常微分方程实验论文.doc

2016-2017学年度 第一学期《常微分方程》课程实践姓名： 学号： 专业： 班级： 成绩： 目录摘要：木文主要介绍了常系数线性微分方程的解法由于在讨论常系数 线性微分方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复值数函数问题，然后, 本文又通过构造特征方程运用代数运算分情况给出常系数齐次线性微分方程的 具体解法，并引出可以化为此方程形式的欧拉方程有了前而讨论的结果，对于 常系数非齐次线性微分方程可以采用常数变易法，而是介绍具有某些特殊形式的 非齐次线性微分方程的解法，即比较系数法 1关键词：欧拉待定指数函数法（特征根法） 欧拉方程 比较系数法 1引言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采哪种方法比较适宜，我们往往感到困难…••…11欧拉待定指数函数法（特征根法） 1（1）特征根为单根的情形 2（2 ）特征根有重根 32欧拉方程 42」定义:一般地形如兀"今 +广牛 J +…+ %丿芈+ 4ax dx dx2.2特点：y的k阶导数的系数是x的k次方的常数倍.2.3解齐次欧拉方程的步骤 43比较系数法 5参考文献： 8常系数线性微分方程的解法摘要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法。

由于在讨 论常系数线性微分方程的解法时，需耍涉及实变量的复值函数及 复值数函数问题，然后，本文乂通过构造特征方程运用代数运算分情 况给出常系数齐次线性微分方程的具体解法，并引出可以化为此方程 形式的欧拉方程有了前面讨论的结果，对于常系数非齐次线性微分 方程可以采用常数变易法，而是介绍具有某些特殊形式的非齐次线性 微分方程的解法，即比较系数法关键词：欧拉待定指数函数法（特征根法）欧拉方程比较系数法 引言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构研 究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位它的求解是我 们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较 杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采哪 种方法比较适宜，我们往往感到困难1欧拉待定指数函数法（特征根法）dnX r dx1・ 1 一般的形如 L[x]= —+ r + + + = o ,其中dtn dtn 1 dtarZ”“，a”为常数我们称该方程为n阶常系数线性微分方程为求得该方程的通解，我们先利用欧拉待定指数函数法（特征根 法）求其基本解组.dx1.2 -阶常系数齐次线性微分方程~ = 有通解兀=。

/,其中2是待 at定常数，可以是实的，也可以是复的把x = 代入方程L[x] = 0得L[eAl] =(r+ + a2An-2 +…+ %久+ %)/ = 0因此,/成为方程解的充要条件为：2是代数方程F(2)三* +坷*」+ a2r~2 +…+ an_^ +色=0的根,方程 F(久)三 2" + a〕2"J + a2^n~2 4 卜 + d” = 0 称为方程 L[x] = 0 的特征方 程，它的根称为特征根.(1)特征根为单根的情形设人,易,…,人是特征方程F(A) = 0的n个互不相同根,则对应 方程L[x] = 0有n个解0,0,・・・,0,这n个解在区间[a, b]上线性 无关，从而组成方程L[x] = 0的基木解组.%1 若&•(心1,2,…力)均为实数，0,是方程L[x] = 0的n个线性无关的实值解，则方程L[x] = 0的通解为 兀⑴—C]/ + c2e；lt H ,其中 Cj,c2,• • •,cn 为任意常数.%1 若如21,2,…肋中有复数，则因方程的系数是实常数，复根将成 对共辘出现.设人=询是特征根，则^=a-i/3也是特征根， 则方程相应地有两个复值解：e(a+〃" _ eat (cos pt _|_ i sin pt )e(a-力"_ eat (cos pt-i sin pt)Anx 〃"一 L fix由定理：如果方程+ & (f) J严+…+ an-\⑴壬+ d”⑴尤=0中所有系数 4(00 = 1,2…,比)都是实值函数，而z(t) =(p(t) + 是方程的复值解,则z(r)的实部卩⑴和虚部肖⑴以及z(r)的共轨z(r)也都是该方程的解.由 此我们可以知道它们的实部和虚部也是方程的解.故方程的两个实值解为：严cos0/0’sin 0》（2 ）特征根有重根设特征方程有k重根兄=人，则有FW =尸（人） = ・・・ =F（i ⑷=0, F⑻⑷工0%1 若人=0,则特征方程有因子/ ,因此陽=色一严…=色*严0 , 则特征方程有如下形式：*+帝"+…+ %川=0,而对应的dnx dn^x dkx方程L[x] = 0变为乔+坷莎丁 +…+ %匸= 显然它有k 个解l,r,r,•••?-,且它们线性无关，从而可得：特征方程的k 重零根对应方程厶国=0的k个线性无关解为1仏八,・・・・.%1 若人工0,我们做兀=肖石，并代入方程L[x] = o ,经整理得到L[ye^】 = 4 + b与+ ••• +仇刃0三厶[刃0，于是方程L[x] = 0就转 at at化为厶[刃=常+ 船+…+ b心字+ bQ = 0, 也,…，化・分两种 at at at情况一：当久为实数时，有解形如/寫/，尸0,…情况二：当久为复数时，对于特根方程有重复根的情形，例如有k重复根九=小0,则l = a-i（3也是k重复根，如同单复根时那样, 可将方程L[x] = 0的2k个复值解换成2k个实值解•形如:eat cos 0tcos …，占b" cos /3t eat sin fit, teai sin 0/,…，厂一怯"sin pt（j^Y x d? x dx 例如求將痔+ 3汁知。

得通解.解 特征方程 A4 - 3加 + 322 - A = 2(A - I)3 = 0故特征值人=0,&=1 其中人=0是单根，& = 1是三重根方程的通解：x(Z) = q + (c2 + c3t + c4t2 )d ・其中c19c2,c3,c4为任一常数.此过程就体现了特征根法的思想，更多的的例题可以见参考文献, 我们可以看到，对于常系数线性微分方程，特征根法简单方 便，其优点便在丁减少了运算的复杂，不过其实用情况不够宽泛.2欧拉方程2.1定义:一般地形如H 今+ %兀”T牛丄+…+ S字+叩=dx dx ax其中即吆…,％为任一常数.2.2特点：y的k阶导数的系数是x的k次方的常数倍.2.3解齐次欧拉方程的步骤(1)写出特征方程，并求特征根k(k 一 1)…伙一 77 +1) + a}k(k 一 1)…伙一川 + 2) an Ak + an =0(2 )求出的基本解组先求出变换以后方程的基本解组,再求出原方程的基本解组.① F(k)=0的m重实根K(),对应变换以后方程的解为eKl,teKo，,---,tm~xeKot\② F(k)=0的m重复根对应变换以后方程的解为e(x, cos fit, te(/l cos Veal cos 0匚…，广‘匕⑵ cos 0匚eai sin 仇、tee/r sin tL" sin 0/,…，tm~xeat sin pt.对应原方程的解为:x" cos(01n \x\\\n\x\xr/ cos(01n | x|),・・・,ln" 1 \x\xr/ cos(01n | x|), xa sin(01n \x\),ln\x\xa sin(01n | x|),--sln,w_1 \x\xa sin(01n \x\).(3 )写出原方程的通解.例求x2d2y dx1+ 3兀 + 5y = 0得通解 dx解 第一步：设y = d代入原方程整理得F 伙)=心-1) + 3 + 5 = 0, 宀2 + 5 = 0,心 2=-12,第二步：求出基本解组e~! cos2f, e~! sin 2t第三步：写岀通解y(x) = —(C] cos 2 In x + q sin 2 In Ixl). X - I I其中q,(?2为任意常数.由此我们可以知道，如果常系数线性微分方程形如欧拉方程，用这种解法非常简单快捷，但缺点是局限性太强.3比较系数法LM =dnx~dexdtn~ldx + d Xn3.1 fg(bf+bff・・+be其中入％几…厶为确定的实常数当方程中右端函数f(t)为以上类型时，方程有一特解为 以下形式 X=f(Bofz+Bf+-+BmJ+B>e，其中B心…心为待定系数.3.1.1 K由方程对应的特征方程F(A) = O来决定.2是特征根时，K为2的重数；2不是特征根时，K二0.3.2对2的取值分析3.2.1 如果 2 = 0,则 /(f) = bot" + + …+ bm_xt + bm①2=0不是特征根时,此时F(0)工0,・•・％工0要证明方程有解形如"BQtm + B严+…+ Bq + Bin 即证明能由已知条件唯一确定.事实上，将其代入方程，比较同次幕的系数，得| anB0=b0J 色01 + ^-i^o =勺| anB2 + 色—13 一 + an-Am 一 I)"。

%I an Bm + an-\Bm+\ + 2%2 Bm+2 + …=S•.•0”北0, Bq,B],…,B”i 可唯一确定.②2二是K重特征根时，此时，有F(0) = Fz(0)=…=F(i(0) = 0, Fa)(0)工 0其相应齐次方程的特征方程为才+1+・・・+匕7才=0也就是an = an-l= •••二 an-M = ，Cln-k 丰 原方程化为d^x~dt^dk x令乔"dn~Kz则有莎EdMz dt,M+ …+ cin_k z = f (?)(1)对方程（1） an_k 0, A = 0 ,不是⑴的特征根 有如下形式的特解沦&厂+和心+…+场一"瓦则（2）的特解满足dkx~dF二民严+即心+…+瓦』+瓦dk}x dtk~}=_+】+邑广+•・• + &」m + 1 mdnx a dtn于是方程（2）的一个特解为艮=严+ rrx + ••• + %)为确定的数.3.2.2如果2丰0 ,引入变量变化x = yex \则dnx~d^dn^x x dx 加+ cl. + ••• + & 1 3 X — 61 dt^ "i dt n化为dn v d"-、 dy討+…+厲鼻+恥=加"+…A，4,…,A,为确定的数.当久为方程（3）的K重特征根时，有特解为x = tk（B广 + B广 T 卜Bm_{t + Bm）-eAt.2. d_x cdx 小 -.举个例子，例如求乔-2石-3x = e的通解.解 1 — 1, 3 x = c]e~t +c2e3t2 -1 是特征根,x = t Ae~ = Ate~* =财‘ -Ate-1x" = 一 Aef + Ate1 = -2Ae~l + Ate^- 2Ae~l + Ate~l - 2（Ak - Ate~l） - 3Ate~f = e~l1 〜 1 , t4 = — x = tc4 4。