第三章 导数的应用.doc

精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流第三章 导数的应用.....精品文档......【教学内容】§3.1 微分中值定理 洛必塔法则 【教学目的】通过学习，使学生了解罗尔定理、拉格朗日中值定理，使学生掌握洛必塔法则【教学重点】微分中值定理 洛必塔法则及其应用【教学难点】定理的应用 洛必达法则的应用【教学时数】4学时【教学过程】一、组织教学，引入新课本章将在导数概念的基础上建立微分学中一些基本定理——中值定理，利用这些定理使我们可以应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并应用这些知识解决一些实际问题如果当时,和都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在，通常称这类极限为待定型，并分别简记为型或型.下面我们将讨论一种求待定型极限的方法——洛必塔法则.二、讲授新课（一）罗尔定理1、定理：若函数满足下列条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）则在内至少存在一点使得2、定理的几何意义如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于轴的切线，且两端点处的纵坐标相等，那么其上至少有一条平行于轴的切线说明：（1）定理中的不唯一（2）定理中的 三个条件是充分但不必要的（2）若定理的三个条件不全满足的话，则定理的结论也可能成立，也可能不成立.【例1】验证函数在区间上满足罗尔定理的三个条件，并求出满足的点。

解：由于在内连续且可导，故它在上连续，在内可导，，即因此，满足罗尔定理的三个条件而，令得即时（二）拉格朗日中值定理1、定理 如果函数满足（1）在闭区间[a, b]上连续, （2）在开区间(a, b)内可导, 那么在(a, b)内至少有一点 (a

三）洛必塔法则定理；设函数和满足：(1) 当时和的极限为0；(2) 在点的某个去心邻域内,及都存在，且；(3) 存在(或为).则说明：(1)若时, 仍为型，且仍满足条件,则可继续使用(2)对于时的型及或时的型，也有相应的洛必塔法则.(3)适用于型、型、型、型、型、型及型(4)若不存在或使用几次后出现循环，则不可使用该法则（四）洛必塔法则应用1、型及型 【例1】 求解: 所求极限为型，由洛必达法则得【例2】 求解: 所求极限为型，由洛必达法则得=2+1=3注1：运用洛必达法则时，能简化的要进行简化，每次应用前要检查是否仍为待定型.【例3】 求解: 【例4】求 解: 所求极限为型，运用罗必达法则得 不存在，但不能因此认为原极限一定不存在.事实上注2：并不是型都能使用洛必达法则求极限【例5】 求 解: 所求极限为型，由洛必达法则得【例6】 求解: 所求极限为型，由洛必达法则得2、其它待定型（）它们总可以通过适当的变换为型或型，然后再运用洛必达法则.（1）型【例7】 求解： 所求极限为型,故可化为: 一般的,有（2） 型【例8】 求解：这是型，，这就是型，故可用洛必达法则.原式（3）型、型、型 利用可化为型,再化为或型【例9】求解: 这是型【例10】求解: 这是型.【教学内容】§3.2函数的单调性及其极值 §3.3函数最大值与最小值【教学目的】掌握函数的单调性与极值的判别方法，会求函数的最大最小值【教学重点】函数的单调性与极值的判别【教学难点】函数的极值的判别【教学时数】4学时【教学过程】一、组织教学，引入新课第一章已经给出函数在某个区间内单调性的定义，但直接用定义判别函数的单调性通常是比较困难的.从函数的图形可以看出，函数的单调增减性在几何上表现为曲线沿轴正方向的上升或下降. 如果函数在区间上单调增加，从图3-3-1中可以看出曲线各点的切线的倾斜角都是锐角，其斜率，即. 如果函数在区间上单调减少，从图3-3-1中可以看到曲线各点的切线的倾斜角都是钝角，其斜率，即.x0yxy=f(x)y=f(x)y0 (b) (a) 图3-3-1这就意味着函数单调性与其导数的正负有着密切的关系。

现介绍利用导数判定函数单调性的方法.（一）函数的单调性1、定理：设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，（1）如果在内，则在上单调增加.（2）如果在内，则在上单调减少.证明：（1）在中任取两点、，使，则在区间上，满足拉格朗日中值定理的条件.从而存在一点，使得又在内，则 所以，即. 由单调性的定义可知，函数在上单调增加. （2）同理可证.说明：（1）将定理中的闭区间换成其它区间（包括无限区间），定理的结论仍成立（2）使定理结论成立的区间，就是函数的单调区间.2、应用【例1】讨论函数的单调性.解： 函数的定义域为 由得， 点将定义域分成两个子区间，列表讨论如下： -0 + ↘ ↗ 所以函数在在上单调递减，在上单调递增例2】 确定函数的单调区间解： 函数的定义域为 为函数的间断点 令得： 用分定义成如下区间，列表讨论如下： -++++-↘↗↗↗↗↘所以函数的单调减少区间为，单调增加区间为：【例3】证明：当时，证明：令，则当时，，从而是严格递增的则，所以.【例4】证明当时，证明： 考虑函数，只要证明 即可因在连续，在可导，又，当时，所以，当时， 单调增加的，由可知，当时， 故.（二）函数的极值1、函数的极值定义：设函数在的某一邻域内有定义，对于该邻域内任一（），（1）若都有，则称是的极大值；为极大值点.（2）若都有，则称是的极小值，为极小值点.函数的极大值与极小值称为函数的极值.极大值点与极小值点统称为极值点.说明：（1）函数的极值是局部性概念，它不一定是整个定义域上最大值或最小值.（2）极大值不一定大于极小值.2、极值存在的必要条件（1）驻点：若，则称为函数的一个驻点（2）极值存在的必要条件定理：设函数在处可导，且在处取得极值，则.说明：（1）可导的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点.例如，驻点不是它的极值点.（2）使不存在的点可能是函数的极值点，也可能不是极值点.例如在处函数不可导，但是函数的极小值点，而在处函数也不可导，但不是函数的极值点.3、极值存在的充分条件（1）极值存在的第一充分条件定理：设函数在处连续，在的某个去心邻域内可导（可以不存在），如果 ①当时，，当时，，则是的极大值.②当时，，当时，，则是的极小值.③当及时，不变号，则不是的极值.求函数极值的一般方法：①求出函数的定义域；②求也函数的一阶导数为零的点和一阶导数不存在的点；③用驻点和不可导点分定义域成区间，再根据各区间的符号，确定极值点；④把极值点代入函数中算出极值。

例5】 求函数的极值解： 函数的定义域为且在内可导， ，令得： 用分定义域成如下区间，讨论如下：1+0-0+0+↗极大值↘极小值↗无极值↗ 则函数在时取得极大植，在时取得极小值【例6】求函数的极值解：函数的定义域为，又，则当时，；当时不存在. 用，分定义域成如下区间，讨论如下：+不存在-0+↗极小值↘极小值↗则函数在时取得极大值，在时取得极小值（2）极值存在的第二充分条件定理：设函数在存在二阶导数，且 ，那么 ①当时，是的一个极大值点；②当时，是的一个极小值点； ③ 如果，无法确定.说明：定理对导数不存在的点及二阶导数为零的点不适用 若驻点处的二阶导数易求且非零，可用此定理【例7】 求函数 的极值解： 函数的定义域为，令，得：又当时，，所以为极小值点；当时，，所以为极大值点；当时，，所以为极小值点故函数的极小值为，极大值为（三）函数的最大值和最小值在生产实际中，常常会遇到在一定条件下，如何使材料最省，效率最高，利润最大等问题，在数学上，这类问题就是求函数的最大值或最小值问题1、函数在闭区间上的最值函数在闭区间上的最值是指整个区间上的所有函数值当中的最值，是个全局性的概念，根据函数在闭区间连续的性质，它的最值要么在端点取得，要么为函数有区间内的极值点上取得。

求函数闭区间上最值的方法：(1) 求区间端点处的函数值；(2) 求在内驻点处的函数值；(3) 求在内不可导点处的函数值；(4) 比较上面三类点处的函数值，最小者为最小值，最大者为最大值.【例8】 求函数在区间上的最大值和最小值 解： 令，得驻点， 计算得： 比较上述各值的大小得，函数在区间上的最大值为，最小值为 【例9】求函数在区间上的最值 解： ，令，得驻点，且在点处导数不存在，计算驻点，不可导点及端点函数值得： 比较以上各值得函数在区间上的最大值为，最小值为2、实际问题中最值的求法在实际应用问题中，如果内部只有一个驻点，而从该实际本身又可以知道在内函数的最大值（或最小值）确实存在，那么就是所要求的最大值（或最小值），不需要再算进行比较了.。