[考研]2004—数一真题、标准答案及解析.pdf

20042004 年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（（1 1））曲线 y=lnx 上与直线x  y 1垂直的切线方程为__________ .（（2 2））已知f (e )  xexx，且 f(1)=0, 则 f(x)= =__________ .2（（3 3）） 设L为正向圆周x  y 2在第一象限中的部分， 则曲线积分2xdy  2ydx的值为__________.Ld2ydy 4x 2y  0(x  0)的通解为. __________ .（（4 4））欧拉方程xdxdx22210（（5 5））设矩阵A  120，矩阵 B 满足ABA* 2BA* E，其中A*为 A 的伴随矩阵，E 是单位001矩阵，则B __________ .（（6 6））设随机变量 X 服从参数为的指数分布，则P{X DX }= __________ .二、选择题二、选择题（本题共 8 小题，每小题4 分，满分32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（（7 7））把x  0时的无穷小量x0cost dt,tantdt,sint3dt，使排在后面的是前002x2x一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A),,.(B),,.(C),,.(D),,.[]（（8 8））设函数 f(x)连续，且f (0)  0,则存在 0，使得(A)f(x)在（0，)内单调增加.（B）f(x)在(,0)内单调减少.(C)对任意的x(0,)有 f(x)>f(0) .(D) 对任意的x(,0)有 f(x)>f(0) .[]（（9 9））设an1n为正项级数，下列结论中正确的是(A)若limnan=0，则级数nan1n收敛.（B） 若存在非零常数，使得limnan，则级数nan1n发散.(C)若级数an1n收敛，则limn an 0.n2(D)若级数an1n发散, 则存在非零常数，使得limnan.[]n（（1010））设 f(x)为连续函数，F(t) dy1ttyf (x)dx，则F(2)等于(A)2f(2).(B)f(2).(C)– f(2).(D)0.[]（（1111））设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵 Q 为010(A)100.(B)101010101.(C)001010100.(D)011011100.001[]（（1212））设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有(A)A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(B)A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.(C)A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D)A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.[]（（1313））设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，对给定的(0 1)，数u满足P{X  u} ，若P{X  x}，则x等于(A)u.(B)u212.(C)u1.(D)u1.[]221n（（1414））设随机变量X1, X2,, Xn(n 1)独立同分布，且其方差为 0.令Y Xi，则ni1(A)Cov(X1,Y) (C)D(X1Y) 2n.(B)Cov(X1,Y) 2.n  22n 12.(D)D(X1Y) .[]nn22（（1515）） （本题满分（本题满分 1212 分）分）设e  a  b  e, 证明ln b ln a 24(b  a).2e（（1616）） （本题满分（本题满分 1111分）分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k  6.010 ).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？6注注 kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.（（1717）） （本题满分（本题满分 1212 分）分）计算曲面积分I 2x dydz2y dzdx3(z223321)dxdy,其中是曲面z 1 x  y (z  0)的上侧.（（1818）） （本题满分（本题满分 1111分）分）设有方程x  nx 1 0，其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根xn，并证明当1时，级数nx收敛.nn1（（1919）） （本题满分（本题满分 1212 分）分）设 z=z(x,y)是由x 6xy 10y  2yz  z 18  0确定的函数，求z  z(x, y)的极值点和极值.（（2020）） （本题满分（本题满分 9 9 分）分）设有齐次线性方程组222 (1 a)x1 x2 xn 0,2x (2 a)x  2x  0,12nnx1 nx2(n a)xn 0,(n  2)试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.（（2121）） （本题满分（本题满分 9 9 分）分） 123设矩阵A  143的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化.1a5 (22)(22)（本题满分（本题满分 9 9 分）分）设 A,B 为随机事件，且P(A) 111,P(B A) ,P(AB) ，令432X 1, A发生,1, B发生,Y 0, A不发生;0,B不发生.求： （I）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（II）X 和 Y 的相关系数XY.（（2323）） （本题满分（本题满分 9 9 分）分）设总体 X 的分布函数为11,x 1,F(x,) xx 1,0,其中未知参数1, X1, X2,, Xn为来自总体 X 的简单随机样本，求：（I）的矩估计量；（II）的最大似然估计量.20042004 年数学一试题分析、详解和评注年数学一试题分析、详解和评注一、填空题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（（1 1））曲线 y=lnx 上与直线x  y 1垂直的切线方程为y  x 1.【分析分析】 本题为基础题型， 相当于已知切线的斜率为1， 由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标.【详解详解】 由y  (ln x) 11，得 x=1, 可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程为xy 0 1(x 1)， 即y  x 1.【评注评注】本题也可先设切点为(x0,ln x0)， 曲线 y=lnx 过此切点的导数为y由此可知所求切线方程为y 0 1(x 1)， 即y  x 1.本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. .（（2 2））已知f (e )  xexxxx011， 得x01，x0，且 f(1)=0, 则 f(x)= =1(ln x)2.2【分析分析】 先求出f (x)的表达式，再积分即可.【详解详解】 令e  t，则x  lnt，于是有xlntln x， 即f (x) .txln x1积分得f (x) dx (lnx)2C. 利用初始条件f(1)=0, 得 C=0，故所求函数为f(x)= =x2f (t) 1(ln x)2.2【评注评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分.（（3 3））设L为正向圆周x  y 2在第一象限中的部分，则曲线积分22Lxdy  2ydx的值为3.2【分析分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.【详解详解】正向圆周x  y 2在第一象限中的部分，可表示为22x 2cos,y 2sin,20:0 2.于是xdy 2ydx L[ 2cos2cos 2 2sin2sin]d=202sin2d3.2【评注评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.c1c2d2ydy 4x 2y  0(x  0)（（4 4））欧拉方程x的通解为y 2.2dxxxdx2【分析分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换x  e化为常系数线性齐次微分方程即可.【详解详解】令x  e，则ttdydydtdy1 dy， etdxdtdxdtx dtd2y1 dy1 d2ydt1d2ydy 2[]，dx2xdtx dt2dxx2dt2dt代入原方程，整理得d2ydy3 2y  0，2dtdt解此方程，得通解为y  c1et c2e2tc1c2.xx2t【评注评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令x  e，则欧拉方程d2ydybx cy  f (x)，ax2dxdx2d2ydydy]b cy  f (et).可化为a[2dtdtdt210***（（5 5））设矩阵A  120，矩阵 B 满足ABA  2BA  E，其中A为 A 的伴随矩阵，E 是单位001矩阵，则B 1.9*【分析分析】 可先用公式A A  AE进行化简【详解详解】已知等式两边同时右乘A，得ABA*A  2BA*A A，而A  3，于是有3AB  6B  A，即(3A6E)B  A，再两边取行列式，有3A6E B  A  3，1.9而3A6E  27，故所求行列式为B 【评注评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵A*，一般均应先利用公式A*A  AA* AE进行化简.（（6 6））设随机变量 X 服从参数为的指数分布，则P{X DX }=1.e【分析分析】 已知连续型随机变量X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可.【详解详解】由题设，知DX 12，于是1xP{X DX }=P{X }1edx=ex11.e【评注评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.二、选择题二、选择题（本题共 8 小题，每小题4 分，满分32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（（7 7））把x  0时的无穷小量x0cost dt,tantdt,sint3dt，使排在后面的是前002x2x一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A),,.(B),,.(C),,.(D),,.[B]【分析分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.【详解详解】lim limx0x00x2xtantdtcost2dtx3 limx0tan x2x 0，可排除(C),(D)选项，2cosxsin x 320又lim limx0x00x2sint dt10tantdt limx02 x2xtan x=1xlim2 ，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).4x0xn【评注评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将,,分别与x进行比较，再确定相互的高低次序.（（8 8））设函数 f(x)连续，且f (0)  0,则存在 0，使得(A)f(x)在（0，)内单调增加.（B）f(x)在(,0)内单调减少.(C)对 任 意 的x(0,)有f(x)>f(0).(D)对 任 意 的x(,0)有f(x)>f(0).[C]【分析分析】函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除 (A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.【详解详解】由导数的定义，知f (0)  limx0f (x) f (0) 0，x根据保号性，知存在 0，当x(,0)(0,)时，有f (x) f (0) 0x即当x(,0)时，f(x)f(0). 故应选(C).【评注评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论.（（9 9））设an1n为正项级数，下列结论中正确的是(A)若limnan=0，则级数nan1n收敛.（B） 若存在非零常数，使得limnan，则级数nan1n发散.(C)若级数an1n收敛，则limn an 0.n2(E)若级数an1n发散, 则存在非零常数，使得limnan.[B]n【分析分析】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.11【详解详解】取an，则limnan=0，但an发散，排除(A)，(D)；nnlnnn1n1nlnn又取an1n n，则级数an1n收敛，但limn an ，排除(C), 故应选(B).n2【评注评注】 本题也可用比较判别法的极限形式，an1 0，而级数发散，因此级数an也发散，故应选(B).limnan limnn1n1nn1n（（1010））设 f(x)为连续函数，F(t) dy1ttyf (x)dx，则F(2)等于(A)2f(2).(B)f(2).(C)– f(2).(D)0.[B]【分析分析】 先求导，再代入t=2 求F(2)即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量 t.【详解详解】 交换积分次序，得F(t) t1dyf (x)dx=1[1f (x)dy]dx 1f (x)(x 1)dxyttxt于是，F(t)  f (t)(t 1)，从而有F(2)  f (2)，故应选(B).【评注评注】 在应用变限的积分对变量x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量x:[b(x)a(x)f (t)dt]  f[b(x)]b(x) f[a(x)]a(x)否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上.（（1111））设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵 Q 为010(A)100.(B)101010101.(C)001010100.(D)011011100.001[D]【分析分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积.【详解详解】由题设，有010100A 100  B，B 011  C，001001010100于是，A 100011 001001011 C.A100001可见，应选(D).【评注评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系.（（1212））设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有(D)A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(E)A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.(F)A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D)A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.[A]【分析分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 A,B 是否行（或列）满秩或 Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解详解 1 1】 设 A 为mn矩阵，B 为n s矩阵，则由 AB=O 知，r(A)  r(B)  n.又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)>0,r(B)>0. 可见 r(A)e 时，(t)  0,所以(t)单调减少，从而() (e )，即lne2222，eeln故ln b ln a 224(b  a).2e2【证法证法 2 2】设(x)  ln x 4x，则e2ln x42，xe1ln x(x)  2,2x(x)  2所以当 x>e 时，(x)  0,故(x)单调减少，从而当e  x  e时，2(x) (e2) 244 0，e2e2即当e  x  e时，(x)单调增加.因此当e  x  e时，(b) (a)，2442b  ln a a，22ee422故ln b ln a 2(b  a).e即ln b2【评注评注】 本题也可设辅助函数为(x)  ln x ln a 224(x  a),e  a  x  e2或2e(x)  ln2b ln2x 42，再用单调性进行证明即可.(b  x),e  x  b  e2e（（1616）） （本题满分（本题满分 1111分）分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k  6.010 ).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注注 kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.【详解详解 1 1】由题设，飞机的质量 m=9000kg，着陆时的水平速度v0 700km/h. 从飞机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为 v(t).根据牛顿第二定律，得6dv kv.dtdvdv dxdv又 v，dtdx dtdxm由以上两式得dx  积分得x(t)  mdv，kmmv C.由于v(0)  v0,x(0)  0，故得C v0，从而kkmx(t) (v0v(t)).k当v(t)  0时，x(t) mv090007001.05(km).k6.0106所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【详解详解 2 2】根据牛顿第二定律，得m所以dv kv,dtdvk dt.vmktm两端积分得通解v  Ce，代入初始条件vt0 v0解得C  v0，故v(t)  v0ektm.k飞机滑行的最长距离为x 0mv0mtv(t)dt  ekk0kmv01.05(km).kktttkvtdx v0em， 知x(t) v0emdt  0(em1)， 故 最 长 距 离 为 当t 时 ，或 由0dtmx(t) kv01.05(km).md2xdx【详解详解 3 3】根据牛顿第二定律，得m2 k,dtdtd2xk dx 0，dt2m dt其特征方程为2kk 0，解之得1 0,2 ，mm.故x  C1 C2ektmdx 0,v由xt0t0dtkC2mt et0mkt0 v0，tmv0mv0(1em).,于是x(t) 得C1 C2kkk当t  时，x(t) mv01.05(km).k所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注评注】 本题求飞机滑行的最长距离， 可理解为t  或v(t)  0的极限值， 这种条件应引起注意.（（1717）） （本题满分（本题满分 1212 分）分）计算曲面积分I 2x dydz2y dzdx3(z223321)dxdy,其中是曲面z 1 x  y (z  0)的上侧.【分析分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解详解】取1为 xoy 平面上被圆x  y1所围部分的下侧， 记为由与1围成的空间闭区域，22则I 12x dydz  2y dzdx 3(z3321)dxdy3322x dydz  2y dzdx 3(z 1)dxdy.1由高斯公式知1332222x dydz  2y dzdx 3(z 1)dxdy 6(x  y  z)dxdydz211r2=60ddr00(z  r2)rdz32=12[ r(1r )  r (1r )]dr  2.011222而2x dydz  2y dzdx 3(z13321)dxdy  x2y213dxdy  3，故I  23 .【评注评注】 本题选择1时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧（或内侧） ，再就是在1上直接投影积分时，应注意符号(1取下侧，与 z 轴正向相反，所以取负号).（（1818）） （本题满分（本题满分 1111分）分）设有方程x  nx 1 0，其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根xn，并证明当1时，级数nx收敛.nn1【分析分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定.【证证】记fn(x)  xn nx 1.由fn(0)  1 0，fn(1)  n  0，及连续函数的介值定理知，n方程x  nx 1 0存在正实数根xn(0,1).n1n当 x>0 时，fn(x)  nx n  0，可见fn(x)在[0,)上单调增加, 故方程x  nx 1 0存在惟一正实数根xn.n由x  nx 1 0与xn 0知n1 xn11，故当1时，0  xn ( ).0  xnnnn1而正项级数收敛，所以当1时，级数xn收敛.n1nn1【评注评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证.（（1919）） （本题满分（本题满分 1212 分）分）设 z=z(x,y)是由x 6xy 10y  2yz  z 18  0确定的函数，求z  z(x, y)的极值点和极值.【分析分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解详解】因为x 6xy 10y  2yz  z 18  0，所以2x 6y  2y222222zz 2z 0，xxzz 2z 0.yy6x  20y  2z  2yz 0,x令得z 0yx 3y  0,3x 10y  z  0,x  3y,故z  y.将上式代入x 6xy 10y  2yz  z 18  0，可得222x  9,y  3,或z  3x  9,y  3,z  3.2zz22z由于2 2y2 2()  2z2 0，xxxz2zzz2z 2y 2 2z 0,6 2xxyy xxyzz2zz22z20222y22() 2z2 0，yyyyy2z所以A x2故AC  B 22z1，B (9,3,3)xy612z ，C 2(9,3,3)2y(9,3,3)5，311 0，又A  0，从而点(9,3)是 z(x,y)的极小值点，极小值为 z(9,3)=3.3662z1 ，B (9,3,3)xy612z，C 2(9,3,3)2y类似地，由2zA x25 ，(9,3,3)3可知AC  B 211 0，又A   0，从而点(-9, -3)是 z(x,y)的极大值点，极大值为366z(-9, -3)= -3.【评注评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意 x,y,z 满足原方程.（（2020）） （本题满分（本题满分 9 9 分）分）设有齐次线性方程组 (1 a)x1 x2 xn 0,2x (2 a)x  2x  0,12nnx1 nx2(n a)xn 0,(n  2)试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.【分析分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组， 可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于 n，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式， 根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进行讨论即可.【详解详解 1 1】 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111 1 a1 a111 2 2aa002 a22 B.A        nnnn  a na00a当 a=0 时， r(A)=1