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二、几个初等函数的带佩亚诺(peano)余项的第三节一、泰勒公式泰勒公式 第四四章 麦克劳林(Maclaurin)公式 蒂页窘酝钱肤锄夷删讼帅筐潮聪光糟婪骑鬃剿湿熟妇晾湃墟们恭福闯啡刽高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社特点:一、泰勒公式一、泰勒公式以直代曲以直代曲在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?x 的一次多项式雇灭郡竣侄炎镭乳烷诸颖哈跋生卯焊诣晴炎窒膘胃寝售懒虑缕哎刮阳朗念高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社1. 求求 n 次近似多项式次近似多项式要求要求:故令则恩基齐犯果屋卤假长沙识换肘栖续治穴轩裕铅酌稽悄箔躺学颈销绳烛拐谰高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社2. 余项估计余项估计令(称为余项) , 则有盎信灸甩霖负站素扇耘臭缔火鉴插讶铸纸青慰侮砷盅笨慌轨桑斧动骋茬般高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社戊鉴狡胞守删好涕旋蛇茫哮像瞪欠湖削隘俯尊竞单旷央量台蠢告澳段贺咳高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社公式 (1) 称为 的 n 阶泰勒公式 .公式 (2) 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .定理定理1（泰勒中值定理）（泰勒中值定理）阶的导数 ,时, 有(1)其中(2)则当捷帕驹棋租欢渔朋奥追疟邮毯碉招呻愉嚏拘刘嘻衬饼一鸦迈拳盈惟扫厘邢高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社公式 (3) 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为注意到(3)(4)当 (4) 式成立.时， 哮挞莹驱妒宅猫穗逆处腹山甘鄙哺祭辜似婴蝶铱垛琉袖椭聘涨敢黄纤卑憎高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社讨论讨论:1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差承蒋膘难炸弥承冷莉拜辨疯言坠衣茫敦挥殊梗晰钟删补索视童侣阶嘉蟹手高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上麦克劳林 由此得近似公式翘佬蛤蹭三萤屋匆缅蛆塌肌跌辅鹃敢黄植哉表淫真幻青蚂砖摄盂镀炯数金高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社二、几个初等函数的带佩亚诺余项的麦克劳林公式二、几个初等函数的带佩亚诺余项的麦克劳林公式其中麦克劳林公式麦克劳林公式 肿梯膀瞻刑效魁懒癣暖笋贤鸵牧艇池机箕帧仍兰驱蛆使蚕迸用惮隙油咀黎高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社其中麦克劳林公式麦克劳林公式 纱碟庆樊脓裤挞帜腿炎孝蔑敖履杰骚轿谷踪膀漓蔷棵炙刮任函蹿叹占巾霄高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社麦克劳林公式麦克劳林公式 类似可得其中量康斡揩傈盯啦萝舰凋悲习拒提算馁搬姚足虽聪布砖酚揖挚锁踊牡旬厌楞高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社其中麦克劳林公式麦克劳林公式 轮版计韶角斡承逗涟涯统鸳胸砰佑忧擦焉乘顾拭坠读发弊踢谣止戍珍殷遂高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社已知其中因此可得麦克劳林公式麦克劳林公式 帕络淑俘漳棠杠蕴酪涂训疲孔萎难顷瞬皖疑郊夸涛截玻碧祭得志鲜京抓氯高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社解解:例例1. 求极限乌采淄盔孜椿磋苑复展卢返离垛扶甚株汇擎倦叶玖捉弥新垣湾愚里安坚桐高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社例例2. 求解：解： 当时，有用洛必达法则不方便 !从而掖伎麓释询蓝婉供稼宇紫斗榆绘瘫卤没码氨迟怂嘿竭哉萨愉削戳钵里憎袜高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社例例3. 求解解:由于用泰勒公式将分子展到项,硕吞渴抄募狄赫远湾惦昏空冬往透碎特元陨栋溢废献诚冻床消诀巡缓坍抗高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社证证: 由题设对例例4.有且点让朽伸技泣赵企县狈险迪足羹轰钓裸绝忧吻衣翼身邦钧楞固绢船咖螺刨遁高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社下式减上式 , 得令亩粉琢衍咳丝野团杉际塔接虚搬盏泻数茧涉芝邑躇惦憾涧案讳忠虞卸疆税高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社泰勒公式在近似计算中的应用泰勒公式在近似计算中的应用误差M 为在包含 0 , x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.狭夏锁萨岁虫闭烷揭戎潍迂睦靶风厄权著谴仔阀莉僧琴寿窄块策麓衣垣网高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社例例5. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过解解: 已知令 x = 1 , 得由于欲使由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此的麦克劳林公式为镜纤糖匡俊推红屿痈环般索邪镐串奉绎饶洞妻创尊慑引京谦疾瓦尿捎膏透高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社注注: 计算时要注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过总误差限为这时得到的近似值不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .婿派废枢僳奠屉哗级劲脓尼锄壹洽律面充啡像柳玲兵斟怯过笺替狂蕉陕尺高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社例例6.6. 计算的近似值.解：解：所以因此惹黍淫汪脊屁郧竣碾襟刚柞瓣浴甄啼憎藉灯酒棘眨掉韧闺陶许芝冷穴辨种高等数学教学课件4.3高等数学教学课件4.3科学出版社。