基本不等式1 基本不等式若a>0 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).① a+b2叫做正数a , b的算术平均数，ab叫做正数a , b的几何平均数.② 基本不等式的几何证明(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.一正指的是a>0 , b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.2 基本不等式及其变形21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 (当且仅当a=b时等号成立)(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.① a+b≥2ab，积定求和；② ab≤a+b22，和定求积：③ a2+b2≥a+b22 (联系了a+b与平方和a2+b2)④ ab≤a2+b22 (联系了ab与平方和a2+b2)3 对勾函数① 概念 形如y=x+ax(a>0)的函数.② 图像 ③ 性质 函数图像关于原点对称，在第一象限中，当0a时，函数递增.④ 与基本不等式的关系由图很明显得知当x>0时，x=a时取到最小值ymin=2a，其与基本不等式x+ax≥2x∙ax=2a (x=a时取到最小值)是一致的.【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解情况1 一正：a>0 , b>0求函数y=x+1x(x<0)的最值.【误解】x+1x≥2x∙1x=2，故最小值是2.【误解分析】误解中套用基本不等式，a=x , b=1x，当忽略了a>0,b>0的前提条件！【正解】∵x<0 ∴-x>0 ,-1x>0，∴-x+-1x≥2-x∙-1x=2 (当x=-1取到等号)∴x+1x=--x-1x≤-2，故函数y=x+1x(x<0)的最大值为-2，没有最小值.情况2 二定：ab定值求函数y=x+1x-1(x>1)的最值.【误解】y=x+1x-1≥2x∙1x-1【误解分析】套用基本不等式a=x ,b=1x-1，满足a、b均为正数，但是最后求不出最值，因为ab=x∙1x-1不是一定值.【正解】y=x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2x-1∙1x-1+1=3.(当x=2时取到等号)(通过凑项得到定值“x-1∙1x-1=1”)故函数y=x+1x-1(x>1)的最小值为2，没有最大值.情况3 三等：取到等号求函数y=x2+5x2+4的最值.【误解】y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4≥2x2+4∙1x2+4=2，即最小值为2.【误解分析】在误解中把a=x2+4 ,b=1x2+4，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若a=b，则x2+4=1x2+4⇒x2+4=1⇒x2=-3显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明x2+4+1x2+4>2，那它有最小值么？【正解】y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4，令t=x2+4，则t≥2，因为对勾函数y=t+1t在[2 , +∞)上单调递增，当t=2时，取得最小值52.故y=x2+5x2+4的最小值为52，无最大值.【题型二】基本不等式运用的常见方法方法1 直接法【典题1】设x>0、y>0、z>0，则三个数1x+4y、1y+4z、1z+4x ( )A．都大于4 B．至少有一个大于4 C．至少有一个不小于4 D．至少有一个不大于4【解析】假设三个数1x+4y<4且1y+4z<4且1z+4x<4，相加得：1x+4x+1y+4y+1z+4z<12，由基本不等式得：1x+4x≥4；1y+4y≥4；1z+4z≥4；(直接使用基本不等式)相加得：1x+4x+1y+4y+1z+4z≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数1x+4y、1y+4z、1z+4x至少有一个不小于4．故选：C．【点拨】本题利用了反证法求解，当遇到“至少”“至多”等的字眼可考虑反证法：先假设，再推导得到矛盾从而证明假设不成立.【典题2】设x>0,y>0，下列不等式中等号能成立的有( )① (x+1x)(y+1y)≥4； ② (x+y)(1x+1y)≥4；③ x2+9x2+5≥4； ④ x+y+2xy≥4；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】∵x>0，y>0，∴x+1x≥2,y+1y≥2，当x=y=1时取到"="，所以①成立，x+y1x+1y=2+xy+yx≥4，当x=y时取到"="，显然②成立，x2+5+4x2+5=x2+5+4x2+5，运用基本不等式不能取等号，此时x2+5=4，显然不成立，x+y+2xy≥2xy+2xy≥4，当x=y=1时成立，故正确的有三个，故选：C．【点拨】① 直接使用基本不等式求解最值时，一是要做到“一正二定三等”，二是要选择适当的式子充当"a ,b".② 连等问题本题中④ x+y+2xy≥2xy+2xy≥4，当x=y=1时成立，这里连续用到基本不等式，这要注意连等问题，即要确定两个等号是否能同时取到，x+y≥2xy是当x=y时取到等号，2xy+2xy≥4是当xy=1时取到等号，即要同时满足方程组x=yxy=1 (*)才行，而方程组(*)有解x=y=1，即x+y+2xy≥4是成立的，当x=y=1取到等号.再看一例子：设x,y∈R*,x+y=1，求(x+1x)(y+1y)的最小值.误解1：∵x+1x≥2 , y+1y≥2，∴x+1xy+1y≥4. 误解2：∵x+1xy+1y=xy+1xy+xy+yx≥2xy∙1xy+2xy∙yx=4. 以上两种解法问题在哪里呢？【典题3】已知实数a，b满足ab>0，则aa+b-aa+2b的最大值为 .【解析】aa+b-aa+2b=aa+2b-a-ba+ba+2b=aba2+3ab+2b2=1ab+2ba+3 (分子、分母均为二次项同除ab)∵ab>0 ∴ab+2ba≥22，当且仅当ab=2ba⇒a=2b时取等号，∴1ab+2ba+3≤122+3=3-22，故最大值为3-22．【点拨】要用基本不等式的直接法求解需要寻找“乘积为定值的两个式子”，比如x与1x，ab与2ba，2xy与2xy之类的.方法2 凑项法【典题1】若x>1，则函数y=4x+1x-1的最小值为 . 【解析】y=4x+1x-1=4x-1+1x-1+4≥24+4=8，当且仅当x=32时取等号．∴函数y=4x+1x-1的最小值为8．【点拨】把4x凑项成4x-1，目的是使得4x-1与1x-1的乘积为定值.【典题2】若x>1，则2x+9x+1+1x-1的最小值是 ．分析：2x、9x+1、1x-1三项都不能乘积为定值，而与9x+1、1x-1乘积为定值的分别是x+1与x-1，而它们的和刚好是2x，故想到令2x=(x+1)+x-1，完成凑项.【解析】2x+9x+1+1x-1=x+1+9x+1+x-1+1x-1≥2(x+1)⋅9(x+1)+2(x-1)⋅(1x-1)=8 当且仅当x+1=3，x－1=1，即x=2时取等号，(用了两次基本不等式，要注意是否能同时取到等号)故2x+9x+1+1x-1的最小值是8.【典题3】设a>b>0，则ab+4b2+1b(a-b)的最小值是 ． 【解析】∵a>b>0 ∴a-b>0；∴ab+4b2+1ba-b =ab-b2+1b(a-b)+b2+4b2 (这里巧妙地"-b2+b2"完成凑项)=ba-b+1ba-b+[b2+4b2]≥2b(a-b)×1b(a-b)+2b2×4b2=2+4=6．当且即当b(a-b)=1b(a-b)且b2=4b2，即a=322, b=2 时取等号，∴ab+4b2+1b(a-b)的最小值为6．【点拨】凑项的目的是使得“ab为定值”，它需要一定的技巧！本题观察到4b2、1b(a-b)的分母之和b2+ba-b=ab，刚好是所求式子的第三项ab.方法3 凑系数【典题1】若00且1-2a>0，则a1-2a=2a1-2a2≤122a+1-2a22=18，当且仅当2a=1-2a ,即a=14时等号成立，即a(1-2a)的最大值为18.【点拨】基本不等式的变形ab≤a+b22，和定求积(若a+b为定值，可求ab的最值).本题中a+1-2a不是定值，故通过凑系数，使得2a+1-2a=1为定值从而求出最值.本题仅是二次函数最值问题，这里重在体会下“和定求积”.【典题2】已知a , b为正数，4a2+b2=7，则a1+b2的最大值为 ． 【解析】因为4a2+b2=7，则a1+b2=122a1+b2≤12×(2a)2+1+b222=12×4a2+1+b22=2，(这里用到了不等式ab≤a2+b22，遇到二次根式可利用平方去掉根号)当且仅当4a2=1+b2时，取得最大值．【点拨】① 不等式ab≤a2+b22把ab，a2+b2两者联系在一起，知和a2+b2为定值，可求积ab的最值.② 平时做题要多注意常见二元关系：倒数和、积、和、平方和，能够灵活使用以下不等式能够达到快速解题的效果.21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 (当且仅当a=b时等号成立)方法4 巧“1”法【典题1】已知x>0，y>0，x+y=2，则x+y的最大值是 ．【解析】∵x+1≥2x ,y+1≥2y (当x=y=1时取到等号) (加“1” 巧妙的把x与x，y与y联系起来)相加得x+y+2≥2x+2y即2x+y≤4⇒x+y≤2，故最大值为2.【典题2】已知x>0，y>0，且2x+1y=2，则x+2y的最小值是 ．【解析】∵2x+1y=2 ∴12 2x+1y=1x+2y=(x+2y)∙1=12(x+2y)(2x+1y)=12(2+xy+4yx+2)≥12(4+2xy⋅4yx)=4，当且仅当xy=4yx时，即x=2,y=1时等号成立，故 x+2y的最小值为4.【点拨】本题的方法很多，比如消元法、换元法等，但属巧"1"法最简洁了！【典题3】设a>2，b>0，若a+b=3，则1a-2+1b的最小值为 ．【解析】若a+b=3，则(a-2)+b=1，(凑项再利用巧"1"法)则1a-2+1b=(1a-2+1b)×[(a－2)+b]=2+(ba-2+a-2b)，又由a>2 , b>0，则ba-2+a-2b≥2ba-2∙a-2b=2，当a=52 , b=12时取到等号，则1a-2+1b=2+(ba-2+a-2b)≥4，即1a-2+1b的最小值为4.方法5 换元法【典题1】若x>1，则y=x-1x2+x-1的最大值为 .【解析】令t=x-1，则x=t+1，t>0，原式=t(t+1)2+(t+1)-1=tt2+3t+1=1t+1t+3≤12t⋅1t+3=15，当且仅当t=1即x=2时等号成立.故y=x-1x2+x-1的最大值为15.【点拨】本题是属于求函数y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2的最值问题，它常用到基本不等式或对勾函数，换元法是常见手段.【典题1】若a,b∈R*，a+b=1，则a+12+b+12的最大值 .【解析】设s=a+12 ,t=b+12，(遇到二次。
