复变函数第四版5-1.ppt

第一节 孤立奇点,一、孤立奇点的概念,二、函数的零点与极点的关系,三、函数在无穷远点的性态,四、小结与思考,,,,,,,,,,2,一、孤立奇点的概念,3,解,的奇点存在,,函数的奇点为,总有,4,孤立奇点的分类,内的洛朗级数的情况分为三类:,1．可去奇点,1．可去奇点; 2．极点; 3．本性奇点.,如果洛朗级数中不含 的负幂项,,那末孤立奇点 称为 的可去奇点.,1) 定义,5,说明: (1),,,补充定义,6,2) 可去奇点的判定,(1) 由定义判断:,(2) 判断极限,若极限存在且为有限值,,7,如果补充定义:,时,,8,解,,无负幂项,另解,9,2. 极点,即,或写成,1) 定义,负幂项,,10,说明:,,1.,2.,特点:,(1),是二级极点,,是一级极点.,11,2)极点的判定方法,限项.,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且,(1) 由定义判别,(2) 由定义的等价形式判别,12,课堂练习,答案,13,本性奇点,3.,例如，,,含有无穷多个z的负幂项,14,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为 有限值,不存在 且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,15,二、函数的零点与极点的关系,1.零点的定义,能表示成,的 m 级零点.,例6,注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.,16,2.零点的判定,零点的充要条件是,证 (必要性),由定义:,17,其中,展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数,公式知:,并且,充分性证明略 .,18,(1)由于,课堂练习,是五级零点,,是二级零点.,解,(2)由于,答案,19,3.零点与极点的关系,证,当 时 ,,20,,由于,只要令,那末,当 时,,解析且,,21,说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为,简便的方法.,解,这些奇点是,是孤立奇点.,22,,解,注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .,23,三、函数在无穷远点的性态,1. 定义,24,令变换,规定此变换将:,映射为,,扩充 z 平面,扩充 t 平面,映射为,,,映射为,,映射为,25,结论:,,规定:,m级奇点或本性奇点 .,26,1)不含正幂项;,3)含有无穷多的正幂项;,1)可去奇点 ;,2) m 级极点;,3)本性奇点 .,判别法1 (利用洛朗级数的特点),2.判别方法:,27,不含正幂项,28,含有无穷多的正幂项,课堂练习,答案,29,判别法2 : (利用极限特点),如果极限,30,解,31,所以,因为,32,33,四、小结与思考,理解孤立奇点的概念及其分类; 掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征; 熟悉零点与极点的关系.,34,思考题,35,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,。