求通项公式和数列求和的常用方法.doc

求递推数列通项公式的常用方法 一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式例一 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？【解析】： ， ， ，又， .反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.跟踪训练1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列.二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例二 已知数列中，，，求数列的通项公式.【解析】：，，，猜测，再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.跟踪训练2.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有自然数，与1的等差中项等于与1的等比中项，求数列的通项公式.三 累加法：利用求通项公式的方法称为累加法累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.例三 已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，，求数列的通项公式.【解析】：,,=1+++=.反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为.跟踪训练3.已知,,求数列通项公式.四 累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).例四 已知,,求数列通项公式.【解析】：,,又有=1×=,当时，满足，.反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为.跟踪训练4.已知数列满足,.则的通项公式是.五 构造新数列: 类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1:已知数列满足，，求解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以，类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解例2:已知数列满足，，求解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例3:已知， ，求解： 变式:（2004，全国I,）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项 解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得类型3 （其中p，q均为常数，）解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解例4:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_______________（key:）类型4 （其中p，q均为常数，） （或,其中p，q, r均为常数） 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决例5:已知数列中，,，求解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。

解 (特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）例6: 数列：， ,求解（特征根法）：的特征方程是：又由，于是 故练习:已知数列中，,,，求变式:（2006，福建,文,22）已知数列满足求数列的通项公式；（I）解： 类型6 递推公式为与的关系式或)解法：利用与消去 或与消去进行求解例7：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法下面介绍数列求和的几种常用方法：一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、 4、5、例1（07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．（1）求数列的等差数列．（2）令求数列的前项和．解：（1）由已知得解得． 设数列的公比为，由，可得．又，可知，即，解得．由题意得．．故数列的通项为．（2）由于由（1）得 ， 又 是等差数列． 故．练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.二、错位相减法设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。

例2（07高考天津）在数列中，，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅰ）解：由，，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．（Ⅱ）解：设，　　　①　　　　　　　　②当时，①式减去②式，得，．这时数列的前项和．当时，．这时数列的前项和．例3（07高考全国Ⅱ文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，．所以，．（Ⅱ）．，①，②②－①得，．三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）例4设函数的图象上有两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)，若,且点P的横坐标为.（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II）若（I）∵,且点P的横坐标为.∴P是的中点，且由（I）知，，（1）+（2）得：四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）（2）（3）等例5 求数列的前n项和.解：设 （裂项） 则 （裂项求和） ＝ ＝例6（06高考湖北）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。

Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.评析：一般地，若数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：首先考虑则=下列求和： 也可用裂项求和法五、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并例7数列{an}的前n项和，数列{bn}满 .（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn解析：（Ⅰ）由，两式相减得：， 同定义知是首项为1，公比为2的等比数列. （Ⅱ） 等式左、右两边分别相加得： =　例8求（）解：⑴　当为偶数时，；⑵　当为奇数时，综上所述，．点评：分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和.- 6 -。