李明老师对猜想6与猜想8的证明刊于2010 年第七期《数学通讯》・参考文献[1] 杨学枝，数学奥林匹克不等式研究[M],哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009[2] 何灯.《数学奧林匹克不等式研究》中猜测6的验证•不等式研究通讯，2010年第1期.[3] 李明.杨学枝猜想6的简证及其推广研究•不等式研究通讯，2010年第1期[41 Z.Pales. Inequalities for sums of powersfJl J.Math.Anal.and Appl. 1988.131:265-270.9•设 a.b.ce R ,且 abc < 1,则―-—+ ―-— + ―-— + (l_d)(l_b)(l_c、)n?,\+b+c 1+c+d 1+d+b 8当且仅当a = b = c =丄时取等号.2若猜想9为真命题，我们进一步思考，设a,b,cwR・,且abc G 请问使猜想9成立的2的 最大值应为多少？2011.12.28,严文兰老师证明了猜想9,刊于山东《中学数学杂志》2012年第七期。

_10. 设a; g ,且工兀则=i（兀2兀3 …兀?）E +（X1X3 "，Xn），，+I + • • • + （兀］兀2 …X/f-l），，+1 - n 当且仅当召=吃=…=A；, =1时取等号.见下面猜想11・—11. 设a; e R , i = n>3,且工兀;=2斤,则/=!（兀2兀3…尤2“）"" +（西兀3…尤2“ A" + • • • + （兀］兀2…兀2“-J""-",当且仅当召=吃=…=% =1时取等号.以上猜想10, 11,见《数学奥林匹克不等式研究》第七章“其他法证明不等式例子”例43.2011.11.12,张小明利用〃-1元最值压缩定理证明了猜想10和猜想11； 2012.01.02,广东严 文兰用均值不等式和逐步调整法证明了猜想10和猜想11； 2012.04. 28,严文兰老师还对猜想10和 猜想11作了最佳指数推广.—— 1 n12. qw/? 一 J = 12 …昇儿 n>29 iBA = — V < 1,/n > /? ^ 贝！Jn /=i/=1当且仅当a} = a2 =…=an时取等号.见《数学奥林匹克不等式研究》第七章“其他法证明不等式例子”例44.2011.11.15,朱世杰老师（浙江省余姚县丈亭镇余姚三中）证明了猜想12,从而也证明了猜想 16.13. 当尢］,兀, w/?+, “5,6,7,…,13 以及 15,17,19, 21, 23 时有y x\ 、1 y 兀i + 花+ " 2 + 兀3见《数学奥林匹克不等式研究》第八章“练习提示与参考答案”题5.2011.10.19,何灯部分否定了猜想13,得到猜想13在n为偶数时不成立，n为奇数时是否成 立还不知道；2012. 04.01,严文兰指出/?>13的奇数和/7>5的偶数，猜想13不成立，严老师还给出了 〃二二5时的证明•对于H = 7,9,11还未解决.14. 设ai e /?",/ = 1,2,•••,/?,血为正整数，m > n （此条件为后来所加），且 a】+他+…+ Q“ ，则fj（l +琦）》冇（1 + 孙）,1=1 /=1当且仅当a}=a2=•-= an=l时取等号.2011.11.05朱世杰和何灯老师构造反例否定了猜想14； 2011.11・15,孙世宝老师证 明了增加了条件m>n后的猜想14成立；2012. 03.12 ,朱世杰老师用求导方法也证明了 增加了条件m>n后的猜想14,刊于《不等式研究通讯》2011年第11期. _15. 设g R，/ = 1,2,•••,/?, m.n为正整数，且工a： = n , m > n （此条件为后来所加），则 1=1宀1 +町 "1+严若1+研匸哲1+铲当且仅当4 = a2 = ••• = % = I时取等号.2012.04.01,严文兰老师用求导方法证明了血时，猜想15成立.—16. 设 a. e , i = 1,2,•••,/!,且工 加,/?为正整数，且 m > n ,则<=1fl（l + <）>2\i=l当且仅当务=吗= ••• = % = 1取等号.以上猜想14, 15, 16,见《数学奥林匹克不等式研究》第八章“练习提示与参考答案”题89.2011.11.15,朱世杰用求导方法证明了猜想16.、rt — rQ+d。

17. 设 a. e R~ , / = 1,2,•••,,且 ~~= = a <\9 则n冇1 + 4 Ml + a；噜）"当且仅当=a2 =…=an时取等号.见《数学奥林匹克不等式研究》第八章“练习提示与参考答案”题90.2011.10.20,江永明老师（重庆市长寿区第一中学），2012. 04. 04,严文兰老师分别列举了反 例否定了猜想17.1& 设卩I、 已 R, z = 1,2, •••,/?, n>3, 且工0\=工叭=兀，。