关于弹簧振子振动频率的探讨.doc

关于弹簧振子振动频率的探讨吴三丰, 学号 pb06203218 .如图(1),一个弹簧联上一个振子 ,质量为 m,弹簧劲度系数为 k,显然有: k m𝑚𝑥=‒𝑘𝑥于是 𝜔= 𝑘𝑚.图（1）如图(2) ,振子 m 受控于劲度系数为 k1,k2 的两弹簧作简谐振动,自静止时位置 o 起振, 求其振动方程.当 m 位移为 x 时,可得方程:)x k1 m k2𝑚𝑥=‒(𝑘1+𝑘2该方程为简谐振动方程,解为:图(2)𝑥=𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘1+𝑘2𝑚 𝑡基于此,增加弹簧的数量以及振子数目可以使问题变得复杂, 然而好在这类振动方程是线性的,增加之后只不过方程个数增多, 解出该线性方程组即可.如图(3),弹簧原长时两振子静止于 o1,o2 两点 ,现弹簧受迫变形,随后撤去外力,求其振动的频率 .设 m1 自 o1 点位移为 x1,m2 自 o2 点位移为 x2,则由牛顿第二定律可得: 𝑚1𝑥1=‒𝑘(𝑥2‒𝑥1)𝑚2𝑥2=𝑘(𝑥2‒𝑥1)即: =𝑑2𝑑𝑡2(𝑥1𝑥2)(𝑘𝑚1‒𝑘𝑚1‒𝑘𝑚2𝑘𝑚2)(𝑥1𝑥2)对于图(3),再增加一个振子 ,如图(4),这可得到如下运动方程:𝑚𝑥1=𝑘(𝑥2‒𝑥1)m1 k m2𝑚𝑥2=‒𝑘(𝑥2‒𝑥1)+𝑘(𝑥3‒𝑥2)𝑚𝑥3=‒𝑘(𝑥3‒𝑥2)该方程系数矩阵为: o1 o2…………( *) 图(3)𝑘𝑚(‒1 1 01 ‒2 10 1 ‒1)可以发现,所列方程皆是二阶线性微分方程组, 解此类微分方程组，可由线性代数方法求得, 现给出一般的情况.𝑑2𝑑𝑡2(𝑥1⋮𝑥𝑛)=(𝑎11⋯𝑎1𝑛⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1⋯𝑎𝑛𝑛)(𝑥1⋮𝑥𝑛)=𝑝-1(𝑐1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯𝑐𝑛)𝑝(𝑥1⋮𝑥𝑛)(以上假定系数矩阵可以相似对角化, 并且 c1 到 c2 为负的,这样保证振动为简谐振动) m k m k m令: (𝑥1'⋮𝑥2')=𝑝(𝑥1⋮𝑥2) 则 图(4)𝑑2𝑑𝑡2(𝑥1'⋮𝑥2')=(𝑐1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯𝑐𝑛)(𝑥1'⋮𝑥2')显然,这个方程非常易解, 可知:𝑥𝑖'=𝐴𝑐𝑜𝑠(‒𝑐𝑖𝑡+𝜑)于是,由 得到:(𝑥1'⋮𝑥2')=𝑝(𝑥1⋮𝑥2)xi 是 x1’,. . .,xn’的线性组合,那么 ,…, 就是原振子振动的特‒c1 ‒cn征频率,各振子的振动为这些在特征频率下的简谐振动的组合. 现解决(*)式留下的问题.的特征值为 0, , .𝑘𝑚(‒1 1 01 ‒2 10 1 ‒1) ‒𝑘𝑚‒3𝑘𝑚于是,当图 (4)中系统受外力并随后消失后,系统的振动频率只能为 0,, 三种,其中 0 意义是明显的:系统平动或静止.𝑘𝑚3𝑘𝑚如图(5),6 个质量均为 m 的小球,串在光滑圆环上, 彼此间用劲度系数均为 k 的 6 个弹簧相连,整个系统在水平面内.当各小球处在平衡时,弹簧均为原长试求特征频率.m 6 k1 5243图(5)把小球依次编号,设各小球偏离平衡位置位移为 , , . . . ,统一𝑢1𝑢2 𝑢6表为 .则各球动力方程为:𝑢𝑛𝑚𝑢𝑛=𝑘(𝑢𝑛+1‒𝑢𝑛)‒𝑘(𝑢𝑛‒𝑢𝑛‒1)=𝑘(𝑢𝑛‒1+𝑢𝑛+1‒2𝑢𝑛)于是,其系数矩阵为:‒2 1 01 ‒2 10 1 ‒2 0 0 10 0 01 0 00 0 10 0 01 0 0 ‒2 1 01 ‒2 10 1 ‒2其特征值为,-4,0,-3,-3,-1,-1.这就说特征频率为 ,0 , , .4𝑘𝑚 3𝑘𝑚 𝑘𝑚总之,运动方程系数阵特征值是与振动特征频率一致.。