传热学：第四章导热问题的数值解法.ppt

第四章第四章　　热传导问题的数值解法热传导问题的数值解法Numerical Methods of Heat Conduction主要内容主要内容l§4-1 导热问题数值求解的基本思想导热问题数值求解的基本思想l§4-2 内节点离散方程的建立方法内节点离散方程的建立方法l§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解边界节点离散方程的建立及代数方程的求解l§4-4 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法1 、重点内容：、重点内容： ① ① 掌握导热问题数值解法的基本思路；掌握导热问题数值解法的基本思路； ② ② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程2 、掌握内容：、掌握内容：数值解法的实质数值解法的实质 3 、了解内容：、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性及其稳定性  导热问题一般为导热问题一般为: :上述问题的解法有以下两种上述问题的解法有以下两种: :1. 1. 理论解理论解(analytical method)(analytical method): : 通过对上述方程积分求得通过对上述方程积分求得( (有限有限情况情况) )。

2. 2. 数值解数值解(numerical method)(numerical method): : 用某种方式把微分方程化为关用某种方式把微分方程化为关于各个离散点于各个离散点( (节点节点) )的代数方程的代数方程, ,通过解代数方程获得问题近通过解代数方程获得问题近似解的方法似解的方法 连续连续——离散离散( (任意情况任意情况) )§4-1 导热问题数值求解的基本思想导热问题数值求解的基本思想一、一、  数值解法的实质数值解法的实质         对对物物理理问问题题进进行行数数值值解解法法的的基基本本思思路路可可以以概概括括为为：：把把原原来来在在时时间间、、空空间间坐坐标标系系中中连连续续的的物物理理量量的的场场，，如如导导热热物物体体的的温温度度场场等等，，用用有有限限个个离离散散点点上上的的值值的的集集合合来来代代替替，，通通过过求求解解按按一一定定方方法法建建立立起起来来的的关关于于这这些些值值的的代代数数方方程程，，来来获获得得离离散散点点上上被被求求物物理理量量的的值值该该方方法法称称为数值解法。

为数值解法           这些离散点上被求物理量值的集合称为该物这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解理量的数值解 建立控制方程及定解条件建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值设立温度场的迭代初值求解代数方程求解代数方程是否收敛是否收敛解的分析解的分析改进初场改进初场是是否否二、二、 物理问题的数值求解过程物理问题的数值求解过程 （（1 1）建立控制方程及定解条件）建立控制方程及定解条件 针对图示的导热问题，它的控制方程（即针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方导热微分方程程）为：）为： 用用数数值值解解法法求求解解二二维维矩矩形形域域内内稳稳态态无无内内热热源源，，常物性的导热问题常物性的导热问题（（2 2）区域离散化（确立节点））区域离散化（确立节点） 用用一一系系列列与与坐坐标标轴轴平平行行的的网网格格线线把把求求解解区区域域划划分分成成若若干干个个子子区区域域，，用用网网格格线线的的交交点点作作为为需需要要确确定定温温度度值值的的空空间间位位置置，，称称为为节节点点 ( (结结点点) )，，节节点点的的位位置置用用该该节节点点在在两两个个方方向向上上的的标标号号m m，，n n表表示示。

相相邻邻两节点间的距离称步长两节点间的距离称步长每每一一个个节节点点可可以以看看作作是是以以它它为为中中心心的的一一个个小小区区域域的的代代表表它它由由相相邻邻两两节节点点连连线线的的中中垂垂线线构构成成，，这这个小区域称作元体或控制体个小区域称作元体或控制体 （（b））xynm(m,n)MN基本概念：网格线、节点、步长、控制容基本概念：网格线、节点、步长、控制容积积 （（3 3）建立节点物理量的代数方程（离散方程））建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程其过程节点上物理量的代数方程称离散方程其过程如下：如下： • • 首先划分各节点的类型；首先划分各节点的类型； • • 其次，建立节点离散方程；其次，建立节点离散方程； • • 最后，代数方程组的形成最后，代数方程组的形成 对节点对节点 ( (m,nm,n) ) 的代数方程，的代数方程，当当 △ △x=△y x=△y 时，有：时，有： （（4 4）） 设立迭代初场设立迭代初场     代数方程组的求解方法有直接解法与代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法，传热问题的有限差分法中主要采用迭迭代解法，传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。

采用迭代法求解时，需对被求的温度场预代法采用迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定一个解，这个解称为初场，并在求解过程先设定一个解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进中不断改进 （（5 5）） 求解代数方程组求解代数方程组   如前图所示，除如前图所示，除 m=1 m=1 的左边界上各节点的温度已知外，的左边界上各节点的温度已知外，其余其余(M-1)N(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N(M-1)N个方程，个方程，则构成一个封闭的代数方程组实际工程问题代数方程的则构成一个封闭的代数方程组实际工程问题代数方程的个数在个数在10103 3-10-106 6数量级，只有利用现代计算机才能迅速获得数量级，只有利用现代计算机才能迅速获得所需要的解所需要的解 1 1）常物性、无内热源（或具有均匀的内热源）的导热）常物性、无内热源（或具有均匀的内热源）的导热代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再变化变化————线性代数方程组；线性代数方程组；2 2））如如果果物物性性为为温温度度的的函函数数，，则则方方程程的的系系数数不不再再是是常常数数，，而而是是温温度度的的函函数数，，这这些些系系数数在在迭迭代代过过程程中中要要不断更新不断更新————非线性代数方程：非线性代数方程：3 3））是是否否收收敛敛判判断断：：用用迭迭代代法法求求解解代代数数方方程程是是否否收收敛敛，，即即本本次次迭迭代代计计算算所所得得之之解解与与上上一一次次迭迭代代计计算算所所得之解的偏差是否小于允许值。

得之解的偏差是否小于允许值 （（6）解的分析）解的分析 通通过过求求解解代代数数方方程程，，获获得得物物体体中中的的温温度度分分布布，，根根据据温温度度场场应应进进一一步步计计算算通通过过的的热热流流量量，，热热应应力力及及热热变变形形等等因因此此，，对对于于数数值值分分析析计计算算所所得得的的温温度度场场及及其其它它物物理理量量应应作作详详细细分分析析，，以以获得定性或定量上的结论获得定性或定量上的结论 §4.2内节点离散方程的建立方法内节点离散方程的建立方法(1) Taylor(1) Taylor（（泰勒）级数展开法；泰勒）级数展开法；(2) (2) 多项式拟合法；多项式拟合法；(3) (3) 控制容积积分法；控制容积积分法；(4) (4) 控制容积平衡法控制容积平衡法( (也称为热平衡法也称为热平衡法) )(1) 泰勒级数展开法泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点根据泰勒级数展开式，用节点( (i,ji,j) )的的温度温度t ti,ji,j来表示节点来表示节点( (i+1,ji+1,j) )而温度而温度t ti+1,ji+1,j用节点用节点( (i,ji,j) )的温度的温度t ti,ji,j来表示节点来表示节点(i-1,j)(i-1,j)的的温度温度t ti-1,ji-1,j将上两式相加可得将上两式相加可得将上式改写成将上式改写成 的表达式，有的表达式，有同样可得：同样可得：表示未明确写出的表示未明确写出的级数余项中的级数余项中的ΔΔX X的最低阶数为的最低阶数为2 2这是二节导数的差分表达式  根据导热问题的控制方程根据导热问题的控制方程 ( ( 导热微分方程导热微分方程 ) )若若 △ △x=△y x=△y 则有则有 得得(2) 控制容积平衡法控制容积平衡法(热平衡法热平衡法)基基本本思思想想：：是是傅傅里里叶叶导导热热定定律律和和能能量量守守恒恒定定律律的的体体现现。

对对每每个个元元体体，，可可用用傅傅里里叶叶导导热热定定律律写写出出其其能能量量守守恒恒的的表表达达式式如如图图所所示示，，从从节节点点 (m-1,n) (m-1,n) 通通过过界界面面 w w 传传导到节点导到节点 ( (m,nm,n) ) 的热流量：的热流量： 同理：通过界面同理：通过界面 e,n,se,n,s 传导给节点（传导给节点（ m,nm,n ）的热流量也）的热流量也可求得可求得（省略）（省略）wsne对元体对元体 ( (m,nm,n), ), 根据能量守恒定律可知：根据能量守恒定律可知： 其其中中，，规规定定：：导导入入元元体体（（m,nm,n））的的热热流流量量为为正正；；导导出出元元体体（（m,nm,n））的的热热流流量为负 wsne说明：说明：① ① 上述分析与推导是在笛卡儿坐标系中进行的；上述分析与推导是在笛卡儿坐标系中进行的； ② ② 热平衡法概念清晰，过程简捷；热平衡法概念清晰，过程简捷； ③ ③ 热平衡法与建立微分方程的思路与过程一致，热平衡法与建立微分方程的思路与过程一致，但不同的是前者是有限大小的元体，后者是微元体。

但不同的是前者是有限大小的元体，后者是微元体 §§4-3 4-3 边界节点离散方程的建立边界节点离散方程的建立及代数方程的求解及代数方程的求解 对对于于第第一一类类边边界界条条件件的的热热传传导导问问题题，，处处理理比比较较简简单单，，因因为为已已知知边边界界的的温温度度，，可可将将其其以以数数值值的的形形式式加加入入到到内内节节点点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解 而而对对于于第第二二类类或或第第三三类类边边界界条条件件的的导导热热问问题题，，所所有有内内节节点点的的离离散散方方程程组组成成的的代代数数方方程程组组是是不不封封闭闭的的，，因因未未知知边边界界温温度度，，因因而而应应对对位位于于该该边边界界上上的的节节点点补补充充相相应应的的代代数数方方程，才能使方程组封闭，以便求解程，才能使方程组封闭，以便求解 为为了了求求解解方方便便，，这这里里我我们们将将第第二二类类边边界界条条件件及及第第三三类类边边界界条条件件合合并并起起来来考考虑虑，，用用q qw w表表示示边边界界上上的的热热流流密密度度或或热热流流密密度度表表达达式式。

为为使使结结果果更更具具一一般般性性，，假假设设物物体体具具有有内内热热源源 ΦΦ( ( 不必均匀分布不必均匀分布 ) ) 如图所示如图所示 边界节点边界节点 ( (m,nm,n) ) 只能只能代表半个元体，若边界上有向该代表半个元体，若边界上有向该元体传递的热流密度为元体传递的热流密度为qwqw ，据，据能量守恒定律对该元体有：能量守恒定律对该元体有： 一、边界节点离散方程的建立一、边界节点离散方程的建立(1) (1) 平直边界上的节点平直边界上的节点平直边界上的节点平直边界上的节点(2) (2) 外部角点外部角点如如图图所所示示，，二二维维墙墙角角计计算算区区域域中中，，该该节节点点外外角角点点仅仅代代表表 1/4 1/4 个个以以 为为边边长长的的元元体体假假设设边边界界上上有有向向该该元元体体传传递递的的热热流流密密度度为为 ，，则则据据能能量量守守恒恒定定律律得得其热平衡式为：其热平衡式为： 外部角点与内部角点外部角点与内部角点(3) (3) 内部角点内部角点如图所示内部角点代表了如图所示内部角点代表了 3/4 3/4 个元体，在同样的假设条件下个元体，在同样的假设条件下有有讨论关于边界热流密度的三种情况：讨论关于边界热流密度的三种情况： （（1 1）绝热边界）绝热边界即令上式即令上式 即可。

即可 （（2 2）） 值不为零值不为零流入元体，流入元体， 取正，流出元体，取正，流出元体， 取负使取负使用上述公式用上述公式 （（3 3）对流边界）对流边界此时此时 ，将此表达式代入上述方程，，将此表达式代入上述方程，并将此项中的并将此项中的 与等号前的与等号前的 合并对于对于 的情形有的情形有（（a a）平直边界）平直边界（（b b）外部角点）外部角点（（c c）内部角点）内部角点二、处理不规则区域的阶梯型逼近法二、处理不规则区域的阶梯型逼近法 计计算算区区域域中中出出现现曲曲线线边边界界或或倾倾斜斜边边界界，，常常用用阶阶梯梯型型的的折折线线来来模模拟拟真真实实边边界界，，然然后后再再用用上上述述方方法法建建立立边边界节点的离散方程界节点的离散方程三、求解代数方程的迭代法三、求解代数方程的迭代法2 2））迭迭代代法法：：先先对对要要计计算算的的场场作作出出假假设设（（设设定定初初场场）），，在在迭迭代代计计算算中中不不断断予予以以改改进进，，直直到到计计算算前前的的假假定定值值与与计计算算结结果果相相差差小小于于允允许许值值为为止止的的方方法法，，称称迭代计算收敛。

迭代计算收敛代数方程组的求解有两种方法：代数方程组的求解有两种方法：1 1）直接解法）直接解法 通过有限次运算获得精确解的方法，通过有限次运算获得精确解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法如：矩阵求解，高斯消元法1 1）高斯）高斯————赛德尔迭代法：赛德尔迭代法：每次迭代计算，每次迭代计算，均是使用节点温度的最新值均是使用节点温度的最新值 设有一三元方程组设有一三元方程组： 其中其中 （（i=1,2,3 i=1,2,3 ；；j=1,2,3j=1,2,3）及）及 是已知的系数（均不为零）及常数是已知的系数（均不为零）及常数1.1.高斯高斯————赛德尔迭代法：赛德尔迭代法：每次迭代计算，每次迭代计算，均是使用节点温度的最新值均是使用节点温度的最新值 采用高斯采用高斯————赛德尔迭代法的步骤：赛德尔迭代法的步骤： （（1 1）将三元方程变形为迭式方程：）将三元方程变形为迭式方程： （（2 2）假设一组解（迭代初场），记为）假设一组解（迭代初场），记为： 并代入迭代方程求得第一并代入迭代方程求得第一 次解次解 每次计算均用最新值每次计算均用最新值代入。

代入 （（3 3）以新的初场重复计算，直到相邻两）以新的初场重复计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，计算终止计算终止 2.迭代是否收敛的判据：迭代是否收敛的判据：k k及及k+1k+1表示迭代次数；表示迭代次数；——第第k k次迭代得到的最大值次迭代得到的最大值当有接近于零的当有接近于零的t t 时，第三个较好时，第三个较好3.3.迭代能否收敛的判据迭代能否收敛的判据 1 1）对于一个代数方程组，若选用的迭代方式不合）对于一个代数方程组，若选用的迭代方式不合适，有可能导致发散，即称适，有可能导致发散，即称迭代过程发散迭代过程发散；； 2 2））对对于于常常物物性性导导热热问问题题，，组组成成的的差差分分方方程程组组，，迭迭代代公公式式的的选选择择应应使使一一个个迭迭代代变变量量的的系系数数总总是是大大于于或或等等于于该该式式中中其其他他变变量量系系数数绝绝对对值值的的代代数数和，此时，用迭代法求解代数方程一定收敛和，此时，用迭代法求解代数方程一定收敛 3 3）采用热平衡法导出差分方程时，若每一个方程）采用热平衡法导出差分方程时，若每一个方程都选用导出该方程中心节点的温度作为迭代变量，都选用导出该方程中心节点的温度作为迭代变量，则上述条件必满足，迭代一定收敛。

则上述条件必满足，迭代一定收敛 这一这一条件条件数学上称主对角线占优（对角占优）；数学上称主对角线占优（对角占优）； 满足对角占优的条件：8>2+1；5>1+2；4>2+1，所以迭代能收敛例题例题取初始迭代值为取初始迭代值为0，计算中间值如下表所示，计算中间值如下表所示例题例题 针肋如右图所示，碳钢针肋如右图所示，碳钢  =43.2W/(m.K)=43.2W/(m.K)，，求其温度求其温度分布及换热量分布及换热量 解：解：以上是精确解，现在我们用数值方法求解：以上是精确解，现在我们用数值方法求解：该问题的数学描述为该问题的数学描述为节点节点2 2：：同理得节点同理得节点3 3节点节点4 4 用热力学第一定律，导入的热量应等于对流散出的用热力学第一定律，导入的热量应等于对流散出的热量，固有：热量，固有：网格划分如右图：网格划分如右图：得得三种情况的计算结果如下三种情况的计算结果如下 温度分布温度分布热量计算：热量计算： 误差误差 精确解精确解  =15.06 W=15.06 W 四节点四节点   =11.94 W 21%=11.94 W 21% 三节点三节点   =10.52 W 30%=10.52 W 30% 如取如取5 5 节点节点, , 则则  的误差为的误差为 19%19%X 0 10 15 20 30 175 139.5 127.9 119.7 113.4 175 139.8 120.13 113.8 175 128.13 114.29 § 4-4 4-4 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法•非稳态项非稳态项• 扩散项的处理方法与前一样扩散项的处理方法与前一样空间坐标空间坐标 x x 1 1 N N  x x 空间步长空间步长数学描述数学描述区域离散化区域离散化建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程设立迭代初场设立迭代初场求解代数方程组求解代数方程组解的分析解的分析时间坐标时间坐标   1 1 I I     时间时间步长步长（（n,in,i））代表了时间空间区代表了时间空间区域中的一个接点位置域中的一个接点位置 t t(i)(i)n n将温度函数将温度函数 t t 在节点（在节点（n,i+n,i+1 1））和（和（n,i-n,i-1 1））对点（对点（n,in,i））作作泰勒级数展开泰勒级数展开从第一式得出从第一式得出向前差分向前差分从第二式得出从第二式得出二级数相减得到二级数相减得到中心差分中心差分向后差分向后差分常物性一维非稳态问题，时间向前，空间中心常物性一维非稳态问题，时间向前，空间中心第一式称为显示格式第一式称为显示格式 explicit finite difference schemeexplicit finite difference scheme第二式不能写成类似形式，第二式不能写成类似形式， 称为隐示格式称为隐示格式 implicit finite difference schemeimplicit finite difference scheme边界节点的处理边界节点的处理对该元体应用能量守恒定律对该元体应用能量守恒定律式中式中 称称网格傅里叶数网格傅里叶数一维无限大平板一维无限大平板边界边界内节点内节点。