非简谐效应课堂PPT.ppt

5.4非简谐效应l到目前为止，我们一直在简谐近似下讨论晶体的运动，其到目前为止，我们一直在简谐近似下讨论晶体的运动，其优点是可以将晶格的运动分解成一些独立的简正坐标的简优点是可以将晶格的运动分解成一些独立的简正坐标的简谐振动，并在此基础上引进声子的概念．谐振动，并在此基础上引进声子的概念．l简谐近似的缺点是固体的一些重要物理性质在这一近似下简谐近似的缺点是固体的一些重要物理性质在这一近似下无法得到说明．例如热膨胀，对一严格的简谐晶体，原子无法得到说明．例如热膨胀，对一严格的简谐晶体，原子的平衡位置并不依赖于温度，晶体体积与温度无关．在简的平衡位置并不依赖于温度，晶体体积与温度无关．在简谐晶体中，声子态是定态．谐晶体中，声子态是定态．l本节将以简谐晶体的声子解作为出发点，在此基础上做些本节将以简谐晶体的声子解作为出发点，在此基础上做些修改，这种处理方法称为准简谐近似．假设晶格振动是严修改，这种处理方法称为准简谐近似．假设晶格振动是严格简谐的，就没有热膨胀、热传导实际的热膨胀、热传格简谐的，就没有热膨胀、热传导实际的热膨胀、热传导是原子之间的非谐作用所引起的导是原子之间的非谐作用所引起的15.4.1热膨胀热膨胀长度为的长度为的 l 的样品的线热膨胀系数定义为：的样品的线热膨胀系数定义为：对于各向同性的立方晶体，对于各向同性的立方晶体， 为晶体膨胀系数的为晶体膨胀系数的1/3，即：，即：K K为体积弹性模量为体积弹性模量Bulk modulusBulk modulus2F按定义与体系的配分函数按定义与体系的配分函数Z相联系：相联系：对于简谐晶体，总能量为：对于简谐晶体，总能量为：3 为为 能级的平均占据数。

能级的平均占据数压力对温度的依赖仅决定于简正模频率压力对温度的依赖仅决定于简正模频率 是否随晶体平衡体积变是否随晶体平衡体积变化在简谐近似下，化在简谐近似下， 与体积无关，因为简谐运动的频率除去与体积无关，因为简谐运动的频率除去和原子质量有关外，还决定于相互作用的力常数从和原子质量有关外，还决定于相互作用的力常数从(5.4.1-8)式看，式看，力常数随原子平距离的变化力常数随原子平距离的变化 联系于相互作用势的联系于相互作用势的3次或更高次或更高次微商，在简谐近似中，恰好略去不计，因而无热膨胀次微商，在简谐近似中，恰好略去不计，因而无热膨胀准简谐近似的处理，假定体系的能量依然由准简谐近似的处理，假定体系的能量依然由(5.4.1-8)给出，非简谐给出，非简谐效应体现在效应体现在 可以随晶体的平衡体积变化，从而有：可以随晶体的平衡体积变化，从而有：为晶格定为晶格定容比热容比热4由于体积弹性模量由于体积弹性模量K 对温度的依赖很弱，热膨胀系数随温度的变化，对温度的依赖很弱，热膨胀系数随温度的变化，大体与大体与 相似。

相似 时，时， 为常数，在很低温度下，为常数，在很低温度下， 比例于比例于 变化则则(5.4.1-11)可写成可写成格林艾森假定格林艾森假定 是一与是一与 无关的常数，称为格林艾森常数无关的常数，称为格林艾森常数5—— 晶体体积晶体体积V V改变时，格波的频率也要变化改变时，格波的频率也要变化因此因此格临爱森近似计算格临爱森近似计算对所有的振动相同对所有的振动相同 — 格临爱森常数格临爱森常数6晶格的平均振动能晶格的平均振动能晶体的状态方程晶体的状态方程晶体的热膨胀晶体的热膨胀晶体在晶体在p=0p=0下，体积随温度的变化下，体积随温度的变化—— 原子在平衡位置作微小振动，热膨胀较小，按泰勒级数展开原子在平衡位置作微小振动，热膨胀较小，按泰勒级数展开压强压强7第一项第一项—— 静止晶格的体变模量静止晶格的体变模量—— 热膨胀系数热膨胀系数—— 格临爱森定律格临爱森定律—— 保留至第二项保留至第二项8每对于金属，在计算每对于金属，在计算p时，还须考虑自由电子气体的贡献，时，还须考虑自由电子气体的贡献，(5.4.1-14)必须加上电子比热项，而电子比热仅在必须加上电子比热项，而电子比热仅在10K左右或更低温度下重左右或更低温度下重要，此时应有要，此时应有 变化。

变化95.4.2 5.4.2 晶格热导率晶格热导率—— 如果在晶体中存在温度梯度如果在晶体中存在温度梯度能流密度能流密度—— 单位时间内通过单位面积的热能单位时间内通过单位面积的热能—— 不不考考虑虑电电子子对对热热传传导导的的贡贡献献，，晶晶体体中中的的热热传传导导主主要要依依靠靠声声子来完成子来完成——  为晶体的热导系数为晶体的热导系数10—— 固固体体中中存存在在温温度度梯梯度度时时，，“声声子子气气体体”的的密密度度分分布布是是不不均匀的均匀的—— 这这些些声声子子通通过过和和晶晶体体中中其其它它声声子子发发生生碰碰撞撞，，总总使使得得温温度度较低的区域具有同样的较低的区域具有同样的“声子声子”密度密度—— 因因而而“声声子子”在在无无规规则则运运动动的的基基础础上上产产生生定定向向运运动动 — 声声子子的的扩扩散散运运动动，，相相应应的的热热量量从从晶晶体体较较高高温温度度区区域域传传到到温温度度较较低低区区域域—— 温温度度较较高高的的区区域域将将有有产产生生较较多多的的振振动动模模式式和和具具有有较较大大的的振动幅度，即有较多的声子被激发，振动幅度，即有较多的声子被激发，“声子声子”密度高密度高11 分别为碰分别为碰撞前后的声子占据数撞前后的声子占据数声子之间的碰撞要遵从能量守恒律声子之间的碰撞要遵从能量守恒律由于晶体的平移对称性，还应遵从晶体动量守恒定律由于晶体的平移对称性，还应遵从晶体动量守恒定律12热导率：热导率：(Heat Conductivity and(Heat Conductivity and　　Wiedemann- Franz Law)Wiedemann- Franz Law)　　　　　　　　　　　　当温度在某一方向上有梯度时，就会有热流从高温流向低温。

此当温度在某一方向上有梯度时，就会有热流从高温流向低温此能流密度正比于温度梯度：能流密度正比于温度梯度：比例系数比例系数 称为热导率假设在称为热导率假设在 处有高温热源，在处有高温热源，在 处有低温热源，电子速度为处有低温热源，电子速度为 ，则能流密度为：，则能流密度为： 由此得到热导率：由此得到热导率： 13从这一表达式出发，可以得出一个重要的比从这一表达式出发，可以得出一个重要的比(Wiedemann(Wiedemann-Franz law)-Franz law)：： 其中我们利用的关系其中我们利用的关系 是由统计物理的能均分定理得出是由统计物理的能均分定理得出 ．．Lorentznumber14声子总数越多，声子受到的碰撞亦越频繁，弛豫时间声子总数越多，声子受到的碰撞亦越频繁，弛豫时间 大体比例于大体比例于1/T变化由于此时声子比热变化由于此时声子比热 遵从杜隆遵从杜隆—珀蒂定律与温度无关，珀蒂定律与温度无关，则热导率则热导率 晶体中的总声子数比例于温度晶体中的总声子数比例于温度T。

Lorentz常数的实验值在常数的实验值在 附近，因此当初附近，因此当初Drude计算的结果因为一个两倍的错误与实验值符合得好极了计算的结果因为一个两倍的错误与实验值符合得好极了Drude估算的估算的Lorentz常数的量级是对的，后来的固体物理发展证明，常数的量级是对的，后来的固体物理发展证明，他的正确结果建立在两个大错误的互相抵消上，即室温下的电子比他的正确结果建立在两个大错误的互相抵消上，即室温下的电子比热高估了热高估了100倍而电子平均速度的均方值低估了倍而电子平均速度的均方值低估了100倍温度高温度高( )时，热平衡的声子占据数时，热平衡的声子占据数151、在低温下，、在低温下， ，晶体中的声子，晶体中的声子 相应的波矢相应的波矢亦较小，亦较小， ，如初终态的波矢均远小于，如初终态的波矢均远小于 ，则晶体动量守恒，则晶体动量守恒式中式中 。

这种在声子碰撞中初终态总格波动量严格相等的过这种在声子碰撞中初终态总格波动量严格相等的过程称为程称为正常过程，或正常过程，或N过程过程这是低温下，声子碰撞的主要过程是低温下，声子碰撞的主要过程3、晶体动量守恒式中、晶体动量守恒式中 的过程称为的过程称为U过程过程(Umklapp process )，这过程要求，这过程要求 在第一布里渊区外，在第一布里渊区外， 与之相差与之相差一倒格矢这样一倒格矢这样 的方向几乎与的方向几乎与 相反相反 能有效的降低能有效的降低热导率2、在热平衡状态，由于、在热平衡状态，由于 ，声子总波矢为零，没有，声子总波矢为零，没有热流当体系由于温度梯度的存在而处在非平衡状态时，声子的分热流当体系由于温度梯度的存在而处在非平衡状态时，声子的分布有非零的总格波动量布有非零的总格波动量 ，相应的有热流存在，仅有正，相应的有热流存在，仅有正常过程，由于无法改变格波总动量，晶体将有无穷大的热导率。

常过程，由于无法改变格波总动量，晶体将有无穷大的热导率。