2024年高考数学压轴题新结构题型第19题（共100题）.pdf

新结构题型第19题精选100题1.对于数列/9,%，%(%，=1,2,3),定义“T 变换”：7 将数列N变换成数列3：仇也也，其中4=除|1,2),且这种“7 变换”记作8=7(4),继续对数列8 进行“T变换”，得到数列C：q g，C 3,依此类推，当得到的数列各项均为0 时变换结束.写 出 数 列 出 3,6,5 经过5 次“T 变换”后得到的数列：(2)若 ,出,生不全相等，判断数列，:为,2,%不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；(3)设数列/：2020,2,2024经过4 次“T 变换”得到的数列各项之和最小,求发的最小值.x=ax+by2.在平面直角坐标系X中，利 用 公 式，;(其 中*b,c,d 为常数)，将点y=cx+ayP(x,y)变换为点P(x,y)的坐标，我们称该变换为线性变换，也称为坐标变换公式，该_(a b(a变换公式可由*b,c,d 组成的正方形数表/唯 一 确 定，我们将 称为二阶yc a J yc a J矩阵，矩阵通常用大写英文字母A,5,表示.(1)在平面直角坐标系xOy中，将点尸(3,4)绕原点按逆时针旋转g 得到点尸，(到原点距离不变)，求点P 的坐标；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，将点尸卜J)绕原点。

按逆时针旋转角得到点口卜,力(到原点距离不变)，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；(3)向 量 痂=(x j)(称为行向量形式)，也 可 以 写 成 这 种 形 式 的 向 量 称 为 列 向 量，线性变换坐标公式可以表示为：(：)=(：，则 称 是 二 阶 矩 阵 与 向 量第 1 页 共 238页的乘积，设A是一个二阶矩阵，m,k是平面上的任意两个向量，求证：A（m +n）=A m +An.3.已知集合/=1,2,3,其中 eN*,4,旗，4都是A的子集且互不相同，记M=4的元素个数，Nv=（44 ）的 元 素 个 数e 1,2,加/）.若=4,4=1,2，4 =1,3,孤=g=1,直接写出所有满足条件的集合4；若=5,且对任意1 4，0,求加的最大值；若 2 7,M 4 3（i =1,2,，加）且对任意1 4 i 0），证明：集 合/=x|x）=x中有且仅有一个元素；若 x）=（a+l）x-L +岁讨论集合B的子集的个数.x e5.我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组（外,2）表示；三维空间向盘可用三元有序数组（%,3）表示.一般地，维空间向量用元有序数组3,2,明）表示，其中殁优=1,2，,）称为空间向量的第左个分量，左为这个分量的下标.对于（23）维空间向量（%,七,定义集合/（以）=幻ak=m,k =l,2,-,n.记”（功）的元素的个数为|/（加）|（约定空集的元素个数为0）.（1）若空间向量（。

1，3，%，%，&，8）=（6,3,2,5,3,7,5,5）,求/（5）及|/（5）|；,、1 1 1（2）对于空间向量（出，）.若团*+团*+团 荷=仆 求 证：VM 1,2,，第 2 页 共 238页若i w九 则尸为；(3)若 空 间 向 量2M3,的坐标满足/2 +%)=左 吗=2 =1，当 1 3时,求证:+Q；H-1 4；.6.帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数冽，,函数 X)在X=O处的 孙川阶帕德近似定义为：及 =；+二,且满足：/(O)=7?(O),八0)=及 ，/=及 ，/)(0)=邱i，注：二(x)=7(x),r(x)=r(x)；/4)(x)=/(x)J,7(5)(x)=/(4)(x),已知函数/(x)=ln(x+l).求函数/(x)=ln(x+l)在x=0处的 1,1阶帕德近似及(x),并求ln l.1的近似数(精确到0.001)；在(1)的条件下：求 证:M fl;若/(x)-加1+1卜(x)41-cosx恒成立，求实数机的取值范围.7 .已知集合 S“=x|x=(%,嗓,，匕),x;e 0,1/=1,2,!(/2),对于 4=,8 =他也,也)e S，定义A与B之间的距离为(4 3)=|.i=l(1)已知/=(1,1,1,0)w S ,写 出 所 有 的 武 邑,使 得“(48)=1;(2)已知/=(U,加S”,若4 5e S ,并且d(/,)=(/,8)=,求d(4 5)的最大值;(3)设集合P =尸中有机(加22)个元素，若P中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：m ,且x尸 乙 ,皆有|/(x J -/d)日(g(x J-g仁 水 0)成立，则称函数”/(x)与了=g(M 具有性质判断函数/(x)=Y,4.2与8(刈=2 是否“具有性质加2)，并说明理由；若函数尤)=2+,工 (0,1与8(尤)=，具有性质,)，求/的取值范围；X若函数/(X)=3+2 1!-3与 =g(x)“具有性质/(I)”，且函数y=g(x)在区间(0,+上存在两个零点4 ,，求证X；+2.15 .法国数学家加斯帕尔 蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：二+=1伍 6 0),则称圆心在原点O,半径是 IF的圆为“椭圆C的伴随圆”，已知椭圆5+，=1(。

6 0)的一个焦点为网血刀)，其短轴的一个端点到焦点尸的距离为百.(1)若点A为椭圆C的“伴随圆”与x轴正半轴的交点，B,是椭圆C的两相异点，且8尤轴，求万.亚的取值范围.在椭圆c的“伴随圆”上任取一点P,过点尸作直线4,给 使得4,4与椭圆C都只有一第 6 页 共 238页个交点，试判断4,，2是否垂直？并说明理由.1 6.我国南北朝时期的数学家祖冲之(公元429年-500年)计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫(公元1540年-1610年)用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新.例如：我们很容易能利用计算器得出函数J(x)=e+x(e=2.71828)的零点%的近似值，为了实际应用，本题中取玉的值为-0.57.哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为g(x)=l n L-2-l 其在x=2处的切线为4：p=(x),现计划再建一条总干线I xo JC2:y =e+m,其中为待定的常数.注明：本题中计算的最终结果均用数字表示.(1)求出4 的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线G 上的点不在直线口的上方；(2)在直角坐标系中，设 直 线 右 计 划 将 仓 库 中 直 线 4 与4 之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线4，求实数加的取值范围.17.卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列.以比利时的数学家欧仁查理卡 特 兰(1814-1894)命名.历史上，清代数学家明安图(1692年-1763年)在 其 割圜密率捷法最早用至上卡特兰数”，远远早于卡塔兰.有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明 安 图-卡 特 兰 数”.卡 特 兰 数 是 符 合 以 下 公 式 的 一 个 数 列：。

0%一 1+一 2+，+一 4且=1.如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数.卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数.比如：在一个无穷网格上，你最开始在(0,0)上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到(,)，0刍有多第 7 页 共 238页少种不同的合法路径.记合法路径的总数为证明a 是卡特兰数；（2）求”的通项公式.18.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步 骤 1：设圆心是E,在圆内异于圆心处取一点，标记为巳步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点Q步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2 和 3,就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为4 的圆形纸片，设定点尸到圆心的距离为2百，按上述方法折纸.以 点 巴所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的下顶点为作两条互相垂直的直线4,4,这两条直线与椭圆。

的,、S 16另一个交点分别为峪N.设4 的斜率为左亿4），加W的面积为S,当网 与时，求 k的取值范围.19.五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.若小明设定机器人一共行走4 步,记机器人的最终位置与初始位置的距离为X 步，求X 的第 8 页 共 238页分布列和期望；记 区（，e N*）为设定机器人一共行走2/步时游戏胜利的概率，求R,并判断当i为何值时,游戏胜利的概率最大；（3）该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置,才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和九个1排成一排，若对任意的IV左V2，在前左个数中，0的个数都不少于1的个数，贝U满足条件的排列方式共有C；“-C鼠种，其中，C；“的结果被称为卡特兰数.若记耳为设定机器人行走万步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的有20.黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之它与函数/（x）=/二（x 0,s l,s为常数）密切相关，请解决下列问题.当l s 2时；证明/（X）有唯一极值点；记/（X）的唯一极值点为g（s）,讨论g（s）的单调性，并证明你的结论.21.在信息论中，炳（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息病、信源炳、平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或特征.（炳最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的炳越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把 信 息（炳）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即嫡）.炳的单位通常为比特，但也用Sh、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了 IS h的信息，而掷机次就为相位.更一般地，你需要用log一 位来第 9 页 共 238页表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德艾尔伍德香农将热力学的病，引入到信息论，因此它又被称为香农滴.而正是信息嫡的发现，使 得187 1年由英国物理学家詹姆斯麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量 所有取值为1,2,定义J的信息病 =(丑4=1,i =l,2,.i=l i=l若=2,试探索J的信息病关于耳的解析式，并求其最大值；(2)若 ,J=I不具有，请说明理由；(3)是否存在具有性质7(4,p)的集合A?若存在，请找出来；若不存在，请说明理由.第10页 共238页24.人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力。