全等三角形及其应用专题讲解老师版(含答案).doc

2、全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作 “△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的翻折 如图（1），DBOC≌DEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180°得到的；‚旋转 如图（2），DCOD≌DBOA，DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180°得到的；ƒ平移 如图（3），DDEF≌DACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2） 推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识分类解析】全等三角形知识的应用（1） 证明线段（或角）相等 例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.证明：在ΔACD和ΔABE中， ∴ ΔACD≌ΔABE (SAS)∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等）又 ∵ AD=AE,AB=AC. ∴ AB－AD=AC－AE 即 BD=CE在ΔDBF和ΔECF中∴ ΔDBF≌ΔECF （AAS）∴ BF=FC （全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC （已知）∴ ∠DEC＝∠BFA=90° （垂直的定义）在ΔABF与ΔCDE中，∴ ΔABF≌ΔCDE（SAS）∴ ∠C＝∠A (全等三角形对应角相等)∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE分析：(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。

证明：取CD中点F，连接BF ∴ BF=AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）∴ ∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等)又∵ AB=AC∴ ∠ACB＝∠3 （等边对等角）∴ ∠3＝∠2在ΔCEB与ΔCFB中，∴ ΔCEB≌ΔCFB (SAS)∴ CE=CF=CD （全等三角形对应边相等）即CD=2CE （ⅱ）加倍法证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.在ΔAEC与ΔBEF中，∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等)∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行)∵ ∠ACB+∠CBF=180o,∠ABC+∠CBD=180o,又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等）在ΔCFB与ΔCDB中，∴ ΔCFB≌ΔCDB (SAS)∴ CF=CD即CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.(4)证明线段相互垂直例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确通过观察，可以猜测：AO=BC，AO⊥BC.证明：延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中∴ ΔADO≌ΔCDB (SAS)∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）∵ ∠AOD＝∠COE （对顶角相等）∴ ∠COE+∠OCE=90o∴ AO⊥BC5、中考点拨：例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．求证：∠F＝∠A．分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF∥AC，因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED，只要证△EBD≌△FCD即可．证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∵EB＝ED，∴∠ACB＝∠EDB．∴ED∥AC．∴∠BED＝∠A．∵BE＝EA．∴BD＝CD．又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF∴△BDE≌△CDF，∴∠BED＝∠F．∴∠F＝∠A．说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。

题型展示：例1 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2求证：AB＝AC＋CD．分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需证DE＝BE问题便可以解决．证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE．∵ AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴ △AED≌△ACD，∴ DE＝DC，∠AED＝∠C．∵ ∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB．即 ∠B＝∠EDB．∴ EB＝ED，即ED＝DC，∴ AB＝AC＋DC．剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．【实战模拟】1. 下列判断正确的是（ ）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．3. 如图，已知C为线段AB上的一点，DACM和DCBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。

求证：DCEF是等边三角形试题答案】1. D2.证明：∵ AO平分∠ODB，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CE交于点O，∴ OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°, ∠BOD＝∠COE∴ △BOD≌△COE（ASA）．∴OB＝OC3. 分析 由ÐACM=ÐBCN=60°，知ÐECF=60°，欲证DCEF是等边三角形，只要证明DCEF是等腰三角形先证DCAN≌DMCB，得Ð1=Ð2.再证DCFN≌DCEB，即可推得DCEF是等边三角形的结论证明：在DCAN和DMCB，∵AC=MC，CN=CB，ÐCAN=ÐMCB=120°，∴DACN≌DMCB中， ∴ ÐFCB和DCEB中，∵ÐFCN=ÐECB=60°，Ð1=Ð2，CN=CB，∴DCFN≌DCEB，∴CF=CE，又∵ÐECF=60°， ∴DCEF是等边三角形.。