数理方程第2讲定解问题dhh.ppt

数学物理方程,第二讲 数学物理方程的定解问题,泛定方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）,定解条件（初始条件+边界条件）,一、常微分方程定解问题回顾,对于某个未知函数，它的微分方程是它的导数满足的代数方程解这个代数方程，得导数由积分，从导数得出原函数常微分方程求解就是积分积分过程会出现积分常数常微分方程定解问题就是确定积分常数通常通过未知函数在自变量的一个特定值的值，如初值（u(t=0)）确定积分常数从而定解积分一次，出现一个积分常数；求解二阶常微分方程出现两个积分常数二、数学物理方程的定解问题,1. 初始条件,类似于常微分方程定解过程的初值偏微分方程，对每个自变量的每次积分都出现一个积分常数复杂！,t＝0: 初始条件x,y,z＝0，l : 边界条件,自变量特定值：,初始“位移”,初始“速度”,时间变量t的一次PDE，只需要初始位移 时间变量t的二次PDE还需要初始速度注： 和 是空间座标的函数，在系统的任何位置都是确定的！,同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。

边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件初始条件的个数：等于方程中关于时间偏导数的阶数,初始时刻的温度分布：,B、热传导方程的初始条件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件,不含初始条件，只含边界条件条件,A、 波动方程的初始条件,1、初始条件——描述系统的初始状态,系统各点的初位移 系统各点的初速度,例,t=0:,特定的时间， 变化的空间2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用2、边界条件——描述系统在边界上的状况,A、 波动方程的边界条件,(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：,或：,(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承或,B、热传导方程的边界条件,(1) 给定温度在边界上的值,(S为给定区域v 的边界),(2) 绝热状态,(3)热交换状态,牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比交换系数； 周围介质的温度,,,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,三类边界条件,第一类边界条件（Dirichlet条件） 给出边界上各点的函数值,第二类边界条件（Neuman条件） 给出边界上各点函数法向微商值,第三类边界条件（混合边界条件）： 给出边界上各点函数值与法向微商值之间的线性关系,特定的空间， 变化的时间。

3.衔接条件,系统中可能出现物理性质急剧变化的点－跃变点如两节具有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点跃变点两边的物理过程因此不同但在跃变点，某些物理量仍然可以是连续的，这就构成衔接条件衔接条件更加依赖于具体的物理情况横向力 作用于 点弦在 的左右斜率不同，但位移的极限值相同又，横向力应与张力平衡：,这两个等式就是衔接条件1、定解问题,三、定解问题的概念,(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题初值问题：如无界弦自由振动,边值问题： 狄氏问题,混合问题：两端固定弦的振动,三类定解问题举例,例 一根长为L的弹性杆，一端固定另一端被拉离平衡位置b而静止，放手任其振动，写出杆振动的定解问题泛定方程为一维波动方程,初始时刻杆振动速度为0，即,右端x=L拉离平衡位置，初始位移为,边界条件：左端x=0，位移为零:,右端x=L放手振动未受外力,2、定解问题的适定性,解的存在性：定解问题是否有解； 解的唯一性：是否只有一解； 解的稳定性：定解条件微小变动时，解是否有相应的微小变动。

例1适定定解问题,,容易验证,是（1）的适定解1）,,例2 不适定定解问题,,（2）,（3）,设（2）的解为,,则容易验证,是（3）的解当初始数据变化,解变化,,所以（2）的解是不适定的线性）叠加原理 (superposition principle),,2. 物理解释，叠加原理即是对一个线性系统，几种不同的外因同时作用所产生的效果等于各外因单独作用产生的效果的累加.,线性问题和非线性问题最根本的区别是:线性问题的解满足所谓的叠加原理，而非线性问题解一般来讲不满足叠加原理.叠加原理是一切线性问题所共有的性质,3. 例如，若干个点电荷产生的电位，可由这些点电 荷各自单独存在时所产生的电位相加而得出； 又如，几个外力作用在一个物体上所产生的加速度，等于这些外力单独作用在该物体上产生的加速度之和.,线性定解问题,如果在一个定解问题中，方程和定解条件关于未知函数及它的偏导数全是线性的，称该问题为线性定解问题，否则称为非线性定解问题.,,其中方程是线性偏微分方程, 但边界条件为非线性的, 该问题是一个非线性定解问题叠加原理,,设自变量为,二阶线性偏微分方程,,（1）,引入二阶线性偏微分算子,（1）改写为,（2）,,,二阶线性偏微分算子,满足：,即,其中,任意常数，,一般线性边界条件,也写为线性算子形式,叠加原理1,设二阶线性偏微分算子,,若,则,,满足,注1 叠加原理1是线性偏微分方程解关于自由项,,的叠加性.,,,,它们可解且解分别为,,叠加原理2,设二阶线性偏微分算子,,若,收敛，,,满足,,,,,,这里要求无穷项求导与求和交换次序。

（需要用到函数项级数的一致收敛本课程默认,则,一维热方程及其定解问题的叠加原理,1）若,是齐次热传导方程,之解，则,也是该方程的解2）若,是非齐次热传导方程,之解，则,是非齐次热传导方程,之解一维热方程定解问题的叠加原理,若,是定解问题,之解，,之解，则,之解是定解问题,是定解问题,例题与练习题,１.求下列偏微分方程的通解,2 求方程,的任意一个解.,解 由叠加原理1可知，只需分别求出如下三个方程的一个解,,,,,,是原方程的一个解.,。