高中数学 第一章 三角函数 1.3.1 三角函数的周期性课件 苏教版必修4.ppt

第1章　 §1.3　三角函数的图象和性质1.3.1　三角函数的周期性1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　周期函数的定义答案问题导学￿￿￿￿￿　　　　新知探究￿￿点点落实思考　单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由.答　由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象.每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同.即有sin(2π＋x)＝sin x，cos(2π＋x)＝cos x.故正弦函数和余弦函数也具有周期性.1.周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个 T，使得定义域内的每一个x值 ，都满足 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.2.最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个 ，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.答案非零的常数f(x＋ T)＝f(x)最小的正数知识点二　正弦函数、余弦函数的周期答案思考　6π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？答　是的.由sin(6π＋x)＝sin x恒成立，根据周期函数的定义，可知6π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期. 返回类型一　求三角函数的周期题型探究￿￿￿￿￿　　　　重点难点￿￿个个击破例1　求下列函数的周期：解析答案解析答案(3)y＝|sin x|.解　由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π.验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|，∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的周期是π.反思与感悟解析答案4πω＝±2.±2类型二　函数周期性的判断例2　证明：定义在R上的奇函数f(x)的图象有一条对称轴x＝a(a≠0)，则f(x)是周期函数.证明　∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x).①∵f(x)的图象有一条对称轴x＝a(a≠0)，∴f(a＋x)＝f(a－x).∴f(x)＝f(2a－x).②由①②可知：f(2a－x)＝－f(－x)，即f(2a＋x)＝－f(x).∴f(4a＋x)＝f[2a＋(2a＋x)]＝－f(2a＋x)＝f(x)，∴f(x)为周期函数，4a为它的一个周期.解析答案跟踪训练2　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称.证明f(x)是周期函数.证明　由已知f(－x)＝f(x)，f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x).故f(x)是以4为周期的周期函数.解析答案类型三　函数周期性的综合应用例3　设函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2.(1)求f(3)；解　∵函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2，∴f(3)＝f(3－2)＝f(1)＝(1－1)2＝0.解析答案(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式.反思与感悟解　∵f(x)的周期为2，∴当x∈[2,4]时有f(x)＝f(x－2)，又∵x－2∈[0,2]，∴f(x－2)＝(x－2－1)2＝(x－3)2，∴f(x)＝(x－3)2.即x∈[2,4]时，f(x)＝(x－3)2.解析答案返回解析答案1231.下列说法中，正确的是 .①因为sin(π－x)＝sin x，所以π是函数y＝sin x的一个周期；②因为tan(2π＋x)＝tan x，所以2π是函数y＝tan x的最小正周期；达标检测￿￿￿￿￿　　　　4解析答案解析　根据周期函数的定义容易知道①③均是错误的，同时④是正确的；对于②，我们只能得出2π是函数y＝tan x的一个周期，但不是最小正周期.④ 81234解析答案3.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且当2