第四章-4.3-4.3.2-对数的运算.doc

4.3.2 　对数的运算课标要求素养要求1.理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算.2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算.通过本节课的学习，掌握对数的运算性质及换底公式，会用对数的运算性质进行化简求值，进一步提升数学抽象与数学运算素养.教材知识探究大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质中，得出相应对数的运算性质吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算性质呢？问题　观察下列各式，你能从中猜想出什么结论吗？log2(2×4)＝log22＋log24＝3；log3(3×9)＝log33＋log39＝3；log2(4×8)＝log24＋log28＝5.提示　如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：loga(M·N)＝logaM＋logaN成立.1.对数运算性质　熟记对数运算性质，切忌记混性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).拓展：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0)2.换底公式　 经常转化为常用对数和自然对数对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).教材拓展补遗[微判断]1.log2x2＝2log2x.(×)2.loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3).(×)提示　(1)(2)中必须保证对数的真数大于0才能有意义，否则错误.3.logaM·logaN＝loga(M＋N).(×)提示　公式应为logaM＋logaN＝loga(M·N)(a>0且a≠1，M>0，N>0).4.log52＝.(√)[微训练]1.log5＋log53等于________.答案　02.log29×log34等于________.答案　43.log35·log56·log69＝________.解析　原式＝··＝＝＝2.答案　2[微思考]1.对数运算性质的适用条件是什么？提示　对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数为正”，即a>0，a≠1，M>0，N>0.若去掉此条件，性质不一定成立，如log3≠log3(－8)－log3(－3).2.换底公式中底数c是特定数还是任意数？提示　是大于0且不等于1的任意数.题型一　利用对数的运算性质化简、求值 【例1】　(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；(2)；(3)log535－2log5＋log57－log51.8.解　(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.(2)原式＝＝＝.(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.规律方法　利用对数运算性质化简与求值的原则和方法(1)基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).【训练1】　计算下列各式的值：(1)lg－lg ＋lg；(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.解　(1)法一　原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.法二　原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg＝lg(·)＝lg＝.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.题型二　利用换底公式化简、求值【例2】　(1)计算(log43＋log83)(log32＋log92).(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.解　(1)原式＝＝·＝×＝.(2)法一　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝＝＝＝＝.法二　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝＝＝.规律方法　换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.【训练2】　(1)已知log1227＝a，求log616的值；(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.解　(1)由log1227＝a，得＝a，∴lg 2＝lg 3.∴log616＝＝＝＝.(2)法一　原式＝·＝＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.法二　原式＝＝＝＝13.法三　原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)＝(log52＋log52＋log52)＝3×log25·log52＝3×＝13.题型三　利用对数式与指数式的互化解题 【例3】　(1)设3a＝4b＝36，求＋的值； (2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.解　(1)法一　由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，由换底公式得＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底数的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，∴＝log63，＝log64＝log62，∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，由＋＋＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.规律方法　利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.【训练3】　已知3a＝5b＝M，且＋＝2，则M＝________.解析　由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，故＋＝logM3＋logM5＝logM15＝2，∴M＝.答案　一、素养落地1.通过对数运算性质的推导过程培养数学抽象素养，通过运用对数的运算性质进行化简求值，提升数学运算素养.2.在运用换底公式时，要根据需要恰当选择底数，简化运算.3.运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.(3)在运算过程中避免出现以下错误：①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N).二、素养训练1.lg －2lg ＋lg 等于(　　)A.lg 2 B.lg 3C.lg 4 D.lg 5解析　lg －2lg ＋lg ＝lg＝lg 2.故选A.答案　A2.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是(　　)A.a－2 B.5a－2C.3a－(1＋a)2 D.3a－a2解析　原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.答案　A3.已知2m＝5n＝10，则＋＝________.解析　因为m＝log210，n＝log510，所以＋＝log102＋log105＝lg 10＝1.答案　14.若logab·log3a＝4，则b的值为________.解析　logab·log3a＝·＝＝4，所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.答案　815.求下列各式的值：(1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18；(2).解　(1)法一　原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二　原式＝lg 14－lg＋lg 7－lg 18＝lg＝lg 1＝0.(2)原式＝＝＝＝.基础达标一、选择题1.若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于(　　)A.2 B. C.100 D.解析　∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝－＝2，∴ab＝100.故选C.答案　C2.化简log612－2log6的结果为(　　)A.6 B.12 C.log6 D.解析　原式＝log6－log62＝log6＝log6.答案　C3.已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为(　　)A.6 B.9 C.12 D.18解析　∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴＝logk2，＝logk3，∵2a＋b＝ab，∴＋＝2logk3＋logk2＝logk9＋logk2＝logk18＝1，∴k＝18.答案　D4.已知x，y为正实数，则(　　)A.2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B.2lg(x＋y)＝2lg x·2lg yC.2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D.2lg(xy)＝2lg x·2lg y解析　2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy).故选D.答案　D5.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　)A.3 B.8C.4 D.log48解析　由2x＝3得x＝log23，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋＝log23＋(3log22－log23)＝3.答案　A二、填空题6.计算100(lg 9－lg 2)－log98·log4＝________.解析　100(lg 9－lg 2)－log98·log4＝10lg 9÷10lg 4－·＝－·＝－＝2.答案　27.已知3a＝2，3b＝，则32a－b＝________.解析　∵3a＝2，3b＝，两边取对数得a＝log32，b＝log3＝－log35，∴2a－b＝2log32＋log35＝log320，∴32a－b＝20.答案　。