关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论 关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的议论 福建农林大学 尤天革 一、特征值与特征向量的概念 1、特征值与特征向量定义：设V是数域F上的n维向量空间，?为其线性变换，A是?在基??i?下的方阵表示若λ∈F及非零向量?∈V使 ??=λ? 或Ax=λx （x是?在基??i?下的坐标列），那么称λ为?或A的特征值或特征根，?称为?的属于λ的特征 向量，x称为A的特征向量 2、结论：设?是数域F上的线性变换，A是线性变换?在基?1，?2，…，?n下的矩阵，那么线性 变换?与其对应的n阶矩阵A有一致的特征值，且n阶矩阵A的特征向量X是?的特征向量在基?1，?2，…，?n下的坐标 特征值与特征向量是本书教学的一个中心，它是本书前面所学学识的一个应用，有关 特征值与特征向量的一些习题的证法或求法应当是前面所学的总结下面举6个例子说明 二、特征值与特征向量的几个例子 例1 试证：当n阶方阵A、B均为对称阵时，AB与BA有一致的特征值。

证明1：由特征多项式︱AB－λE︱=︱(AB??E)'︱=︱B'A'??E︱=︱BA－λE︱ 于是AB与BA有一致的特征多项式，从而它们有一致的特征值 证明2：已证明过，方阵与它的转置方阵有一致的特征值 因此AB与(AB)'有一致的特征值，而(AB)'=B'A'=BA 于是AB与BA有一致的特征值 证明3：设X是方阵AB对应于特征值λ的特征向量，那么λX=ABX=A'B'X=(BA)'X 由定义知道，AB与(BA)'有一致的特征值，而(BA)'与BA有一致的特征值， 因此AB与BA有一致的特征值 例2 试证n阶方阵A、B有一个可逆时，AB与BA有一致的特征值 证明1： 不妨设A可逆（由对称性，B可逆同样） ︱AB－λE︱=︱ABAA?1?A(?E)A?1︱=︱A(BA??E)A?1︱ =︱A︱︱BA－λE︱︱A?1︱=︱BA－λE︱ 因此AB与BA有一致的特征多项式，那么AB与BA有一致的特征值 ?0证明2：由于有等式??EEB0E??EB??0E???E?????=?0??A?E??E0??BE02A?? E? 两边取行列式得 = EBA?EE而 A?E= ?EBAEAE EBA?E=︱λE－AB︱， ?EB=︱λE－BA︱（此处使用了一个 结论，即若A、B、C、D都是n阶方阵，且AC=CA，那么有 AB=AD?CB，此处不证明） CD 所以︱λE－AB︱=︱λE－BA︱，即AB与BA有一致的特征值。

例3 试证：当A、B均为n阶方阵时，AB与BA有一致的特征值 证明1：（1）先证：n阶方阵AB-E与BA-E具有一致的可逆性 其实，只要证AB-E可逆时，(BA?E)?1?B(AB?E)?1A?E 考察(BA?E)[B(AB?E)?1A?E]=(BA?BB?1)[B(AB?B?1B)?1A?E] =B(A?B?1)[BB?1(A?B?1)?1A?E]=B(A?B?1)[(A?B?1)?1A?E] =BA?B(A?B?1)=E （2）证：当A、B均为n阶方阵时，AB与BA有一致的特征值分二部举行， 设λ是AB的一个特征值， （ⅰ）当λ=0时，有0=︱AB－0Ｅ︱=︱AB︱=︱BA︱=︱BA－λＥ︱ 因此，λ=0也是BA的特征值 （ⅱ）当λ≠0时，利用(1A)B?E与B(1A)?E有一致的可逆性， ?? 由于︱AB??E︱=?n︱(1A)B?E︱=0，?n≠0 ?那么︱(1A)B?E︱=0，推出︱B(1A)?E︱=0 ?? 因此︱BA??E︱=?n︱B(1A)?E︱=0 ?所以λ也是BA的特征值 证明2：（定义法）设λ是AB的一个特征值，X是对应于λ的一个特征向量 那么(AB)X=λX，等式两边左乘B，得到 BA(BX)??(BX) ⑴ （ⅰ）当BX=0时，λX=A(BX)=0，而X≠0，那么λ=0，于是 ︱AB－0E︱=︱AB︱=︱BA︱=︱BA－0E︱=0 所以λ=0是BA的特征值。

（ⅱ）当BX≠0时，由⑴式根据定义， 有非零向量BX就是BA对应于特征值λ的特征向量 所以λ也是BA的特征值 证明3：（使用矩阵的标准性证明） 设R（A）=r，那么存在可逆阵P、Q使 ?E PAQ=IA=?r?00?? 0? 于是PABP?1=PA?1BP?1=IAC Q?1BAQ=Q?1BP?1PAQ=CIA 其中记C=Q?1BP?1=(Cij) ?c11c12??c21c22?......?又IAC=?cr1cr2?00??......?00?T︱IAC??E︱=??...c1n??...c2n??c11c12?......?c21c22?...crn?，CIA=??......?...0???cn1cn2......?00????= n?r?(??)︱T︱ ??r0...0??0...0? ?.........?0...0??0?c11???c21?其中T= ?...??cr1c1r??c1r?1c1r?2??c2r?1c2r?2c22??...c2r??，???...............???cr2...crr????crr?1crr?2c12......c1n??...c2n? ......??...crn?????（n-r）阶对角阵??????T︱CIA??E︱=????...????...? ?...?...???0?n?r?=(??)︱T︱ ???cr?1,1cr?1,2?cr?2,1cr?2,2其中????......??ccn,2?n,1...cr?1,r??...cr?2,r? ......??,r??IAC与CIA有一致的特征多项式，而 ︱IAC??E︱=︱PABP?1??E︱=︱PABP?1?P(?E)P?1︱ =︱P︱︱AB－λE︱︱P?1︱=︱AB－λE︱ 同理可得︱CIA??E︱=︱BA－λE︱ 于是AB与BA有一致的特征多项式 因此AB与BA有一致的特征值。

例4 设A、B均为n阶方阵，且A的n个特征值两两互异，试证明：A的特征向量恒为B的特征向量的必要与充分条件是AB=BA 证明：设A的特征向量恒为B的特征向量令X1，X2，…，Xn是A的分别属于其不 同特征值?1，?2，…，?n的特征向量，那么X1，X2，…，Xn线性无关 故P=（X1，X2，…，Xn）可逆，且 ??10...0???0?...02? AP=P??....???00...?n?? 由题设，可令BXi=?iXi（i=1，2，…，n）那么 ??1?0? BP=P?.??00...?2.00??...0?，于是 ..??...?n?0...??10...0???1???0?...02?= P?0 BAP=BP??.?....????00...?n???0??10...0???1???0?...02??0 =P??....??.???00...?n??0?0?2.0...0???10...0????...0??0?2...0? ..??....????...?n??00...?n??2.00??...0?=ABP ?..?...?n? 因P可逆，故AB=BA。

反之，设AB=BA令V?i是A的对应于其特征值?i的特征子空间（i=1，2，…，n）， 由于?1，?2，…，?n两两互异，故V?i是一维的，于是可令 V?i=L（Xi） 由于AB=BA，所以ABXi=BAXi=B?iXi=?iBXi，即BXi∈V?i 故BXi=?iXi（i=1，2，…，n）因此 A的特征向量都是B的特征向量 例4的另一种表达（用线性变换表达）设V是数域F上的n维向量空间，σ，τ是V的线性 变换，σ的特征值互异证明：σ的特征向量都是τ的特征向量的必要与充分条件是 στ=τσ 证明：设?1，?2，…，?n为σ的n个互异的特征值，那么σ的特征子空间 V?i（i=1，2，…，n）都是一维的 设σ的特征向量都是τ的特征向量由于σ可以对角化， 即V中有基?1，?2，…，?n，使σ关于这个基的矩阵为 ??10...0???0?...02? A=??....???00...?n?? 即?1，…，…，从也是τ 的?2，?n是σ的分别属于特征根?1，?2，?n的特征向量， 特征向量：???i????ii，i=1，2，…，n，于是 τ关于基?1，?2，…，?n的矩阵为 ??1?0 B=??.??00...?2.00??...0? ?..?...?n?那么AB=BA，所以στ=τσ。

反之，设στ=τσ，令ξ为σ的属于特征根?i的特征向量，那么ξ∈V?i 由dimV?i=1知V?i=L（ξ）另一方面，?(?(?))=?(?(?))=?i???? 所以????∈V?i，从而????=μξ，即ξ为τ的特征向量 — 8 —。