中考数学复习方案 第四单元 三角形课件 苏科版.ppt

第17讲　几何初步及平行线、相交线 第18讲　三角形和多边形第19讲　全等三角形第20讲　等腰三角形第21讲　直角三角形与勾股定理 第22讲　相似三角形及其应用第23讲　锐角三角函数第24讲　解直角三角形及其应用第第17讲讲┃┃　几何初步及平行线、相交线　几何初步及平行线、相交线 第第17讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 三种基本图形三种基本图形————直线、射线、线段直线、射线、线段 直线公理直线公理经过两点有且只有经过两点有且只有________________条直线条直线线段公理线段公理两点之间，两点之间，________________最短最短两点间的两点间的距离距离连接两点间的线段的连接两点间的线段的________________，叫做，叫做这两点间的距离这两点间的距离一一 线段线段 长度长度 第第17讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 角角角的角的概念概念定义定义1 1有公共端点的两条有公共端点的两条________组成的图形叫做角．这个公组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的共端点叫做角的________，这两条射线叫做角的，这两条射线叫做角的________定义定义2 2一条射线绕着它的一条射线绕着它的________从一个位置旋转到另一个位从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角置所成的图形叫做角角的分类角的分类角按照大小可以分为平角、周角、角按照大小可以分为平角、周角、________、、________、钝、钝角角角的大小比角的大小比较较(1)(1)叠合法　叠合法　(2)(2)度量法度量法角平角平分线分线定义定义从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线性质性质角平分线上的点到这个角两边的距离相等角平分线上的点到这个角两边的距离相等射线射线 顶点顶点 两边两边 端点端点 直角直角 锐角锐角 考点考点3 3 几何计数几何计数 第第17讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦1 1数直线的数直线的条数条数过任意三个不在同一直线上的过任意三个不在同一直线上的n n个点个点中的两个点可以画中的两个点可以画________________条条2 2数线段的数线段的条数条数线段上共有线段上共有n n个点个点( (包括两个端点包括两个端点) )时，时，共有线段共有线段________________条条3 3数角的数角的个数个数从一点出发的从一点出发的n n条直线可组成条直线可组成____________个角个角4 4数交点的数交点的个数个数n n条直线最多有条直线最多有________________个交点个交点5 5数直线分数直线分平面的份数平面的份数平面内有平面内有n n条直线，最多可以把平面条直线，最多可以把平面分成分成________________个部分个部分考点考点4 4 互为余角、互为补角互为余角、互为补角 第第17讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦互为余互为余角角定义定义如果两个角的和等于如果两个角的和等于9090°°，则这两个，则这两个角互余角互余性质性质同角同角( (或等角或等角) )的余角的余角________________互为补互为补角角定义定义如果两个角的和等于如果两个角的和等于180180°°，则这两个，则这两个角互补角互补性质性质同角同角( (或等角或等角) )的补角的补角________________拓展拓展一个角的补角比这个角的余角大一个角的补角比这个角的余角大9090°°相等相等 相等相等 考点考点5 5 邻补角、对顶角邻补角、对顶角 第第17讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦邻补角邻补角定义定义若两角有一条公共边，它们的另一边若两角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角个角，互为邻补角对顶角对顶角定义定义若两角有一个公共顶点，且两角的两若两角有一个公共顶点，且两角的两边互为反向延长线，具有这种位置关边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角系的两个角，互为对顶角性质性质对顶角相等对顶角相等考点考点6 6 ““三线八角三线八角““的概念的概念 第第17讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦同位同位角角如果两个角在截线如果两个角在截线l l的同侧，且在被截直的同侧，且在被截直线线a a、、b b的同一方向叫做同位角的同一方向叫做同位角( (位置相同位置相同) )．．∠∠1 1和和∠∠5 5，，∠∠4 4和和∠∠8 8，，∠∠2 2和和∠∠6 6，，∠∠3 3和和∠∠7 7是同位角是同位角内错内错角角如果两个角在截线如果两个角在截线l l的两旁的两旁( (交错交错) )，在被，在被截线截线a a、、b b之间之间( (内内) )叫做内错角叫做内错角( (位置在内位置在内且交错且交错) )．．∠∠2 2和和∠∠8 8，，∠∠3 3和和∠∠5 5是内错角是内错角同旁同旁内角内角如果两个角在截线如果两个角在截线l l的同侧，在被截直线的同侧，在被截直线a a、、b b之间之间( (内内) )叫做同旁内角．叫做同旁内角．∠∠5 5和和∠∠2 2，，∠∠3 3和和∠∠8 8是同旁内角是同旁内角考点考点7 7 平行平行 第第17讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦平行线的平行线的定义定义在同一平面内，在同一平面内，________________的两条直线叫的两条直线叫做平行线做平行线平行平行公理公理经过直线外一点，有且只有经过直线外一点，有且只有________条直线条直线与这条直线与这条直线____________平行公理平行公理的推论的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相么这两条直线也互相________________不相交不相交 一一平行平行 平行平行第第17讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦平行线的平行线的判定判定同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行平行线的平行线的性质性质两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补考点考点8 8 垂直垂直 第第17讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦垂直垂直定义定义如果两条直线相交成如果两条直线相交成____________，那么这两条直，那么这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，互相垂直的两条直线的交点叫做互相垂直的两条直线的交点叫做____________特别特别说明说明(1)(1)两条直线垂直是两条直线相交的特殊情两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角；况，特殊在它们所交的角是直角；(3)(3)线段线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指它们所在直线垂直都是指它们所在直线垂直垂直的性质垂直的性质在同一平面内，过一点有且只有在同一平面内，过一点有且只有____________条直条直线与已知直线垂直线与已知直线垂直直角直角 垂足垂足 一一 第第17讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦垂线段垂线段定义定义从直线外一点引一条直线的垂线，这点和从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂足之间的线段叫做____________性质性质直线外各点与直线上各点所连的线段中，直线外各点与直线上各点所连的线段中，____________最短最短点到直线的距点到直线的距离离直线外一点到这条直线的直线外一点到这条直线的________________的长度，的长度，叫做点到直线的距离叫做点到直线的距离垂线段垂线段 垂线段垂线段 垂线段垂线段 第第17讲讲┃┃ 归类示例归类示例归类示例归类示例►　类型之一　线与角的概念和基本性质　类型之一　线与角的概念和基本性质 命题角度：命题角度：1. 线段、射线和直线的性质及计算；线段、射线和直线的性质及计算；2. 角的有关性质及计算．角的有关性质及计算．例例1 [2012·北京北京] 如图如图17－－1，直线，直线AB，，CD交于点交于点O，射，射线线OM平分平分∠∠AOC，若，若∠∠BOD＝＝76°，则，则∠∠BOM等于等于(　　　　)A．．38° B．．104°C．．142° D．．144° C 图图17－－1第第17讲讲┃┃ 归类示例归类示例► ►　类型之二　直线的位置关系　类型之二　直线的位置关系 命题角度：命题角度：1. 1. 直线平行与垂直的判定及简单应用；直线平行与垂直的判定及简单应用；2. 2. 角度的有关计算角度的有关计算. . 第第17讲讲┃┃ 归类示例归类示例图图17－－2 例例2 [2012·连连云云港港]如如图图17－－2，，将将三三角角尺尺的的直直角角顶顶点点放放在在直直线线a上上，，a∥∥b，，∠∠1＝＝50°，，∠∠2＝＝60°，，则则∠∠3的的度数为度数为(　　　　) A．．50° B．．60°C．．70° D. 80°C [解析解析] 依题意，依题意，∠∠3＝＝180°－－∠∠1－－∠∠2＝＝180°－－50°－－60°＝＝70°，故选，故选C.                             计计算算角角度度问问题题时时，，要要注注意意挖挖掘掘图图形形中中的的隐隐含含条条件件( (三三角角形形内内角角和和、、互互为为余余角角或或补补角角、、平平行行性性质质、、垂垂直直) )及角平分线知识的应用．及角平分线知识的应用．第第17讲讲┃┃ 归类示例归类示例► 类型之三类型之三 度、分、秒的计算度、分、秒的计算 例例3 3 [2012[2012··南通南通] ]已知已知∠α∠α＝＝3232°°，求，求∠α∠α的补角为的补角为( (　　　　) )A A．．5858°° B B．．6868°° C C．．148148°° D D．．168168°°第第17讲讲┃┃ 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1．互为余角的计算；．互为余角的计算；2．互为补角的计算；．互为补角的计算；3．角度的有关计算．．角度的有关计算．C [解析解析] ∵∠∵∠α＝＝32°，，∴∠∴∠α的补角＝的补角＝180°－－32°＝＝148°.故选故选C.第第17讲讲┃┃ 归类示例归类示例 注意角的度数之间的进率是注意角的度数之间的进率是6060而不是而不是1010，这是容易，这是容易出错的地方．出错的地方．► 类型之四类型之四 平行线的性质和判定的应用平行线的性质和判定的应用 命题角度：命题角度：1. 平行线的性质；平行线的性质；2. 平行线的判定；平行线的判定；3. 平行线的性质和判定的综合应用．平行线的性质和判定的综合应用．第第17讲讲┃┃ 归类示例归类示例例例4 如图如图17－－3，，AB∥∥CD，分别探讨下面四个图形中，分别探讨下面四个图形中∠∠APC与与∠∠PAB、、∠∠PCD的关系，请你从所得到的关系的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明．中任选一个加以证明． 图图17－－3第第17讲讲┃┃ 归类示例归类示例　　解：解：①∠①∠APC ＝＝∠∠PAB ＋＋∠∠PCD；；②∠②∠APC＝＝360°－－(∠ ∠PAB ＋＋∠∠PCD)；；③∠③∠APC＝＝∠∠PAB －－∠∠PCD；；④∠④∠APC＝＝∠∠PCD－－∠∠PAB.如证明如证明①① ∠∠APC ＝＝∠∠PAB ＋＋∠∠PCD.证明：过证明：过P点作点作PE∥ ∥AB，所以，所以∠∠A＝＝∠∠APE.又因为又因为AB∥ ∥CD，所以，所以PE∥ ∥CD，所以，所以∠∠C＝＝∠∠CPE，，所以所以∠∠A＋＋∠∠C＝＝∠∠APE＋＋∠∠CPE，，∴∠∴∠APC ＝＝∠∠PAB ＋＋∠∠PCD.同理可证明其他的结论．同理可证明其他的结论．第第18讲讲┃┃　三角形和多边形　三角形和多边形第第18讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 三角形概念及其基本元素三角形概念及其基本元素定定义由由________直直线上的三条上的三条线段首尾段首尾顺次次连接而成的接而成的图形叫三角形形叫三角形基本元素基本元素三角形有三角形有____条条边，，____个个顶点，点，____个内角个内角不在同一不在同一 三三 三三 三三 第第18讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 三角形的分类三角形的分类 1 1．按角分：．按角分：第第18讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦2 2．按边分：．按边分：第第18讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点考点3 3 三角形中的重要线段三角形中的重要线段 重要线段重要线段交点位置交点位置中线中线三角形的三条中线的交点在三角形的三角形的三条中线的交点在三角形的______部部角平分线角平分线三角形的三条角平分线的交点在三角形的三角形的三条角平分线的交点在三角形的______部部高高______三角形的三条高的交点在三角形的内三角形的三条高的交点在三角形的内部；部；____三角形的三条高的交点是直角顶点；三角形的三条高的交点是直角顶点；______三角形的三条高所在直线的交点在三三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部角形的外部内内 内内 锐角锐角 直角直角 钝角钝角 考点考点4 4 三角形的中位线三角形的中位线 第第18讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦定义定义连接三角形两边的连接三角形两边的____________的线段叫三角形的线段叫三角形的中位线的中位线定理定理三角形的中位线三角形的中位线____________于第三边，并且等于第三边，并且等于它的于它的____________总结总结(1)(1)一个三角形有三条中位线．一个三角形有三条中位线．(2)(2)三角形三角形的中位线分得三角形两部分的面积比为的中位线分得三角形两部分的面积比为1∶31∶3中点中点 平行平行 一半一半 考点考点5 5 三角形的三边关系三角形的三边关系 第第18讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦定理定理三角形的两边之和三角形的两边之和________第三边第三边推理推理三角形的两边之差三角形的两边之差________第三边第三边三角形的三角形的稳定性稳定性三条线段组成三角形后，形状无三条线段组成三角形后，形状无法改变是稳定性的体现法改变是稳定性的体现大于大于 小于小于 考点考点6 6 三角形的内角和定理及推理三角形的内角和定理及推理 第第18讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦定理定理三角形的内角和等于三角形的内角和等于________推论推论1.三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它________________的和的和2.三角形的一个外角大于任何一个和它三角形的一个外角大于任何一个和它______的内角的内角3.直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角________4.三角形的外角和为三角形的外角和为________拓展拓展 在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直角个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直角180° 不相邻的两个内角不相邻的两个内角 不相邻不相邻 互余互余 360° 考点考点7 7 多边形多边形第第18讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦多边形的定义多边形的定义在同一平面内，不在同一直线上的一在同一平面内，不在同一直线上的一些线段些线段__________相接组成的图形叫相接组成的图形叫做多边形做多边形多边形多边形的性质的性质内角和内角和n边形内角和边形内角和____________外角和外角和任意多边形的外角和为任意多边形的外角和为360°多边形多边形对角线对角线n边形共有边形共有______条对角线条对角线不稳定不稳定性性 n边形具有不稳定性边形具有不稳定性(n>3)拓展拓展n边形的内角中最多有边形的内角中最多有________个是个是锐角锐角首尾顺次首尾顺次 (n(n－－2)2)··180180°° 3 3 第第18讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦正多正多边形形定义定义各个角各个角________，各条边，各条边________的多边形叫正多边形的多边形叫正多边形对称性对称性正多边形都是正多边形都是________对称图对称图形，边数为偶数的正多边形是形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形中心对称图形相等相等 相等相等 轴轴 考点考点8 8 平面图形的镶嵌平面图形的镶嵌第第18讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦定义定义用用______、、______完全相同的一种或几完全相同的一种或几种种____________进行拼接，彼此之间不进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的图形的________平面镶嵌平面镶嵌的条件的条件在同一顶点的几个角的和等于在同一顶点的几个角的和等于360°形状形状 大小大小 平面图形平面图形 镶嵌镶嵌第第18讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦常见常见形式形式(1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：________个正三角形或个正三角形或________个正四边形或个正四边形或________个正六边形个正六边形(2)用两种正多边形镶嵌用两种正多边形镶嵌①①用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和________个正四边形；个正四边形；②②用正三角形和正六边形镶嵌：用用正三角形和正六边形镶嵌：用________个正个正三角形和三角形和________个正六边形或者用个正六边形或者用________个个正三角形和正三角形和________个正六边形；个正六边形；③③用正四边形和正八边形镶嵌：用用正四边形和正八边形镶嵌：用________个正个正四边形和四边形和________个正八边形可以镶嵌个正八边形可以镶嵌六六四四三三两两四四一一两两两两一一两两第第18讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦常见形式常见形式(3)用三种不同的正多边形镶嵌用三种不同的正多边形镶嵌用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用用m块正三角形、块正三角形、n块正方形、块正方形、k块正六边形，则块正六边形，则有有60m＋＋90n＋＋120k＝＝360，整理得，整理得______________，因为，因为m、、n、、k为整数，所以为整数，所以m＝＝______，，n＝＝________，，k＝＝________，即用，即用________块正方形，块正方形，________块正三角形和块正三角形和________块正六边形可以镶嵌块正六边形可以镶嵌防错防错提醒提醒能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点的几个角的和等于的几个角的和等于360°2m2m＋＋3n3n＋＋4k4k＝＝1212 1 12 21 1两两一一一一第第18讲讲┃┃ 归类示例归类示例归类示例归类示例►　类型之一　三角形三边的关系　类型之一　三角形三边的关系命题角度：命题角度：1. 判断三条线段能否组成三角形；判断三条线段能否组成三角形；2. 求字母的取值范围；求字母的取值范围；3. 三角形的稳定性．三角形的稳定性．例例1 [2011·徐州徐州]若三角形的两边长分别为若三角形的两边长分别为6 cm、、9 cm，，则其第三边的长可能为则其第三边的长可能为(　　　　)A．．2 cm B．．3 cmC．．7 cm D．．16 cmC [解析解析] 设第三边的长为设第三边的长为x，根据三角形三边关系得，根据三角形三边关系得9－－6＜＜x＜＜9＋＋6，即，即3 cm＜＜x＜＜15 cm，符合条件的只有选项，符合条件的只有选项C. 第第18讲讲┃┃ 归类示例归类示例变式题变式题 [2012·长沙长沙]现有现有3 cm，，4 cm，，7 cm，，9 cm长的四长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是角形的个数是(　　　　) A．．1 B．．2 C．．3 D．．4 B 第第18讲讲┃┃ 归类示例归类示例 [解析解析] 四条木棒的所有组合：四条木棒的所有组合：3，，4，，7和和3，，4，，9和和3，，7，，9和和4，，7，，9；只有；只有3，，7，，9和和4，，7，，9能组成三角形．故选能组成三角形．故选B. 第第18讲讲┃┃ 归类示例归类示例 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，只要根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形，两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形，通常只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组通常只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形．成三角形．► ►　类型之二　三角形的重要线段的应用　类型之二　三角形的重要线段的应用 命题角度：命题角度：1. 1. 三角形的中线、角平分线、高线；三角形的中线、角平分线、高线；2. 2. 三角形的中位线．三角形的中位线．第第18讲讲┃┃ 归类示例归类示例图图18－－1 例例2 [2011·淮安淮安]如图如图18－－1，在，在△△ABC中，中， D，，E分别分别是边是边AB、、AC的中点，的中点，BC＝＝8，则，则DE＝＝__________。

4 第第18讲讲┃┃ 归类示例归类示例 三角形的中位线常用来证明线段的倍分问题，题目三角形的中位线常用来证明线段的倍分问题，题目中有中点，就要想到三角形的中位线定理．中有中点，就要想到三角形的中位线定理．► 类型之三类型之三 三角形内角与外角的应用三角形内角与外角的应用 例例3 3 [2012[2012··乐山乐山] ]如图如图18－－2，，∠∠ACD是是△△ABC的外角，的外角，∠∠ABC的平分线与的平分线与∠∠ACD的平分线交于点的平分线交于点A1，，∠∠A1BC的平分的平分线与线与∠∠A1CD的平分线交于点的平分线交于点A2，，……，，∠∠An－－1BC的平分线与的平分线与∠∠An－－1CD的平分线交于点的平分线交于点An. 设设∠∠A＝＝θ.则则(1)∠∠A1＝＝________；； (2)∠∠An＝＝________.第第18讲讲┃┃ 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 三角形内角和定理；三角形内角和定理；2. 三角形内角和定理的推论．三角形内角和定理的推论．图图18－－2第第18讲讲┃┃ 归类示例归类示例[解析解析] (1)根据角平分根据角平分线线的定的定义义可得可得∠ ∠A1BC＝＝∠ ∠ABC，，∠ ∠A1CD＝＝∠ ∠ACD，再根据三角形的一，再根据三角形的一个外角等于与它不相个外角等于与它不相邻邻的两个内角的和可得的两个内角的和可得∠ ∠ACD＝＝∠ ∠A＋＋∠ ∠ABC，，∠ ∠A1CD＝＝∠ ∠A1BC＋＋∠ ∠A1，整理即可得解；，整理即可得解；(2)与与(1)同理求出同理求出∠ ∠A2，可以，可以发现发现后一个角等后一个角等于前一个角的，根据此于前一个角的，根据此规规律再律再结结合脚合脚码码即可即可得解．得解． 第第18讲讲┃┃ 归类示例归类示例 变式题变式题 [2011[2011··黄冈黄冈] ]如图如图18－－3，，如图如图1818－－3 3，，△ABC△ABC的的外角外角∠ACD∠ACD的平分线的平分线CPCP与内角与内角∠ABC∠ABC的平分线的平分线BPBP交于点交于点P P，若，若∠BPC∠BPC＝＝4040°°，则，则∠CAP∠CAP＝＝________.________.第第18讲讲┃┃ 归类示例归类示例图图18－－350° 第第18讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第18讲讲┃┃ 归类示例归类示例 综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系，得到结论．可以灵活的解决内外角的关系，得到结论．► 类型之四类型之四 多边形的内角和与外角和多边形的内角和与外角和 例例4 4 [2012[2012··无锡无锡] ]若一个多边形的内角和为若一个多边形的内角和为1080°，则这，则这个多边形的边数为个多边形的边数为(　　　　)A．．6 B．．7 C．．8 D．．9第第18讲讲┃┃ 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1．．n边形的内角和定理的应用；边形的内角和定理的应用；2．．n边形的外角和定理的应用．边形的外角和定理的应用．C [ [解析解析] ] 设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为n n，则，则180(n180(n－－2)2)＝＝10801080，解得，解得n n＝＝8.8.故选故选C. C. 变式题变式题[2010[2010··淮安淮安] ] 若一个多边形的内角和小于其外角和，若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是则这个多边形的边数是(　　　　)A．．3 B．．4 C．．5 D．．6第第18讲讲┃┃ 归类示例归类示例A [ [解析解析] ] 三角形的内角和为三角形的内角和为180180°°，四边形的内角和，四边形的内角和是是360360°°，而且边数越多，内角和越大，而多边形的外，而且边数越多，内角和越大，而多边形的外角和是角和是360360°°与边数无关，所以选择与边数无关，所以选择A.A.第第18讲讲┃┃ 归类示例归类示例 如果已知如果已知n n边形的内角和，那么可以求出它的边数边形的内角和，那么可以求出它的边数n n；对于多边形的外角和等于；对于多边形的外角和等于360360°°，应明确两点：，应明确两点：(1)(1)多多边形的外角和与边数边形的外角和与边数n n无关；无关；(2)(2)多边形内角问题转化为多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果．外角问题常常有化难为易的效果．第第19讲讲┃┃　全等三角形　全等三角形 第第19讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 全等图形及全等三角形全等图形及全等三角形 全等图形全等图形能够完全重合的两个图形就是能够完全重合的两个图形就是____________全等图形的形状和全等图形的形状和________________完全相同完全相同全等三全等三角形角形能够完全重合的两个三角形就是全等三能够完全重合的两个三角形就是全等三角形角形说明说明完全重合有两层含义：完全重合有两层含义：(1)(1)图形的形状相同；图形的形状相同；(2)(2)图形的大小相图形的大小相等等全等图形全等图形 大小大小第第19讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 全等三角形的性质全等三角形的性质 性质性质1 1全等三角形的对应边全等三角形的对应边________________性质性质2 2全等三角形的对应角全等三角形的对应角________________性质性质3 3全等三角形的对应边上的高全等三角形的对应边上的高________________性质性质4 4全等三角形的对应边上的中线全等三角形的对应边上的中线________________性质性质5 5 全等三角形的对应角平分线全等三角形的对应角平分线________________相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 考点考点3 3 全等三角形的判定全等三角形的判定 第第19讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦基本基本判判定方定方法法1.三条边对应相等的两个三角形全等三条边对应相等的两个三角形全等(简记为简记为SSS)2.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等等(简记为简记为____ )3.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等角形全等(简记为简记为____ )4.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等等(简记为简记为____ )5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等(简记为简记为____ )ASA AAS SAS HL 第第19讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦拓展延拓展延伸伸满足下列条件的三角形是全等三角形：满足下列条件的三角形是全等三角形：(1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；(2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；(3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等；有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等；(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；(5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角或钝角)三角形三角形全等；全等；(6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角或钝角)三角形全三角形全等等总结总结判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等且其中最少要有一组对应边相等考点考点4 4 利用利用““尺规尺规””作三角形的类型作三角形的类型 第第19讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦1已知三角形的三边，求作三角形已知三角形的三边，求作三角形2已知三角形的两边及其夹角，求作三角形已知三角形的两边及其夹角，求作三角形3已知三角形的两角及其夹边，求作三角形已知三角形的两角及其夹边，求作三角形4已知三角形的两角及其其中一角的对边，已知三角形的两角及其其中一角的对边，求作三角形求作三角形5已知直角三角形一条直角边和斜边，求作已知直角三角形一条直角边和斜边，求作三角形三角形考点考点5 5 角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定 第第19讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦性质性质角平分线上的点到角两边的角平分线上的点到角两边的______相相等等判定判定角的内部到角两边的距离相等的点在角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的这个角的______上上距离距离 平分线平分线 第第19讲讲┃┃ 归类示例归类示例归类示例归类示例►　类型之一　全等三角形性质与判定的综合应用　类型之一　全等三角形性质与判定的综合应用命题角度：命题角度：1. 利用利用SSS、、ASA、、AAS、、SAS、、HL判定三角形全等；判定三角形全等；2. 利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题．利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题．例例1 [2012·重庆重庆 ]已知：如图已知：如图19－－1，，AB＝＝AE，，∠∠1＝＝∠∠2，，∠∠B ＝＝∠∠E，求证：，求证：BC＝＝ED.图图19－－1第第19讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第19讲讲┃┃ 归类示例归类示例变变式式题题1[2012·菏泽菏泽 ] 已知：如图已知：如图19－－2，，∠∠ABC＝＝∠∠DCB，，BD、、CA分别是分别是∠∠ABC、、∠∠DCB的平分线．求证：的平分线．求证：AB＝＝DC.图图19－－2[ [解析解析] ] 欲证欲证ABAB＝＝DCDC，即证，即证△△ABC≌△DCBABC≌△DCB，可利用，可利用ASAASA证明证明．第第19讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第19讲讲┃┃ 归类示例归类示例变变式式题题2[2011·江津江津 ]如图如图19－－3，在，在△△ABC中，中，AB＝＝CD，，∠∠ABC＝＝90°，，F为为AB延长线上一点，点延长线上一点，点E在在BC上，且上，且AE＝＝CF.(1)求证：求证：Rt△△ABE≌ ≌Rt△△CBF；；(2)若若∠∠CAE＝＝30°，求，求∠∠ACF的度数．的度数．图图19－－3 [解析解析] 可以利用旋转可以利用旋转Rt△△ABE到到Rt△△CBF，证明，证明Rt△△ABE≌ ≌Rt△△CBF.第第19讲讲┃┃ 归类示例归类示例解：解：(1)证明：证明：∵∠∵∠ABC＝＝90°，，∴∠∴∠CBF＝＝∠∠ABE＝＝90°.在在Rt△△ABE和和Rt△△CBF中，中，∵∵AE＝＝CF, AB＝＝BC，，∴∴Rt△△ABE≌ ≌Rt△△CBF(HL)．．(2)∵ ∵AB＝＝BC, ∠ ∠ABC＝＝90°，，∴∠∴∠CAB＝＝∠∠ACB＝＝45°.∵∠∵∠BAE＝＝∠∠CAB－－∠∠CAE＝＝45°－－30°＝＝15°.由由(1)知知Rt△△ABE≌ ≌Rt△△CBF，，∴∠∴∠BCF＝＝∠∠BAE＝＝15°，，∴∠∴∠ACF＝＝∠∠BCF＋＋∠∠ACB＝＝45°＋＋15°＝＝60°.第第19讲讲┃┃ 归类示例归类示例 1 1．解决全等三角形问题的一般思路：．解决全等三角形问题的一般思路：①①先用全等三先用全等三角形的性质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条角形的性质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条件；件；②②再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题．即由已知条件．即由已知条件( (包含全等三角形包含全等三角形) )判定新三角形全等、判定新三角形全等、相应的线段或角的关系；相应的线段或角的关系； 2 2．轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等；．轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等； 3 3．利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，．利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，例如对顶角相等、互余、互补等．例如对顶角相等、互余、互补等．► ►　类型之二　全等三角形开放性问题　类型之二　全等三角形开放性问题 命题角度：命题角度：1. 1. 三角形全等的条件开放性问题；三角形全等的条件开放性问题；2. 2. 三角形全等的结论开放性问题．三角形全等的结论开放性问题．第第19讲讲┃┃ 归类示例归类示例图图19－－2 例例2 [2012·义乌义乌 ]如图如图19－－2，在，在△△ABC中，点中，点D是是BC的的中点，作射线中点，作射线AD，段，段AD及其延长线上分别取点及其延长线上分别取点E、、F，连接，连接CE、、BF.添加一个条件，使得添加一个条件，使得△△BDF≌△≌△CDE，并加，并加以证明．你添加的条件是以证明．你添加的条件是________．．(不添加辅助线不添加辅助线)DE＝＝DF 第第19讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第19讲讲┃┃ 归类示例归类示例 由由于于判判定定全全等等三三角角形形的的方方法法很很多多，，所所以以题题目目中中常常给给出出( (有有些些是是推推出出) )两两个个条条件件，，让让同同学学们们再再添添加加一一个个条条件件，，得得出出全全等等，，再再去去解解决决其其他他问问题题．．这这种种题题型型可可充充分分考考查查学学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度．生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度．第第19讲讲┃┃ 回归教材回归教材全等三角形性质的应用全等三角形性质的应用回归教材回归教材教材母题教材母题　　江苏科技版七下江苏科技版七下P121T6如图如图1919－－5 5，要测量河两岸相对的两点，要测量河两岸相对的两点A A、、B B的距离，的距离，可以在可以在ABAB的垂线的垂线BFBF上取两点上取两点C C、、D D，使，使CDCD＝＝BCBC，再定，再定出出BFBF的垂线的垂线DEDE，使点，使点A A、、C C、、E E在一条直线上，这时测在一条直线上，这时测得的得的DEDE的长就是的长就是ABAB的长，为什么？的长，为什么？图图1919－－5 5第第19讲讲┃┃ 回归教材回归教材[ [解析解析] ] 根据题意，有根据题意，有CDCD＝＝BCBC，，∠∠ABCABC＝＝∠∠EDCEDC，，∠∠ACBACB＝＝∠∠ECDECD，根据，根据ASAASA可以证明可以证明△△ABCABC≌△≌△EDCEDC. .解：因为解：因为ABAB⊥⊥BFBF，，DEDE⊥⊥BFBF，，B B、、D D分别为垂足，分别为垂足，所以所以∠∠ABCABC＝＝∠∠EDCEDC＝＝9090°°. .又因为又因为BCBC＝＝CDCD，，∠∠ACBACB＝＝∠∠ECDECD，，所以所以△△ABCABC≌△≌△EDCEDC. .所以所以ABAB＝＝EDED. . [2012[2012··柳州柳州] ]如图如图19－－6，小强利用全等三角形的知识测，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端量池塘两端M、、N的距离，如果的距离，如果△△PQO≌△≌△NMO，则只需，则只需测出其长度的线段是测出其长度的线段是(　　　　)A A．．POPO B B．．PQPQ C C．．MOMO D D．．MQMQ第第19讲讲┃┃ 回归教材回归教材图图19－－3B 中考变式第第19讲讲┃┃ 归类示例归类示例　　[ [解解析析] ] 要要想想利利用用△△PQO≌△NMOPQO≌△NMO求求得得MNMN的的长长，，只需求得线段只需求得线段PQPQ的长，故选的长，故选B.B.第第20讲讲┃┃　等腰三角形　等腰三角形 第第20讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 等腰三角形的概念与性质等腰三角形的概念与性质 定义定义有有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底叫腰，第三边为底性质性质轴对轴对称性称性等腰三角形是轴对称图形，有等腰三角形是轴对称图形，有____条条对称轴对称轴定理定理1等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(简称为：简称为：__________)定理定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上的等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简和底边上的高互相重合，简称称““三线合一三线合一””两边两边 一一 等边对等角等边对等角 中线中线第第20讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦拓展拓展(1)(1)等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等(2)(2)等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等(3)(3)等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等(4)(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半角的一半(5)(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高和等于一腰上的高(7)(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高离之差等于一腰上的高第第20讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 定理定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等所对的边也相等(简写成：简写成：___________)拓展拓展(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形等腰三角形(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形三角形是等腰三角形(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形等角对等边等角对等边考点考点3 3 等边三角形等边三角形 第第20讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦定义定义三边相等的三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形性质性质等边三角形的各角都等边三角形的各角都______，并且每一个，并且每一个角都等于角都等于______等边三角形是轴对称图形，有等边三角形是轴对称图形，有______条对条对称轴称轴判定判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形(2)有一个角等于有一个角等于60°的等腰三角形是等边的等腰三角形是等边三角形三角形相等相等 　　60° 　　3 考点考点4 4 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 第第20讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦定义定义经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线性质性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离距离________判定判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的段的____________上上实质实质构成构成线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有点的集合的所有点的集合相等相等 垂直平分线垂直平分线 距离相等距离相等 第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例归类示例归类示例►　类型之一　等腰三角形的性质的运用　类型之一　等腰三角形的性质的运用 命题角度：命题角度：1. 等腰三角形的性质；等腰三角形的性质；2. 等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性质；的性质；3. 等腰三角形两腰上的高等腰三角形两腰上的高(中线中线)、两底角的平分线的性质、两底角的平分线的性质. 例例1 [2012·镇镇江江] 如如图图20－－1，在四，在四边边形形ABCD中，中，AD∥ ∥BC，，E是是AB的中点，的中点，连连接接DE并延并延长长交交CB的延的延长线长线于于点点F，点，点G在在边边BC上，且上，且∠ ∠GDF＝＝∠ ∠ADF.(1)求求证证：：△△ADE≌△≌△BFE；；(2)连连接接EG，判断，判断EG与与DF的位置关系，的位置关系，并并说说明理由．明理由．图图20－－1第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例[ [解析解析] ] 先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等的条件可证明的条件可证明△△DFGDFG是等腰三角形，再结合点是等腰三角形，再结合点E E是是DFDF的中点，的中点，根据等腰三角形根据等腰三角形““三线合一三线合一””的性质可证明结论．的性质可证明结论． 第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例解： (1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE.∵E是AB的中点，∴AE＝BE.∴△ADE≌△BFE.(2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF.∵∠GDF＝∠ADF，又∵∠ADE＝∠BFE，∴∠GDF＝∠BFE，∴GD＝GF.由(1)得，DE＝EF，∴EG⊥DF.第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例 (1)(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换．行角度转换． (2) (2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换．行互相转换．► ►　类型之二　等腰三角形判定　类型之二　等腰三角形判定 命题角度：命题角度：等腰三角形的判定．等腰三角形的判定．第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例图图20－－2 例例2 [2011·扬州扬州 ]已知：如图已知：如图20－－2，锐角，锐角△△ABC的两条的两条高高BD、、CE相交于点相交于点O，且，且OB＝＝OC.(1)求证：求证：△△ABC是等腰三角形；是等腰三角形；(2)判断点判断点O是否在是否在∠∠BAC的平分线上，并说明理由．的平分线上，并说明理由． 第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例[ [解析解析] (1)] (1)利用利用△△BDCBDC≌△≌△CEBCEB 证明证明∠∠DCBDCB＝＝∠∠EBCEBC；；(2)(2)连接连接AOAO，通过，通过HLHL证明证明△△ADOADO≌△≌△AEOAEO，从而得到，从而得到∠∠DAODAO＝＝∠∠EAOEAO，，利用角平分线上的点到两边的距离相等，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论．证明结论．解：解：(1)(1)证明：证明：∵∵OBOB＝＝OCOC，，∴∠∴∠OBCOBC＝＝∠∠OCBOCB. .∵∵BDBD、、CECE是两条高，是两条高，∴∠∴∠BDCBDC＝＝∠∠CEBCEB＝＝9090°°. .又又∵∵BCBC＝＝CBCB，，∴△∴△BDCBDC≌△≌△CEBCEB (AAS) (AAS)．．∴∠∴∠DBCDBC＝＝∠∠ECB, ECB, ∴∴ABAB＝＝ACAC. .∴△∴△ABCABC是等腰三角形．是等腰三角形．第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例(2)点点O是在是在∠∠BAC的平分线上．的平分线上．连接连接AO.∵△∵△BDC≌△≌△CEB，，∴∴DC＝＝EB.∵ ∵OB＝＝OC，，∴∴ OD＝＝OE.又又∵∠∵∠BDC＝＝∠∠CEB＝＝90°，，AO＝＝AO，，∴△∴△ADO≌△≌△AEO(HL)．．∴∠∴∠DAO＝＝∠∠EAO. ∴∴点点O是在是在∠∠BAC的平分线上．的平分线上．第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例 要要证证明明一一个个三三角角形形是是等等腰腰三三角角形形，，必必须须得得到到两两边边相相等等，，而而得得到到两两边边相相等等的的方方法法主主要要有有(1)(1)通通过过等等角角对对等等边边得得两两边边相相等等；；(2)(2)通通过过三三角角形形全全等等得得两两边边相相等等；；(3)(3)利利用用垂垂直平分线的性质得两边相等．直平分线的性质得两边相等．► 类型之三类型之三 等腰三角形的多解问题等腰三角形的多解问题 例例3 3 [2012[2012··广安广安] ]已知等腰已知等腰△△ABC中，中，AD⊥⊥BC于点于点D，，且且AD＝＝0.5 BC，则，则△△ABC底角的度数为底角的度数为(　　　　)A．．45° B．．75°C．．45°或或75° D．．60°第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；有底角和顶角之分；2. 遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．C 第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例 因因为为等等腰腰三三角角形形的的边边有有腰腰与与底底之之分分，，角角有有底底角角和和顶顶角角之之分分，，等等腰腰三三角角形形的的高高线线要要考考虑虑高高在在形形内内和和形形外外两两种种情情况况．．故故当当题题中中条条件件给给出出不不明明确确时时，，要要分分类类讨讨论论进进行行解解题，才能避免漏解情况．题，才能避免漏解情况．► 类型之四　等边三角形的判定与性质类型之四　等边三角形的判定与性质 例例4 4 [2011·绍兴绍兴] 数学课上，李老师出示了如下框中数学课上，李老师出示了如下框中的题目．的题目．在在等等边边三三角角形形ABC中中，，点点E在在AB上上，，点点D在在CB的的延延长长线线上上，，且且ED＝＝EC，，如如图图20－－3.试试确确定定线线段段AE与与DB的的大小关系，并说明理由．大小关系，并说明理由．第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例命题角度：命题角度：等边三角形的判定与性质的综合．等边三角形的判定与性质的综合．图图20－－3第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论特殊情况，探索结论当点当点E为为AB的中点时，如图的中点时，如图20－－4①①，确定线段，确定线段AE与与DB的大小关系，请你直接写出结论：的大小关系，请你直接写出结论：AE________DB(填填“>”“<”或或“＝＝”) 图图20－－4①② ＝＝ 第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例(2)特例启发，解答题目特例启发，解答题目解：题目中，解：题目中，AE与与DB的大小关系是：的大小关系是：AE________DB(填填“>”“<”或或““＝＝””)．理由如．理由如下：如图下：如图20－－4②②，过点，过点E作作EF∥ ∥BC，交，交AC于点于点F.(请你完成以下解答过程请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题拓展结论，设计新题在等边三角形在等边三角形ABC中，点中，点E在直线在直线AB上，点上，点D在直线在直线BC上，且上，且ED＝＝EC.若若△△ABC的边长为的边长为1，，AE＝＝2，求，求CD的长的长(请你直接写出结果请你直接写出结果)．．＝ (3)1或或3.第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例方法一：等边三角形方法一：等边三角形ABC中，中，∠∠ABC＝＝∠∠ACB＝＝∠∠BAC＝＝60°，，AB＝＝BC＝＝AC.∵ ∵EF∥ ∥BC，，∴∠∴∠AEF＝＝∠∠AFE＝＝60°＝＝∠∠BAC，，∴△∴△AEF是等边三角形，是等边三角形，∴∴AE＝＝AF＝＝EF，，∴∴AB－－AE＝＝AC－－AF，即，即BE＝＝CF.又又∵∠∵∠ABC＝＝∠∠EDB＋＋∠∠BED＝＝60°，，∠∠ACB＝＝∠∠ECB＋＋∠∠FCE＝＝60°，，且且ED＝＝EC，，∴∠∴∠EDB＝＝∠∠ECB，，∴∠∴∠BED＝＝∠∠FCE.又又∵∠∵∠DBE＝＝∠∠EFC＝＝120°，，∴△∴△DBE≌△≌△EFC，，∴∴DB＝＝EF，，∴∴AE＝＝BD.第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例方法二：在等边三角形方法二：在等边三角形ABC中，中，∠∠ABC＝＝∠∠ACB＝＝60°，，∠∠ABD＝＝120°.∵∠∵∠ABC＝＝∠∠EDB＋＋∠∠BED，，∠∠ACB＝＝∠∠ECB＋＋∠∠ACE，，ED＝＝EC，，∴∠∴∠EDB＝＝∠∠ECB，，∴∠∴∠BED＝＝∠∠ACE.∵ ∵FE∥ ∥BC，，∴∠∴∠AEF＝＝∠∠AFE＝＝60°＝＝∠∠BAC，，∴△∴△AEF是正三角形，是正三角形，∠∠EFC＝＝180°－－∠∠ACB＝＝120°＝＝∠∠ABD.∴△∴△EFC≌△≌△DBE，，∴∴DB＝＝EF，，而由而由△△AEF是正三角形可得是正三角形可得EF＝＝AE.∴ ∴AE＝＝DB. 第第20讲讲┃┃ 归类示例归类示例 等等边边三三角角形形中中隐隐含含着着三三边边相相等等和和三三个个角角都都等等于于6060°°的的结结论论，，所所以以要要充充分分利利用用这这些些隐隐含含条条件件，，证证明明全全等等或或者者构造全等．构造全等． 第第21讲讲┃┃　直角三角形与勾股定理　直角三角形与勾股定理 第第21讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 直角三角形的概念、性质与判定直角三角形的概念、性质与判定 定义定义有一个角是有一个角是________的三角形叫做直角三角形的三角形叫做直角三角形性质性质(1)直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那，那么它所对的直角边等于么它所对的直角边等于______________(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于在直角三角形中，斜边上的中线等于________________斜边的一半斜边的一半 直角直角 斜边的一半斜边的一半 第第21讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦第第21讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 勾股定理及逆定理勾股定理及逆定理勾股勾股定理定理直角三角形两直角边直角三角形两直角边a a、、b b的平方和，等于斜边的平方和，等于斜边c c的平方．即：的平方．即：________________勾股勾股定理定理的逆的逆定理定理逆定逆定理理如果三角形的三边长如果三角形的三边长a a、、b b、、c c有关系：有关系： ________ ________ ，那么这个三角形是直角三角，那么这个三角形是直角三角形形用途用途(1)(1)判断某三角形是否为直角三角形；判断某三角形是否为直角三角形；(2)(2)证明两条线段垂直；证明两条线段垂直；(3)(3)解决生活实解决生活实际问题际问题勾股数勾股数能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数为勾股数a2＋＋b2＝＝c2 a2＋＋b2＝＝c2 考点考点3 3 互逆命题互逆命题 第第21讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦互逆互逆命题命题如果两个命题的题设和结论正好相反，我们如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其中一个叫做把其中一个叫做______，那么另一个叫做它，那么另一个叫做它的的______互逆互逆定理定理若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这个定理的这个定理的________，称这两个定理为互逆，称这两个定理为互逆定理定理原命题原命题 逆命题逆命题 逆定理逆定理 考点考点4 4 命题、定义、定理、公理命题、定义、定理、公理 第第21讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦定义定义在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义义命命题题定义定义判断一件事情的句子叫做命题判断一件事情的句子叫做命题分类分类正确的命题称为正确的命题称为________________错误的命题称为错误的命题称为________________组成组成每个命题都由每个命题都由____________和和____________两个部分组成两个部分组成公理公理公认的真命题称为公认的真命题称为________________定理定理除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证实，推理的过程称为实，推理的过程称为________________．经过证明的真命题称为．经过证明的真命题称为________________真命题真命题 假命题假命题 条件条件 结论结论 公理公理 证明证明 定理定理 第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例归类示例归类示例►　类型之一　利用勾股定理求线段的长度　类型之一　利用勾股定理求线段的长度命题角度：命题角度：1. 利用勾股定理求线段的长度；利用勾股定理求线段的长度；2. 利用勾股定理解决折叠问题．利用勾股定理解决折叠问题．例例1 [2011·黄石黄石] 将一个有将一个有45度角的三角板的直角顶点放度角的三角板的直角顶点放在一张宽为在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，度角，如图如图21－－1，则三角板的最大边的长为，则三角板的最大边的长为(　　　　)图图21－－1D 第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例变变式式题题[2012·广州广州] 在在Rt△△ABC中，中，∠∠C＝＝90°，，AC＝＝9，，BC＝＝12，则点，则点C到到AB的距离是的距离是(　　　　)A 第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例[ [解析解析] ] 根据题意画出相应的图形，如图所示：根据题意画出相应的图形，如图所示： 第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例 勾勾股股定定理理的的作作用用：：(1)(1)已已知知直直角角三三角角形形的的两两边边求求第第三三边边；；(2)(2)已已知知直直角角三三角角形形的的一一边边求求另另两两边边的的关关系系；；(3)(3)用用于证明平方关系的问题．于证明平方关系的问题．► ►　类型之二　实际问题中勾股定理的应用　类型之二　实际问题中勾股定理的应用命题角度：命题角度：1. 1. 求最短路线问题；求最短路线问题；2. 2. 求有关长度问题．求有关长度问题．第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例 例例2 如图如图21－－2，一个长方体形的木柜放在墙角处，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙与墙面和地面均没有缝隙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表处沿着木柜表面爬到柜角面爬到柜角C1处．处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当当AB＝＝4，，BC＝＝4，，CC1＝＝5时时，，求求蚂蚂蚁蚁爬爬过过的的最最短短路路径径的长；的长； (3)求点求点B1到最短路径的距离．到最短路径的距离． 第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例图图21－－2第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例 利利用用勾勾股股定定理理求求最最短短线线路路问问题题的的方方法法：：将将起起点点和和终终点点所所在在的的面面展展开开成成为为一一个个平平面面，，进进而而利利用用勾勾股股定定理理求求最最短长度．短长度． ► 类型之三类型之三 勾股定理逆定理的应用勾股定理逆定理的应用 例例3 3 [2012[2012··广西广西] ]已知三组数据：已知三组数据：①①2，，3，，4；；②②3，，4，，5；；③③1，，，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有长，构成直角三角形的有(　　　　)A．．②② B．．①②①②C．．①③①③ D．．②③②③第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例命题角度：命题角度：勾股定理逆定理．勾股定理逆定理．D 第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例[ [解析解析] ] 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．①∵①∵22＋＋32＝＝13≠42，，∴∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；合题意；②∵②∵32＋＋42＝＝52 ，，∴∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；意；③∵③∵12＋＋(√3)2＝＝22，，∴∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．意．故构成直角三角形的有故构成直角三角形的有②③②③. .故选故选D.D.第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例 判判断断是是否否能能构构成成直直角角三三角角形形的的三三边边，，判判断断的的方方法法是是：：判判断断两两个个较较小小的的数数的的平平方方和和是是否否等等于于最最大大数数的的平平方方即即可可判断．判断．► 类型之四类型之四 定义、命题、定理、反证法定义、命题、定理、反证法 例例4 4 [2012[2012··淄博淄博] ]下列命题为假命题的是下列命题为假命题的是(　　　　)A．三角形三个内角的和等于．三角形三个内角的和等于180°B．三角形两边之和大于第三边．三角形两边之和大于第三边C．三角形两边的平方和等于第三边的平方．三角形两边的平方和等于第三边的平方D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半半第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1．定义、命题、定理的含义；．定义、命题、定理的含义；2．区分命题的条件．区分命题的条件(题设题设)和结论；和结论；3．．逆逆命命题题的的概概念念，，识识别别两两个个互互逆逆命命题题，，并并知知道道原原命命题题成立其逆命题不一定成立．成立其逆命题不一定成立．C第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例 [ [解解析析] ] 选选项项A A和和B B中中的的命命题题分分别别为为三三角角形形的的内内角角和和定定理理与与三三角角形形三三边边关关系系定定理理，，均均为为真真命命题题；；对对于于选选项项C C，，只只有有直直角角三三角角形形中中两两直直角角边边的的平平方方和和等等于于斜斜边边的的平平方方，，而而其其他他三三角角形形的的三三边边都都不不具具有有这这一一关关系系，，因因此此是是假假命命题题；；选选项项D D中中的的命命题题是是三三角角形形的的面面积积计计算算公公式式，，也也是是真真命命题题，，故应选故应选C.C.变式题变式题[2011[2011··德州德州] ]下列命题中，其逆命题是真命题的是下列命题中，其逆命题是真命题的是________．．(只填写序号只填写序号)①①同旁内角互补，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；②②如果两个角是直角，那么它们相等；如果两个角是直角，那么它们相等；③③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④④如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、、b、、c满足满足a2＋＋b2＝＝c2，那么这个，那么这个三角形是直角三角形．三角形是直角三角形．第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例①④①④ 　[解析解析] ①①的逆命题：两直线平行，同旁内角互补，正确；的逆命题：两直线平行，同旁内角互补，正确；②②的的逆命题：相等的两个角是直角，错误；逆命题：相等的两个角是直角，错误；③③的逆命题：如果两个数的逆命题：如果两个数的平方相等，那么这两个数也相等，错误，如：的平方相等，那么这两个数也相等，错误，如：22＝＝(－－2)2，但，但2≠－－2；；④④的逆命题：如果一个三角形是直角三角形，则它的三边长的逆命题：如果一个三角形是直角三角形，则它的三边长a、、b、、c满足满足a2＋＋b2＝＝c2，正确．，正确．第第21讲讲┃┃ 归类示例归类示例 只只有有对对一一件件事事情情做做出出判判定定的的语语句句才才是是命命题题，，其其中中正正确确的的命命题题是是真真命命题题，，错错误误的的命命题题是是假假命命题题．．对对于于命命题题的的真真假假(正正误误)判判断断问问题题，，一一般般只只需需根根据据熟熟记记的的定定义义、、公公式式、、性性质质、、判判定定定定理理等等相相关关内内容容直直接接作作出出判判断断即即可可，，有有的的则则需需要要经过经过必要的推理与必要的推理与计计算才能算才能进进一步确定真与假．一步确定真与假．第第21讲讲┃┃ 回归教材回归教材巧用勾股定理探求面积关系　巧用勾股定理探求面积关系　 回归教材回归教材教材母题教材母题　　江苏科技版八上江苏科技版八上P68T6如图如图2121－－3 3，以，以RtRt△△ABCABC的三边为直径的的三边为直径的3 3个半圆的面个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．积之间有什么关系？请说明理由．图图2121－－3 3第第21讲讲┃┃ 回归教材回归教材第第21讲讲┃┃ 回归教材回归教材中考变式[2011[2011··贵阳贵阳] ] 如图如图2121－－4 4，已知等腰，已知等腰Rt△Rt△ABCABC的直角的直角边长为边长为1 1，以，以Rt△Rt△ABCABC的斜边的斜边ACAC为直角边，画第二个等为直角边，画第二个等腰腰Rt△Rt△ACDACD，再以，再以Rt△Rt△ACDACD的斜边的斜边ADAD为直角边，画第三为直角边，画第三个等腰个等腰Rt△Rt△ADEADE，，……，依此类推直到第五个等腰，依此类推直到第五个等腰Rt△Rt△AFGAFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为的面积为________________．．图图21－－4第第21讲讲┃┃ 回归教材回归教材第第22讲讲┃┃　相似三角形及其应用　相似三角形及其应用 第第22讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 相似图形的有关概念相似图形的有关概念 相似图形相似图形形状相同的图形称为相似图形形状相同的图形称为相似图形相似多边形相似多边形定义定义如果两个多边形满足对应角相等，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多对应边的比相等，那么这两个多边形相似边形相似相似比相似比相似多边形对应边的比称为相似相似多边形对应边的比称为相似比比k k相似三相似三角形角形两个三角形的对应角相等，对应边成比例，两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比则这两个三角形相似．当相似比k k＝＝1 1时，两时，两个三角形全等个三角形全等第第22讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 比例线段比例线段 定义定义防错提醒防错提醒比例比例线段线段对于四条线段对于四条线段a a、、b b、、c c、、d d，如果其中，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即长度的比相等，即________________________，那，那么，这四条线段叫做成比例线段，简么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段称比例线段求两条线段的比求两条线段的比时，对这两条线时，对这两条线段要用同一长度段要用同一长度单位单位黄金黄金分割分割段段ABAB上，点上，点C C把线段把线段ABAB分成两条分成两条线段线段ACAC和和BCBC( (ACAC＞＞BCBC) )，如果，如果________________，那么称线段，那么称线段ABAB被点被点C C黄金分割，点黄金分割，点C C叫做线段叫做线段ABAB的黄金分割点，的黄金分割点，ACAC与与ABAB的的比叫做黄金比，黄金比为比叫做黄金比，黄金比为________________一条线段的黄金一条线段的黄金分割点有分割点有____________个个a∶ ∶b＝＝c∶ ∶d　　 0.618 两两 考点考点3 3 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 第第22讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比段的比______________________推论推论平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边( (或两边的延长线或两边的延长线) )，所得的对应线段的，所得的对应线段的比比________________相等　相等　 相等　相等　 考点考点4 4 相似三角形的判定相似三角形的判定 第第22讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦判定定判定定理理1 1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形构成的三角形与原三角形________________判定定判定定理理2 2如果两个三角形的三组对应边的如果两个三角形的三组对应边的________________相等，相等，那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似判定定判定定理理3 3如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且________________________相等，那么这两个三角形相似相等，那么这两个三角形相似判定定判定定理理4 4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的如果一个三角形的两个角与另一个三角形的________________________，那么这两个三角形相似，那么这两个三角形相似拓展拓展直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似形与原直角三角形相似相似相似 比比 相应的夹角相应的夹角 两个角对应相等两个角对应相等考点考点5 5 相似三角形及相似多边形的性质相似三角形及相似多边形的性质 第第22讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦三角形三角形(1)(1)相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比(2)(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方(3)(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比中线的比等于相似比相似多相似多边形边形(1)(1)相似多边形周长的比等于相似比相似多边形周长的比等于相似比(2)(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方考点考点6 6 位似位似 第第22讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦位似图位似图形定义形定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心形，这个点叫做位形中心位似与位似与相相似关系似关系位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行位似图位似图形形的性质的性质(1)(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于比等于________________；；(2)(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于位似图形对应点的连线或延长线相交于________________点；点；(3)(3)位似图形对应边位似图形对应边______(______(或在一条直线上或在一条直线上) )；；(4)(4)位似图形对应角相等位似图形对应角相等相似比相似比 一一 平行平行 第第22讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦以坐标原以坐标原点为中心点为中心的位似的位似变换变换在平面直角坐标系中，如果位似是以原在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为点为位似中心，相似比为k k，那么位似图，那么位似图形对应点的坐标的比等于形对应点的坐标的比等于________________位似位似作图作图(1)(1)确定位似中心确定位似中心O O；；(2)(2)连接图形各顶点与位似中心连接图形各顶点与位似中心O O的线段的线段( (或延长线或延长线) )；；(3)(3)按照相似比取点；按照相似比取点；(4)(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的顺次连接各点，所得图形就是所求的图形图形k或－或－k 考点考点7 7 相似三角形的应用相似三角形的应用 第第22讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦几何图形几何图形的证明与的证明与计算计算常见常见问题问题证明线段的数量关系，求线段的长证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等度，图形的面积大小等相似三角相似三角形在实际形在实际生活中的生活中的应用应用建模建模思想思想建立相似三角形模型建立相似三角形模型常见常见题目题目类型类型(1)(1)利用投影，平行线，标杆等构利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解；造相似三角形求解；(2)(2)测量底部可以达到的物体的高测量底部可以达到的物体的高度；度；(3)(3)测量底部不可以到达的物体的测量底部不可以到达的物体的高度；高度；(4)(4)测量不可以达到的河的宽度测量不可以达到的河的宽度第第22讲讲┃┃ 归类示例归类示例归类示例归类示例►　类型之一　比例线段　类型之一　比例线段 命题角度：命题角度：1. 比例线段；比例线段；2. 黄金分割在实际生活中的应用；黄金分割在实际生活中的应用；3. 平行线分线段成比例定理．平行线分线段成比例定理．例例1 [2011·肇庆肇庆 ]如图如图22－－1，已知直线，已知直线a∥ ∥b∥ ∥c，直线，直线m、、n与与a、、b、、c分别交于点分别交于点A、、C、、E、、B、、D、、F，，AC＝＝4，，CE＝＝6，，BD＝＝3，则，则BF＝＝(　　　　) A．．7　　　　　　B．．7.5　　　　C．．8　　　　　　D．．8.5 B 图图22－－1第第22讲讲┃┃ 归类示例归类示例► ►　类型之二　　类型之二　　　相似三角形的性质及其应用相似三角形的性质及其应用 命题角度：命题角度：1. 1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2. 2. 利用相似三角形性质探求比值关系．利用相似三角形性质探求比值关系．第第22讲讲┃┃ 归类示例归类示例 例例2 [2011·怀化怀化] 如图如图22－－2，，△△ABC是一张锐角三角形是一张锐角三角形的硬纸片，的硬纸片，AD是边是边BC上的高，上的高，BC＝＝40 cm，，AD＝＝30 cm，，从这张硬纸片上剪下一个长从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽是宽HE的的2倍的矩形倍的矩形EFGH，使它的一边，使它的一边EF在在BC上，顶点上，顶点G、、H分别在分别在AC，，AB上，上，AD与与HG的交点为的交点为M.(1)求证：求证： ；； (2)求这个矩形求这个矩形EFGH的周长．的周长． 第第22讲讲┃┃ 归类示例归类示例图图22－－2第第22讲讲┃┃ 归类示例归类示例► 类型之三类型之三 三角形相似的判定方法及其应用三角形相似的判定方法及其应用 例例3 3 [2012[2012··凉山州凉山州] ]如图如图22－－3，在矩形，在矩形ABCD中，中，AB＝＝6，，AD＝＝12，点，点E在在AD边上，且边上，且AE＝＝8，，EF⊥⊥BE交交CD于于F.(1)求证：求证：△△ABE∽△∽△DEF；；(2)求求EF的长．的长．第第22讲讲┃┃ 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1．利用两个角判定三角形相似；．利用两个角判定三角形相似；2．利用两边及夹角判定三角形相似；．利用两边及夹角判定三角形相似；3．利用三边判定三角形相似．利用三边判定三角形相似. 图图22－－3第第22讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第22讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第22讲讲┃┃ 归类示例归类示例 判判定定两两个个三三角角形形相相似似的的常常规规思思路路：：①①先先找找两两对对对对应应角角相相等等；；②②若若只只能能找找到到一一对对对对应应角角相相等等，，则则判判断断相相等等的的角角的的两两夹夹边边是是否否对对应应成成比比例例；；③③若若找找不不到到角角相相等等，，就就判判断断三三边边是是否否对对应应成成比比例例，，否否则则可可考考虑虑平平行行线线分分线线段段成成比比例定理及相似三角形的例定理及相似三角形的““传递性传递性””．．► 类型之四类型之四 位似位似 例例4 4 [2012[2012··玉林玉林] ]如图如图22－－5，正方形，正方形ABCD的两边的两边BC，，AB分别在平面直角坐标系的分别在平面直角坐标系的x轴、轴、y轴的正半轴上，正方形轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形与正方形ABCD是以是以AC的中点的中点O′为中心的位似图为中心的位似图形，已知形，已知AC＝＝3√2，若点，若点A′的坐标为的坐标为(1，，2)，则正方形，则正方形A′B′C′D′与正方形与正方形ABCD的相似比是的相似比是(　　　　)第第22讲讲┃┃ 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 位似图形及位似中心定义；位似图形及位似中心定义；2. 位似图形的性质应用；位似图形的性质应用；3. 利用位似变换在网格纸里作图．利用位似变换在网格纸里作图．图图22－－5B 第第22讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第23讲讲┃┃　锐角三角函数　锐角三角函数 第第23讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义 第第23讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 αsinαcosαtanα30°45°60°考点考点3 3 解直角三角形解直角三角形 第第23讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦解直角三角解直角三角形的定义形的定义在直角三角形中，除直角外，共有在直角三角形中，除直角外，共有5 5个个元素，即元素，即3 3条边和条边和2 2个锐角．由这些元个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形元素的过程叫做解直角三角形第第23讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦解直角三角解直角三角形的常用关形的常用关系系在在Rt△△ABC中，中，∠∠C＝＝90°，则：，则：(1)三边关系：三边关系：a2＋＋b2＝＝________；；(2)两锐角关系：两锐角关系：∠∠A＋＋∠∠B＝＝________；；(3)边与角关系：边与角关系：sinA＝＝cosB＝＝________，，cosA＝＝sinB＝＝________，，tanA＝＝________；；(4)sin2A＋＋cos2A＝＝1解直角三角解直角三角形的题目类形的题目类型型(1)已知斜边和一个锐角；已知斜边和一个锐角；(2)已知一直角边和一个锐角；已知一直角边和一个锐角；(3)已知斜边和一直角边已知斜边和一直角边(如已知如已知c和和a)；；(4)已知两条直角边已知两条直角边a，，bc2 90° 第第23讲讲┃┃ 归类示例归类示例归类示例归类示例►　类型之一　求三角函数值　类型之一　求三角函数值 命题角度：命题角度：1. 正弦值的计算；正弦值的计算；2. 余弦值的计算；余弦值的计算；3. 正切值的计算．正切值的计算． 例例1 [2012·内江内江] 如图如图23－－1所示，所示，△△ABC的顶点是正方的顶点是正方形网格的格点．则形网格的格点．则sinA的值为的值为(　　　　)B 图图2323－－1 1第第23讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第23讲讲┃┃ 归类示例归类示例 解解决决与与网网格格有有关关的的三三角角函函数数求求值值题题的的基基本本思思路路是是从从所所给给的的图图形形中中找找出出直直角角三三角角形形，，确确定定直直角角三三角角形形的的边边长长，，依据三角函数的定义进行求解．依据三角函数的定义进行求解．► ►　类型之二　　类型之二　　　特殊锐角的三角函数值的应用特殊锐角的三角函数值的应用 命题角度：命题角度：1. 301. 30°°、、4545°°、、6060°°的三角函数值；的三角函数值；2. 2. 已知特殊三角函数值，求角度．已知特殊三角函数值，求角度．第第23讲讲┃┃ 归类示例归类示例 例例2 [2012·济宁济宁]75° 第第23讲讲┃┃ 归类示例归类示例► 类型之三类型之三 解直角三角形解直角三角形 例例3 3 [2012[2012··淮安淮安] ] 如图如图23－－2，， △△ABC中，中，∠∠C＝＝90°，，点点D在在AC上，已知上，已知∠∠BDC＝＝45°，，BD＝＝10√2，，AB＝＝20.求求∠∠A的度数．的度数．第第23讲讲┃┃ 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 利用三角函数解直角三角形；利用三角函数解直角三角形；2. 将斜三角形或不规则图形化归为直角三角形．将斜三角形或不规则图形化归为直角三角形． 图图23－－2第第23讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第23讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第23讲讲┃┃ 归类示例归类示例 作作三三角角形形的的高高，，将将非非直直角角三三角角形形转转化化为为直直角角三三角角形形，，是解直角三角形常用的方法．是解直角三角形常用的方法．第第24讲讲┃┃　解直角三角形及其应用　解直角三角形及其应用 第第24讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点 解直角三角形的应用常用知识解直角三角形的应用常用知识 h∶ ∶l 越陡越陡 仰角仰角和俯和俯角角仰角仰角俯角俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，视线在水平线下方平线上方的叫仰角，视线在水平线下方的叫俯角的叫俯角坡度坡度和坡和坡角角坡度坡度坡面的铅直高度坡面的铅直高度h h和水平宽度和水平宽度l l的比叫做的比叫做坡面的坡度坡面的坡度( (或坡比或坡比) )，记作，记作i i＝＝________坡角坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作αα. .i i＝＝tantanαα，坡度越大，，坡度越大，αα角越大，坡角越大，坡面面________________第第24讲讲┃┃ 考点聚焦考点聚焦方向角方向角( (或或方位角方位角) )定义定义指北或指南方向线与目标方向线指北或指南方向线与目标方向线所成的小于所成的小于9090°°的水平角叫做方的水平角叫做方向角向角图例图例第第24讲讲┃┃ 归类示例归类示例归类示例归类示例►　类型之一　利用直角三角形解决和高度　类型之一　利用直角三角形解决和高度(或宽度或宽度)有关的问题有关的问题命题角度：命题角度：1. 计算某些建筑物的高度计算某些建筑物的高度(或宽度或宽度)；；2. 将实际问题转化为直角三角形问题．将实际问题转化为直角三角形问题．例例1 [2012·凉山州凉山州 ]某校学生去春游，在风景区看到一棵汉某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：小明：我站在此处看树顶仰角为小明：我站在此处看树顶仰角为45°.小华：我站在此处看树顶仰角为小华：我站在此处看树顶仰角为30°.小明：我们的身高都是小明：我们的身高都是1.6 m.小华：我们相距小华：我们相距20 m.请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度．请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度．(参考数据：参考数据：√2≈1.414，，√3≈1.732，结果保留三个有效数字，结果保留三个有效数字) 第第24讲讲┃┃ 归类示例归类示例[ [解析解析] ] 画出如图示意图，延长画出如图示意图，延长BCBC交交DADA于于E.E.设设AEAE的长的长为为x x米，在米，在RtRt△ACE△ACE中，求得中，求得CECE＝＝AEAE，然后在，然后在RtRt△ABE△ABE中求得中求得BEBE，利用，利用BEBE－－CECE＝＝BCBC，解得，解得AEAE，则，则ADAD＝＝AEAE＋＋DE.DE.第第24讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第24讲讲┃┃ 归类示例归类示例在在实实际际测测量量高高度度、、宽宽度度、、距距离离等等问问题题中中，，常常结结合合视视角角知知识识构构造造直直角角三三角角形形，，利利用用三三角角函函数数或或相相似似三三角角形形来来解解决决问题问题．常．常见见的构造的基本的构造的基本图图形有如下几种：形有如下几种：图图24－－1 ①①不同地点看同一点不同地点看同一点第第24讲讲┃┃ 归类示例归类示例图图24－－2 ②②同一地点看不同点同一地点看不同点 ③③利用反射构造相似利用反射构造相似 图图24－－3► ►　类型之二　　类型之二　　　利用直角三角形解决航海问题利用直角三角形解决航海问题 命题角度：命题角度：1. 1. 利用直角三角形解决方位角问题；利用直角三角形解决方位角问题；2. 2. 将实际问题转化为直角三角形问题．将实际问题转化为直角三角形问题．第第24讲讲┃┃ 归类示例归类示例 例例2 [2012·连云港连云港]已知已知B港口位于港口位于A观测点北偏东观测点北偏东53.2°方向，且其到方向，且其到A观测点正北方向的距离观测点正北方向的距离BD的长为的长为16 km.一一艘货轮从艘货轮从B港口以港口以40 km/h的速度沿如图所示的的速度沿如图所示的BC方向航行，方向航行，15 min后到达后到达C 处．现测得处．现测得C处位于处位于A观测点北偏东观测点北偏东79.8°方方向．求此时货轮与向．求此时货轮与A观测点之间的距离观测点之间的距离AC的长的长(精确到精确到0.1 km，参考数据：，参考数据：sin53.2°≈0.80，，cos53.2°≈0.60，，sin79.8°≈0.98，，cos79.8°≈0.18，，tan26.6°≈0.50，，√2≈1.41，，√5≈2.24)第第24讲讲┃┃ 归类示例归类示例图图24－－4[ [解析解析] ] 利用锐角三角函数先求出利用锐角三角函数先求出ABAB长，长，再通过点再通过点B B作作ACAC的垂线，结合勾股定理求的垂线，结合勾股定理求解．解．第第24讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第24讲讲┃┃ 归类示例归类示例 有有关关解解直直角角三三角角形形的的实实际际问问题题，，一一般般需需要要利利用用方方向向角等构造直角三角形解决．角等构造直角三角形解决．► 类型之三类型之三 利用直角三角形解决坡度问题利用直角三角形解决坡度问题 例例3 3 [2012[2012··衡阳衡阳] ]如图如图24－－5，一段河坝的横断面为梯形，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽，试根据图中的数据，求出坝底宽AD.(i＝＝CE∶ ∶ED，，单位：单位：m)第第24讲讲┃┃ 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 利用直角三角形解决坡度问题；利用直角三角形解决坡度问题；2. 将实际问题转化为直角三角形问题．将实际问题转化为直角三角形问题．图图24－－5第第24讲讲┃┃ 归类示例归类示例 [ [解析解析] ] 作作BF⊥ADBF⊥AD于点于点F F，在直角，在直角△△ABFABF中利用勾股定理即可求得中利用勾股定理即可求得AFAF的长，的长，在直角在直角△△CEDCED中，利用坡比的定义即可求中，利用坡比的定义即可求得得EDED的长度，进而即可求得的长度，进而即可求得ADAD的长．的长． 第第24讲讲┃┃ 归类示例归类示例第第24讲讲┃┃ 回归教材回归教材热气球测楼高　热气球测楼高　 回归教材回归教材教材母题教材母题　　江苏科技版九下江苏科技版九下P55P55问题问题2 2 为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为某点处观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前，然后他向气球方向前进了进了50 m，此时观测气球，测得仰角为，此时观测气球，测得仰角为40°.若小明的眼若小明的眼睛离地面睛离地面1.6 m，小明如何计算气球的高度呢，小明如何计算气球的高度呢(精确到精确到0.1 m)?第第24讲讲┃┃ 回归教材回归教材 [解析解析]如图如图24－－6，点，点C表示气球的位置，点表示气球的位置，点A、、B表示小明两次观测气球的位置，点表示小明两次观测气球的位置，点A、、B、、D在一条在一条直线上直线上. CD⊥⊥AD，，CD的长与小明的眼睛离地面的的长与小明的眼睛离地面的高度的和即为所求的气球的高度．高度的和即为所求的气球的高度．要计算要计算CD，可以利用，可以利用Rt△△ACD及及Rt△△BCD，先，先找出找出BD、、CD与已知量的数量关系，再计算与已知量的数量关系，再计算CD.图图24－－6第第24讲讲┃┃ 回归教材回归教材第第24讲讲┃┃ 回归教材回归教材 [点析点析]通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题，通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的常规思路．常规思路．第第24讲讲┃┃ 回归教材回归教材中考变式[2012·扬州扬州] 如图如图24－－7，一艘巡逻艇航行至海面，一艘巡逻艇航行至海面B处处时，得知正北方向上距时，得知正北方向上距B处处20海里的海里的C处有一渔船发处有一渔船发生故障，就立即指挥港口生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往处的救援艇前往C处营救处营救. 已知已知C处位于处位于A处的北偏东处的北偏东45°的方向上，港口的方向上，港口A处位处位于于B处的北偏西处的北偏西30°的方向上的方向上. 求求A、、C两处之间的距离两处之间的距离．．(结果精确到结果精确到0.1 海里海里. 参考数据：参考数据：≈1.41，，≈1.73)第第24讲讲┃┃ 回归教材回归教材图图24－－7[解析解析] △△ABC不是直角三角形，可过点不是直角三角形，可过点A作作AD⊥ ⊥BC于点于点D，，构造构造Rt△△ACD和和Rt△△ABD.设两直角三角形的公共边设两直角三角形的公共边AD＝＝x，，分别解分别解Rt△△ACD和和Rt△△ABD，用含，用含x的代数式分别表示的代数式分别表示CD和和BD的长，根据的长，根据CD＋＋BD＝＝BC＝＝20建立方程可求得建立方程可求得x的值，再的值，再在在Rt△△ACD中求得中求得AC的长．的长．第第24讲讲┃┃ 回归教材回归教材。