新教材人教A版高中数学选择性必修第二册4.2等差数列 2022新高考一轮复习课件.pptx

4.2等差数列 课标要求 1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项 和公式的关系. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题. 4.体会等差数列与一元一次函数的关系. 备考指导 等差数列是最重要的基本数列,也是高考必考内容.高考既可能在解答题中 考查,也可能在选择题或填空题中出现.复习时要牢记基本公式,能准确进 行基本量的运算,并且掌握相关性质以简化运算.还要注重数学文化在等差 数列中的渗透以及对函数与方程思想运用较多,培养数学运算的核心素养. 【知识筛查 】 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通 常用字母 d 表示. 2.等差中项 如果三个数a,A,b组成等差数列,那么 A 叫做a与b的等差中项,由等差数列 的定义知 2A =a+b. 温馨提示1.a,A,b是等差数列的充要条件是2A=a+b. 2.数列an是等差数列2an=an-1+an+1(n2). 3.等差数列的通项公式 首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式为an= a1+(n-1)d . 4.等差数列的前n项和公式 5.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 (1)由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可得an=dn+(a1-d),当d=0时, an=a1为常数函数,当d0时,an=a1+(n-1)d是关于n的一次函数,一次项系数 就是等差数列的公差,因此等差数列an的图象是直线y=dx+(a1-d)上的一 群均匀分布的孤立的点. (2) .当d0时,它是关于n的二次函数.数列an是等差数 列Sn=An2+Bn(A,B为常数). 温馨提示当d0时,an是关于n的一次函数;当d0时,数列an为递增数列; 当d0时,数列an为递减数列. 1.若an为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则ak+al=am+an. 2.若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d. 3.若an,bn是等差数列,则pan+qbn也是等差数列. 4.若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差为md的 等差数列. 6.若an是等差数列,Sm,S2m,S3m分别为an的前m项、前2m项、前3m项 的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列. 【知识巩固 】 1.下列说法正确的画“”,错误的画“”. (1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列 是等差数列.() (2)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定是 等差数列.() (3)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an+an+2. () (4)等差数列an的单调性是由公差d决定的.() (5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.() 2.已知等差数列an满足a3=13,a13=33,则a7等于() A.19B.20 C.21D.22 C D 由题意可得,2a11=a9+a13,即a13=7. 由等差数列前n项和公式, 4.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=. 5.在100以内(包括100)的正整数中有个能被6整除. 14 设等差数列an的公差为d. 等差数列an的前n项和为Sn,a3=0,a6+a7=14, 16 由题意知,能被6整除的数构成一个等差数列an, 则a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n. 由an=6n100,即 ,则在100以内(包括100)的正整数中有16个能被6整除. 能力形成点1等差数列基本量的运算 例1(1)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于 () A.3B.4C.5D.6 C 设等差数列an的公差为d. (方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 数列an为等差数列,d=am+1-am=1, m0,a1=-2, 又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5. (方法二)由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 则等差数列的公差d=am+1-am=3-2=1. (2)若等差数列an的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于() A.12B.13C.14D.15 B (3)(2020全国,文14)设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=-2,a2+a6=2,则 S10=.25 设等差数列an的公差为d. a1=-2,a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1. 解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出公差d,由通项公式或前 n项和公式转化为方程(组)求解. 2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其 中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想. 3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,则可设这三个数为a- d,a,a+d;若四个数成等差数列,则可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d. 对点训练1 (1)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100等于() A.100B.99C.98D.97 C (2)设Sn为等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=. (3)已知an是公差为1的等差数列,Sn为数列an的前n项和,若S8=4S4,则 a10=. -72 能力形成点2等差数列的判定与证明 例2已知数列an满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n. (1)求a2,a3; (2)证明数列 是等差数列,并求数列an的通项公式. 解 由已知,得a2-2a1=4,则a2=2a1+4. 又a1=1,所以a2=6. 由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15. 解题心得等差数列的判定方法 (1)证明数列an为等差数列的基本方法有两种: 利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d; 利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1. (2)解答选择题、填空题时,也可用通项公式或前n项和公式直接判断: 通项法:若数列an的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则an是等 差数列. 前n项和法:若数列an的前n项和Sn可以化为Sn=An2+Bn的形式(A,B是常 数),则an是等差数列. (3)判断一个数列不是等差数列,只需说明某连续三项(如前三项)不是等差 数列即可. 对点训练2 (1)求证:数列bn是等差数列; (2)求数列an的通项公式. 能力形成点3等差数列的性质与应用 命题角度1 等差数列项的性质的应用 例3(1)在等差数列an中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8等于 () A.95B.100C.135D.80 B 由等差数列的性质可知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8构成新的等差数列,于是 a7+a8=(a1+a2)+(4-1)(a3+a4)-(a1+a2)=40+320=100. (2)已知Sn是数列an的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8等于 () A.72B.88C.92D.98 C (方法一)由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,则数列an是公差d=3的等差数列. 又a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21, (方法二)由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,则数列an是公差为3的等差数列, (3)已知an,bn都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6= . 21 因为an,bn都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6, 所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6), 即215=9+(a5+b6),解得a5+b6=21. 命题角度2 等差数列前n项和的性质的应用 例4(1)在等差数列an中,a1=-2 021,其前n项和为Sn,若 ,则 S2 021的值等于() A.-2 020B.-2 018 C.-2 021D.-2 019 C A (3)在等差数列an中,若前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的 和为.210 对点训练3 (1)已知等差数列an,若a2=2,a3+a5+a7=15,则数列an的公差d等于 () A.0B.1C.-1D.2 B 根据等差数列的性质,a3+a5+a7=3a5=15,得a5=5,即a5-a2=3=3d,可得d=1, 故选B. (2)已知等差数列an的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于() A.3B.6C.17D.51 A 由题意知,S17= =17a9=51,得a9=3. 根据等差数列的性质a5+a13=a7+a11, 故a5-a7+a9-a11+a13=a9=3. D (4)在等差数列an中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=.45 an为等差数列, S3,S6-S3,S9-S6成等差数列. 2(S6-S3)=S3+(S9-S6). a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45. 能力形成点4等差数列前n项和的最值问题 例5(1)设Sn为等差数列an的前n项和,若a4|a4|,则使Sn0成立的 最小正整数n为() A.6B.7C.8D.9 C 在等差数列an中,a4|a4|, a50,a5+a40, 使Sn0成立的最小正整数n为8.故选C. (2)在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时, Sn取得最大值,并求出它的最大值. 解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 (1)利用函数的性质:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二 次函数,根据二次函数的性质求最值. 利用相关性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值. 对点训练4 (1)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a5+a7=4,a6+a8=-2,则当Sn取最大 值时,n的值是() A.5B.6C.7D.8 B 依题意得2a6=4,2a7=-2,则a6=20,a7=-10;又数列an是等差数列,因此 在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最大 值时,n=6,选B. (2)设Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. 求数列an的通项公式; 求Sn,并求Sn的最小值. 解 设数列an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7,得d=2. 故数列an的通项公式为an=2n-9. 由得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 故当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16. 思想方法整体思想在等差数列中的应用 整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形 式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上 去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思 维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有整体代入、整体加减、 整体代换、整体联想等.在等差数列中,当要求的Sn所需要的条件未知或不 易求出时,可以考虑整体代入. 典例1已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a4+a5=12,则S7的值为 . 答案:28 解析:设等差数列an的公差为d. a3+a5=2a4, 由a3+a4+a5=12,得3a4=12,即a4=4. a1+3d=4,故S7=7a1+ =7(a1+3d)=74=28. 典例2在等差数列an中,其前n项和为Sn.已知Sn=m,Sm=n(mn),则 Sm+n=. 答案:-(m+n) 。