《工程数学（本）》解题指导（二）.doc

《工程数学(本)》解题指导（二）线性代数————第2章：矩 阵　一、例题解析：　1． 单项选择题　　（1）由得到的矩阵中的元素（　 ）A. 53； B. 12； C. －26； D. 15解：因为 左矩阵第3行的元素与右矩阵第2列相应元素的乘积之和 ==12 正确答案：B（2） （　 ）A. ； B. ； C. ； D. 解：因为， 所以 正确答案：A（3）若是对称矩阵，则条件（　 ）成立A. ； B. ；　　 C. ； D. 解：由对称矩阵的定义可知，正确答案：C（4）设均为阶方阵，则等式（ 　）成立　　A. ； B. ；　　C. ； D. 解：由矩阵的行列式乘积定理有： 　 所以正确答案：B 2． 填空题　　（1）行列式　　　　　　　　　　　（2）设二阶矩阵，其伴随矩阵　　　　　　　（3）设均为4阶矩阵，且，　　　　　　　（4）若为矩阵，为矩阵，为矩阵，则为　　　　矩阵。

解：（1）由 ，得 正确答案：-5 （2）因为，，， 所以 正确答案： （3）== == 正确答案： （4）因为为矩阵，为矩阵，得为矩阵，又因为为矩阵，所以为矩阵正确答案：，3．计算题（1 ） 设矩阵A =， B =求A + B，A - B. 解 A + B = + = = A - B = - ==（2） 已知 求 分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解解：因为得 设矩阵 求 解：方法一：伴随矩阵法∵∴可逆且由 得伴随矩阵 则 = 方法二：初等行变换法求逆时注意：1、矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的2、若矩阵行列式的值不为1，则逆矩阵的元素一般都是分数，在这种情况下，用伴随矩阵法求简单些，若矩阵行列式的值不为1，两种方法都可以4） 设矩阵 求 的秩注意：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩就是把这个矩阵化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵的非零行数就是这个矩阵的秩。

５）．解矩阵方程　　　　　　　　　　　　　　　　解法一：用求逆的方法解　设　　　　　　　　　　　　　　　　　，　则　Ｘ＝Ａ－１Ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ＝　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝　　　　　　解法二：用初等行变换法求解　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　Ｘ＝　　　　　　　　　4．证明题若 是 阶矩阵，且 ，试证 证明： 注意：在证明中用到了已知条件和转置行列式相等的结论二、对照练习1．单项选择题（1） 设 为 矩阵， 为 矩阵，则矩阵运算（ ）有意义　（2）由得到的矩阵中的元素（　 ）　　A. 53； B. 12； C. －26； D. 15　　（3） （　 ）A. ； B. ； C. ； D. 　　（4）若是对称矩阵，则条件（　 ）成立A. ； B. ；　　 C. ； D. 　　（5）设均为阶方阵，则等式（ 　）成立。

　　A. ； B. ；C. ； D. 2．填空题（1） 设A、B均为3阶矩阵，且|A|=|B |=3，则|2AB|= 2）设二阶矩阵，其伴随矩阵　　　　　3）设均为4阶矩阵，且，　　　　　4）若为矩阵，为矩阵，为矩阵，则为　　　　矩阵5）设均为阶可逆矩阵，逆矩阵分别为，则　　　　　3．计算题 （1） 设矩阵 判别A是否可逆？（2）设矩阵 ，求矩阵A． （3） 设矩阵 A = ，求逆矩阵 （4）设矩阵A，B满足矩阵方程AX ＝B，其中， , 求X ． （5） 设矩阵，，且AX=B，试求X6） 解矩阵方程AX = B，其中 A =，B = （7） 设矩阵A =， B = 求，，. （8） 设矩阵 A =，求和.4．证明题 （1）．证明题：设n阶矩阵Ａ，Ｂ的乘积矩阵ＡＢ可逆，则Ａ与Ｂ都可逆．（2）对任意方阵Ａ，试证Ａ＋Ａ＇是对称矩阵．答案：1A、B、A、C、B 2．72、，，，3．（1）A是可逆矩阵.，（2），（3），（4），（5），（6），（7）= 2，= 3，= 2（8） ==3。