江苏省苏州市九年级数学下册 第五单元《第4课时 二次函数》教案 苏教版.doc

第4课时 二次函数一、导航图1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)5.二次函数与一元二次方程的关系6.抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系毛 二、知识梳理 1.二次函数的图象 在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+)2+ 的形式,先确定顶点(-,),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-时,y最小值=;反之当a<0时,简记左增右减,当x=-时y最大值=. 3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法 一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y的值)可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解. 4.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0无实根. 5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定 a的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下;c的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定.当c>0时,抛物线交y轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y轴于负半轴;b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y轴左侧时,b的符号与a的符号相同;当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反;简记左同右异. 6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,应用数形结合思想来解决有关的综合性问题. 三、题型例析 1. 二次函数解析式的确定 例1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6. 分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解. (1)解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得 解得 ∴解析式为y=x2+2.(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8. 把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上,把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,∴解析式为y=2x2-4x-6. 解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8. ∴=-8. 又∵a≠0,∴a=2. ∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,又∵图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0),设出两根式y=a(x-x1)(x-x2),将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8. 点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2). 2. 二次函数的图象 例2 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在(  ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分析:由图可知: 抛物线开口向上a>0. bc<0. ∴点M(a,bc)在第一象限. 答案:A. 点评:本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、c的符号.例3 已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ). 分析:一次函数y=ax+c,当a>0时,图象过一、三象限;当a<0时,图象过二、四象限;c>0时,直线交y轴于正半轴;当c<0时,直线交y轴于负半轴;对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)来讲: 解:可用排除法,设当a>0时,二次函数y=ax2+bx+c的开口向上,而一次函数y=ax+c应过一、三象限,故排除C;当a<0时,用同样方法可排除A;c决定直线与y轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y轴交点,本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点,故排除B. 答案:D. 3. 二次函数的性质 例4 对于反比例函数y=-与二次函数y=-x2+3,请说出他们的两个相同点:①_________,②_________;再说出它们的两个不同点:①________,②_________. 分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③最值④自变量取值范围⑤交点等. 解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1); 不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命题的热点. 4. 二次函数的应用 例5 已知抛物线y=x2+(2k+1)x-k2+k, (1)求证:此抛物线与x轴总有两个不同的交点. (2)设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标,且满足x12+x22=-2k2+2k+1. ①求抛物线的解析式. ②设点P(m1,n1)、Q(m2,n2)是抛物线上两个不同的点,且关于此抛物线的对称轴对称. 求m+m的值.分析:(1)欲证抛物线与x轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令y=0,证△>0即可.(2)①根据二次函数的图象与x轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k的值,可确定抛物线解析式;②由P、Q关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2,由n1=m12+m1,n2=m22+m2得m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0可求得m1+m2=-1. 解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k2+k) =4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1. ∵8k2+1>0, 即△>0,∴抛物线与x轴总有两个不同的交点. (2)①由题意得x1+x2=-(2k+1), x1 x2=-k2+k. ∵x12+x22=-2k2+2k+1, ∴(x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1, 4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1. ∴8k2=0,∴k=0, ∴抛物线的解析式是y=x2+x. ②∵点P、Q关于此抛物线的对称轴对称, ∴n1=n2. 又n1=m12+m1,n2=m22+m2. ∴m12+m1=m22+m2, 即(m1-m2)(m1+m2+1)=0. ∵P、Q是抛物上不同的点, ∴m1≠m2,即m1-m2≠0. ∴m1+m2+1=0 即m1+m2=-1. 点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与x轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.四、能力自测习题讲解。