第8章_矩阵特征值问题计算课件.ppt

5.7 矩阵的正交三角化及应用矩阵的正交三角化及应用 本节介绍初等反射阵及平面旋转阵，矩阵正交约本节介绍初等反射阵及平面旋转阵，矩阵正交约化，它们在矩阵计算中起着重要作用化，它们在矩阵计算中起着重要作用.5.7.1 初等反射阵初等反射阵 定义定义9 设向量设向量w Rn且且wTw=1，称矩阵，称矩阵H(w)=I-2wwT为为初等反射阵初等反射阵(或称为或称为豪斯霍尔德豪斯霍尔德(Householder)变换变换).如果记如果记w=(w1,w2,wn)，则，则 定理定理25 设有初等反射阵设有初等反射阵H(w)=I-2wwT,其中其中wTw=1,则则 (1)H是对称矩阵是对称矩阵,即即HT=H.(2)H是正交矩阵是正交矩阵,即即H-1=H.(3)设设A为对称矩阵为对称矩阵,那么那么A1=H-1AH=HAH亦是对亦是对称矩阵称矩阵.证明证明 只证只证H的正交性的正交性,其它显然其它显然.设向量设向量u0,则显然则显然 是一个初等反射阵是一个初等反射阵.下面考察初等反射阵的几何意义下面考察初等反射阵的几何意义.考虑以考虑以w为法为法向量且过原点向量且过原点O的超平面的超平面S:wTx=0.设任意向量设任意向量v Rn,则则v=x+y,其中其中x S,y S.于是于是 Hx=(I-2wwT)x=x-2wwTx=x.对于对于y S,易知易知Hy=-y,从而对任意向量从而对任意向量v Rn,总有总有 Hv=x-y=v,其中其中v为为v关于平面的镜面反射关于平面的镜面反射(见图见图5-1).wvySxv图图 5-1 5-1 定理定理26 设设x,y为两个不相等的为两个不相等的n维向量维向量,|x|2=|y|2,则存在一个初等反射阵则存在一个初等反射阵H,使使Hx=y.证明证明 令令 ,则得到一个初等反射阵则得到一个初等反射阵而且而且由由|x|2=|y|2,有有yTy=xTx,而数而数xTy=yTx,从而从而所以得所以得 Hx=x-(x-y)=y.容易说明容易说明,w是使是使Hx=y成立的唯一长度等于成立的唯一长度等于1的向的向量量(不计符号不计符号).定理定理27(约化定理约化定理)设设x=(x1,x2,xn)T0,则存则存在初等反射阵在初等反射阵H,使使Hx=-e1,其中其中 证明证明 见书见书p217.算法算法6 见书见书p218.5.7.2 平面旋转阵平面旋转阵 设设x,y R2,则变换则变换是平面上向量的一个旋转变换，其中是平面上向量的一个旋转变换，其中为正交矩阵为正交矩阵.Rn中变换：中变换：y=Px，称为称为Rn中平面中平面xi,xj的的旋转变换旋转变换(或称为或称为吉文斯吉文斯(Givens)变换变换)，P=P(i,j,)=P(i,j)称为称为平面旋转矩阵平面旋转矩阵.其中其中x=(x1,x2,xn)T,y=(y1,y2,yn)T,使而使而显然，显然，P(i,j,)具有性质：具有性质：(1)P与单位阵与单位阵I只是在只是在(i,i),(i,j),(j,i),(j,j)位置元素不一样，其它相同位置元素不一样，其它相同.(2)P为正交矩阵为正交矩阵(P-1=PT).(3)P(i,j)A(左乘左乘)只需计算只需计算第第i行行与与第第j行行元素，即元素，即对对A=(aij)mn有有其中，其中，c=cos，s=sin.(4)AP(i,j)(右乘右乘)只需计算只需计算第第i列列与与第第j列列元素，即元素，即利用平面旋转变换，可使向量利用平面旋转变换，可使向量x中的指定元素变为零中的指定元素变为零.定理定理28(约化定理约化定理)设设x=(x1,xi,xj,xn)T,其中其中xi,xj不全为零，则可选择平面旋转阵不全为零，则可选择平面旋转阵P(i,j,)，使，使其中其中 证明证明 取取 由由 利用矩阵乘利用矩阵乘法，显然有法，显然有于是，由于是，由c,s的取法得的取法得5.7.3 矩阵的矩阵的QR分解分解 下面讨论用正交矩阵来约化矩阵，可得到下述结果下面讨论用正交矩阵来约化矩阵，可得到下述结果.设有设有 设设A Rmn且为非零矩阵，则存在初等反射矩阵且为非零矩阵，则存在初等反射矩阵H1,H2,Hs使使 (1)第第1步约化：如果步约化：如果a1=0，取，取H1=I，即这一步不，即这一步不需要约化，不妨设需要约化，不妨设a10，于是可选取初等反射阵使，于是可选取初等反射阵使于是于是其中其中 (2)第第k步约化：设已完成对步约化：设已完成对A上述第上述第1步步第第k-1步步的约化，再进行第的约化，再进行第k步约化步约化.即存在初等反射阵即存在初等反射阵H1,H2,Hk-1使使其中其中这里这里,Rk为为k-1阶上三角阵阶上三角阵,不妨设不妨设ck0,否则这一步不需要约化否则这一步不需要约化(如果如果A列满列满秩秩,则则ck0).于是于是,可选取可选取初等反射阵初等反射阵使使令令第第k步约化为步约化为 令令s=min(m-1,n),继续上述过程继续上述过程,最后有最后有 总结上述讨论给出下述结果总结上述讨论给出下述结果.定理定理29(矩阵的正交约化定理矩阵的正交约化定理)设设A Rmn且且A0,s=min(m-1,n),则存在初等反射阵则存在初等反射阵H1,H2,Hs使使且计算量约为且计算量约为n2m-n3/3(当当mn)次乘法运算次乘法运算.(2)设设A Rnn为非奇异矩阵为非奇异矩阵,则则A有分解有分解 定理定理30(矩阵的矩阵的QR分解分解)其中其中R为为n阶非奇异上三角阵阶非奇异上三角阵.(1)设设A Rmn且且A的秩为的秩为n(mn),则存在初等反则存在初等反射阵射阵H1,H2,Hn使使A=QR,其中其中Q为正交矩阵为正交矩阵,R为上三角阵为上三角阵.且当且当R具有正对角具有正对角元素时元素时,分解唯一分解唯一.证明证明 (1)由定理由定理29可得可得.(2)由设及定理由设及定理29存在初等反射阵存在初等反射阵H1,H2,Hn-1使使 记记QT=Hn-1H2H1,则上式为则上式为QTA=R,即即 A=QR,其中其中Q为正交矩阵为正交矩阵,R为上三角阵为上三角阵.唯一性唯一性,设有设有A=Q1R1=Q2R2,其中其中Q1,Q2为正交为正交矩阵矩阵,R1,R2为非奇异上三角阵为非奇异上三角阵,且且R1,R2具有正对角具有正对角元素元素,则则 由假设由假设,及对称正定矩阵及对称正定矩阵ATA的的Cholesky分解的分解的唯一性唯一性,则则R1=R2.从而可得从而可得Q1=Q2.下面考虑平面旋转变换来约化矩阵下面考虑平面旋转变换来约化矩阵.定理定理31(用吉文斯变换计算矩阵的用吉文斯变换计算矩阵的QR分解分解)设设A Rnn为非奇异矩阵为非奇异矩阵,则则 证明见书证明见书p224-自看自看.(1)存在正交矩阵存在正交矩阵P1,P2,Pn-1使使 (2)A有有QR分解分解:A=QR.其中其中Q为正交阵为正交阵,R为非奇异上三角阵为非奇异上三角阵.且当且当R对角元对角元素都为正时素都为正时,分解是唯一的分解是唯一的.第第8章章 矩阵特征问题的计算矩阵特征问题的计算8.1 引言引言8.2 幂法及反幂法幂法及反幂法8.3 豪斯霍尔德方法豪斯霍尔德方法8.4 QR方法方法8.1 引引 言言 工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题征向量的问题.下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础知识知识.定义定义1 已知已知n阶矩阵阶矩阵A=(aij)，则，则称为称为A的的特征多项式特征多项式.一般有一般有n个根个根(实的或复的，复根按重数计算实的或复的，复根按重数计算)称为称为A的的特征值特征值.用用(A)表示表示A的所有特征值的集合的所有特征值的集合.A的特征方程的特征方程 设设为为A的特征值，相应的齐次方程组的特征值，相应的齐次方程组 注：注：当当A为实矩阵时，为实矩阵时，()=0为实系数为实系数n次代数次代数方程，其复根是共轭成对出现方程，其复根是共轭成对出现.的的非零解非零解x称为矩阵称为矩阵A的对应于的对应于的的特征向量特征向量.例例1 求求A的特征值及特征向量，其中的特征值及特征向量，其中 解解 矩阵矩阵A的特征方程为的特征方程为求得矩阵求得矩阵A的特征值为：的特征值为：对应于各特征值矩阵对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：的特征向量分别为：定理定理1 设设为为ARnn的特征值的特征值,且且Ax=x(x 0)，则有，则有 -p为为A-pI的特征值，即的特征值，即(A-pI)x=(-p)x；c为的为的cA特征值特征值(c0为常数为常数)；下面叙述有关特征值的一些下面叙述有关特征值的一些结论结论：k为为Ak的特征值，即的特征值，即Akx=kx；设设A为非奇异矩阵，那么为非奇异矩阵，那么0,且且-1为为A-1的的特征值，即特征值，即A-1x=-1x.定理定理2 设设i(i=1,2,n)为为n阶矩阵阶矩阵A=(aij)的特的特征值，则有征值，则有 称为称为A的的迹迹；定理定理3 设设ARnn，则有，则有 定理定理4 设设A 为分块上三角矩阵，即为分块上三角矩阵，即其中每个对角块其中每个对角块Aii均为方阵，则均为方阵，则 定理定理5 设设A与与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵为相似矩阵（即存在非奇异矩阵P使使B=P-1AP），则），则 定理定理5说明，一个矩阵说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征经过相似变换，其特征值不变值不变.一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵，一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵，亏损矩阵在理论上和计算上都存在困难亏损矩阵在理论上和计算上都存在困难.A与与B有相同的特征值；有相同的特征值；如果如果y是是B的特征向量，则的特征向量，则Py是是A的特征向量的特征向量.定义定义2 如果实矩阵如果实矩阵A有一个重数为有一个重数为k的特征值的特征值,且对应于且对应于的的A的线性无关的特征向量个数的线性无关的特征向量个数|2|n|，则对任何非零向量则对任何非零向量v0(a1 0)，幂法的算式成立，幂法的算式成立.又设又设A有有n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，1对应的对应的r个线性个线性无关的特征向量为无关的特征向量为x1,x2,xr，则由，则由(2.2)式有式有 如果如果A的主特征值为实的重根的主特征值为实的重根,即即1=2=r,且且|r|r+1|n|，为为A的特征向量，这说明当的特征向量，这说明当A的主特征值是实的重根的主特征值是实的重根时，定理时，定理5的结论还是正确的的结论还是正确的.应用应用幂法幂法计算计算A的主特征值的主特征值1及其对应的特征向及其对应的特征向量时，如果量时，如果|1|1(或或|1|2|n|，则对任意非零初始，则对任意非零初始向量向量v0=u0(a1 0)，有幂法计算公式为，有幂法计算公式为则有则有 例例1 用幂法计算矩阵用幂法计算矩阵的主特征值与其对应的特征向量的主特征值与其对应的特征向量.解解取取 v0=u0=(0,0,1)T ,则则直到直到k=8 时的计算结果见下表时的计算结果见下表k1 2,4,1,4 0.5,1,0.252 4.5,9,7.75 90.5,1,0.86113 5.7222,11.4444,8.36111.44440.5,1,0.73604 5.4621,10.9223,8.2306 10.92230.5,1,0.75365 5.5075,11.0142,8.2576 11.01420.5,1,0.74946 5.4987,10.9974,8.2494 10.99740.5,1,0.75017 5.5002,11.0005,8.2501 11.00050.5,1,0.75008 5.5000,11.0000,8.2500 11.00000.5,1,0.7500从而从而见书见书p303-。