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第五章第五章弯曲应力弯曲应力 1 1．．掌掌握握梁梁弯弯曲曲时时横横截截面面上上正正应应力力的的分分布布规规律律及及相应的强度条件；相应的强度条件； 2 2．．了解了解弯曲时横截面上切应力的分布规律；弯曲时横截面上切应力的分布规律； 3 3．．了解了解提高梁弯曲强度的一些措施提高梁弯曲强度的一些措施基本要求基本要求9/16/20241§5-1 §5-1 基本概念基本概念1 1．中性层和中性轴．中性层和中性轴MM9/16/20242横弯曲横弯曲：：（（AC、、DB段）段） Fs≠0，， M≠0纯弯曲纯弯曲：：（（CD段）段） Fs = 0，，M≠02 2．横弯曲和纯弯曲．横弯曲和纯弯曲FFaABCDaFFFaM+FFsF+- 9/16/20243 变形现象变形现象：（：（1 1）横线仍是直线，）横线仍是直线，只是发生相对转动，但仍与纵线只是发生相对转动，但仍与纵线正交 （（2 2）纵线弯曲成曲线，）纵线弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短且梁的一侧伸长，另一侧缩短 平面假设平面假设：梁变形后，横截面：梁变形后，横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度。

过一个角度一．试验与假设一．试验与假设§5-2§5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 9/16/20244需讨论需讨论：：①①正应力沿高度方向的分布规律；正应力沿高度方向的分布规律； ② ②各点正应力的大小各点正应力的大小基本假设基本假设：：①①纵向纤维间互不挤压（无挤压应力）；纵向纤维间互不挤压（无挤压应力）； ② ② 平面假设平面假设二．弯曲正应力公式二．弯曲正应力公式9/16/20245 分分分分析析析析梁梁梁梁横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的正正正正应应应应力力力力，，，，就就就就是是是是要要要要确确确确定定定定梁梁梁梁横横横横截截截截面面面面上上上上各各各各点点点点的的的的正正正正应应应应力力力力与与与与弯弯弯弯矩矩矩矩、、、、横横横横截截截截面面面面的的的的形形形形状状状状和和和和尺尺尺尺寸寸寸寸之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系由由由由于于于于横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的应应应应力力力力是是是是看看看看不不不不见见见见的的的的，，，，而而而而梁梁梁梁的的的的变变变变形形形形是是是是可可可可以以以以看看看看见见见见的的的的，，，，应应应应力力力力又又又又和和和和变变变变形形形形有有有有关关关关，，，，因因因因此此此此，，，，可可可可以以以以根根根根据据据据梁梁梁梁的的的的变变变变形形形形情情情情形推知梁横截面上的正应力分布形推知梁横截面上的正应力分布形推知梁横截面上的正应力分布形推知梁横截面上的正应力分布。

应力分布应力分布应力分布应力分布应力公式应力公式应力公式应力公式变变变变 形形形形应变分布应变分布应变分布应变分布平面假定平面假定平面假定平面假定物理关系物理关系物理关系物理关系静力静力静力静力 方程方程方程方程9/16/20246MMr rdq qyaaooaayoodx线段线段线段线段 aaaa 正正正正应变应变应变应变 表明表明：：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布面高度线性分布 建立坐标系：建立坐标系：x————截面外法线截面外法线y————截面对称轴截面对称轴z————中性轴中性轴 1 1、变形几何关系、变形几何关系9/16/20247对于线弹性材料，有胡克定律对于线弹性材料，有胡克定律 表明表明：纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到：纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离中性轴的垂直距离 y 成正比，即成正比，即正应力沿着截面高度按正应力沿着截面高度按线性分布线性分布 2 2、物理关系、物理关系9/16/20248 表表表表明明明明：：：：中中中中性性性性轴轴轴轴 z z 通通通通过过过过截截截截面面面面形形形形心，并且垂直于对称轴。

心，并且垂直于对称轴心，并且垂直于对称轴心，并且垂直于对称轴EIz——截面的截面的抗弯刚度抗弯刚度 3 3、静力关系、静力关系9/16/20249 实际计算中，可根据截面上弯矩的方向，直实际计算中，可根据截面上弯矩的方向，直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生压应力，而不必计及压应力，而不必计及M和和 y 的正负 纯弯曲时正应力计算公式纯弯曲时正应力计算公式 9/16/202410§5-3 §5-3 横力弯曲时正应力横力弯曲时正应力——抗弯截面系数抗弯截面系数一．最大弯曲正应力一．最大弯曲正应力9/16/202411yzbhzydzydD 抗弯截面系数抗弯截面系数9/16/202412 强强度度计计算算步步骤骤：：（（1 1））求求支支反反力力并并画画内内力力图图2 2））判判断断梁梁的的危危险险截截面面和和危危险险点点3 3））求求截截面面图图形形的的静静矩矩和和惯惯性性矩矩等等4 4））计计算算危危险险点点的的应应力力5 5））列列出出强强度度条条件，进行强度计算件，进行强度计算 利利用用强强度度条条件件，，可可进进行行强强度度校校核核、、截截面面设设计计、、确确定定许许可载荷可载荷。

二．弯曲强度条件二．弯曲强度条件脆性材料脆性材料塑性材料塑性材料9/16/202413 例例例例5-15-15-15-1 矩矩矩矩形形形形截截截截面面面面简简简简支支支支梁梁梁梁承承承承受受受受均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用已已已已知知知知：：：：矩矩矩矩形形形形的的的的宽宽宽宽度度度度b=20mmb=20mm，，，，高高高高度度度度h h＝＝＝＝30mm30mm；；；；均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷集集集集度度度度q q＝＝＝＝10 10 kN/mkN/m ；；；；梁梁梁梁的的的的长长长长度度度度l l＝＝＝＝450mm450mm求求求求：：：：梁梁梁梁最最最最大大大大弯矩截面上弯矩截面上弯矩截面上弯矩截面上1 1、、、、2 2两点处的正应力两点处的正应力两点处的正应力两点处的正应力 l9/16/202414lFRAFRB2. 2. 2. 2. 计算惯性矩计算惯性矩计算惯性矩计算惯性矩解：解：解：解：1. 1. 1. 1. 计算最大弯矩计算最大弯矩计算最大弯矩计算最大弯矩9/16/202415于是弯矩最大截面上，于是弯矩最大截面上，于是弯矩最大截面上，于是弯矩最大截面上，1 1、、、、2 2两点的正应力分别为两点的正应力分别为两点的正应力分别为两点的正应力分别为 均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用在在在在纵纵纵纵向向向向对对对对称称称称面面面面内内内内，，，，因因因因此此此此横横横横截截截截面面面面的的的的水水水水平平平平对对对对称称称称轴轴轴轴( (x x) )就就就就是是是是中中中中性性性性轴轴轴轴。

根根根根据据据据弯弯弯弯矩矩矩矩最最最最大大大大截截截截面面面面上上上上弯弯弯弯矩矩矩矩的的的的方方方方向向向向，，，，可可可可以以以以判判判判断断断断：：：：1 1点点点点受受受受拉拉拉拉应应应应力力力力，，，，2 2点点点点受受受受压压压压应应应应力l9/16/202416 例例5-2 图示悬臂梁，自由端承受集中载荷图示悬臂梁，自由端承受集中载荷 F=15kN作用，试计算截面作用，试计算截面B－－B的最大弯曲拉应力与最大弯曲的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力BF400B1202012020yCzy截面截面B－－B9/16/202417BF400B1202012020yCzy截面截面B－－B解：解：1、确定形心位置、确定形心位置2、计算惯性矩、计算惯性矩3、计算、计算B截面的应力截面的应力9/16/202418 例例例例5-35-35-35-3 圆圆圆圆轴轴轴轴在在在在A A、、、、B B两两两两处处处处的的的的滚滚滚滚珠珠珠珠轴轴轴轴承承承承可可可可以以以以简简简简化化化化为为为为铰铰铰铰链链链链支支支支座座座座；；；；轴轴轴轴的的的的外外外外伸伸伸伸部部部部分分分分BDBD是是是是空空空空心心心心的的的的。

轴轴轴轴的的的的直直直直径径径径和和和和其其其其余余余余尺尺尺尺寸寸寸寸以以以以及及及及轴轴轴轴所所所所承承承承受受受受的的的的载载载载荷荷荷荷都都都都标标标标在在在在图图图图中中中中已已已已知知知知的的的的拉拉拉拉伸伸伸伸和和和和压压压压缩缩缩缩的的的的许许许许用用用用应应应应力力力力相相相相等等等等试试试试分分分分析析析析：圆轴的强度是否安全圆轴的强度是否安全圆轴的强度是否安全圆轴的强度是否安全 M(KNm)+-1.170 . 99/16/202419F FRARA＝＝＝＝2.93kN 2.93kN F FRBRB=5.07 =5.07 kNkN解：解：解：解：1. 1. 1. 1. 确定约束力确定约束力确定约束力确定约束力 MMC C＝＝＝＝1.17 1.17 kNkN   mm M MB B＝＝＝＝- - - -0.9 0.9 kNkN   mm 2. 2. 2. 2. 画画画画弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图，，，，判判判判断断断断可可可可能的危险截面能的危险截面能的危险截面能的危险截面 M(KNm)+-1.170 . 93.3.3.3.计算危险截面上的最大正应力计算危险截面上的最大正应力计算危险截面上的最大正应力计算危险截面上的最大正应力 C C C C截面：截面：截面：截面：F FRARAF FRBRB9/16/202420B B B B以右的截面：以右的截面：以右的截面：以右的截面：因此，圆轴的强度是安全的。

因此，圆轴的强度是安全的因此，圆轴的强度是安全的因此，圆轴的强度是安全的 M(KNm)+-1.170 . 9C C C C截面：截面：截面：截面：9/16/202421 例例5-45-4 简简支支梁梁在在跨跨中中受受集集中中载载荷荷F=30kN，，l=8m，，[ [s s] ]=120MPa （（1 1））试为梁选择工字钢型号试为梁选择工字钢型号 （（2 2））当当F提提高高为为40kN时时，，原原工工字字钢钢型型号号不不变变，，试试问问采采取取什么措施使梁仍能满足强度条件什么措施使梁仍能满足强度条件Fl/2l/2AB9/16/202422Fl/2l/2AB解：（解：（1）选择工字钢的型号）选择工字钢的型号选选28a工字钢，工字钢，（（2）当）当P=40KN时，时，Bl/2l/2AFa/2 a/2CD方法一，加付梁，设总方法一，加付梁，设总长为长为a)M9/16/202423 方法二，焊接一长度为方法二，焊接一长度为a，，截面为截面为80mm*10mm的的钢板条钢板条Fl/2l/2AB9/16/202424 例例5-55-5 T T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图 所示。

铸铁所示铸铁的抗拉许用应力为的抗拉许用应力为[ [s st t] ]=30MPa，，抗压许用应力为抗压许用应力为[ [s sc c] ]=160MPa已知截面对形心轴已知截面对形心轴z z的惯性矩为的惯性矩为Iz=763cm4，且，且y1=52mm试试核核核梁的强度核梁的强度ABF1 =9KNF2 =4KN1m1m1mCD802012020y2y1zFRB =10.5KNFRA =2.5KN M(KNm)+-2.549/16/202425§5-4 §5-4 弯曲切应力弯曲切应力 （（1 1））横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪力横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪力2 2））切应力沿截面宽度均匀分布切应力沿截面宽度均匀分布基本假设基本假设9/16/202426dxbdxABzdxbhOyyt tt tt t’s s dAFN1FN2dxM+dMMs s dAy1Fs9/16/202427bhzyFst tyt tmax一、矩形截面梁的横弯曲切应力一、矩形截面梁的横弯曲切应力9/16/202428hh0yzbb0t tmint tmax可以从型钢表中查得可以从型钢表中查得。

对于轧制的工字钢对于轧制的工字钢 二、工字形截面梁横的弯曲切应力二、工字形截面梁横的弯曲切应力9/16/202429t tmaxyzFs三、圆截面梁的弯曲切应力三、圆截面梁的弯曲切应力9/16/202430当梁的跨度较小或载荷靠近支座时，焊接或铆接的当梁的跨度较小或载荷靠近支座时，焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层）等，还需进行弯曲剪应力强度纹方向，胶合梁的胶合层）等，还需进行弯曲剪应力强度校核 一般先按一般先按正应力的强度条件正应力的强度条件选择截面的尺寸和选择截面的尺寸和形状，然后按形状，然后按切应力强度切应力强度条件校核条件校核 四．弯曲切应力强度条件四．弯曲切应力强度条件9/16/202431 例例5-6 5-6 如图所示简易起重机梁，用工字钢制如图所示简易起重机梁，用工字钢制成若载荷成若载荷F=20KN，，并可沿梁轴移动，试选择工字并可沿梁轴移动，试选择工字钢型号已知梁的跨度钢型号已知梁的跨度l=6m，，许用应力许用应力[ [s s] ]=100MPa，，许用切应力许用切应力[ [t t] ]=60MPa。

FlABh h9/16/202432FlABh h解：（解：（1）内力分析）内力分析选选28a工字钢，工字钢，（（2）按正应力强度条件选择截面）按正应力强度条件选择截面（（3）校核切应力强度）校核切应力强度9/16/202433 例例5-7 5-7 画出图示结构的剪力图和弯矩图，并画出图示结构的剪力图和弯矩图，并求梁中横截面上的最大正应力和最大切应力求梁中横截面上的最大正应力和最大切应力50cm50cmAC50cm3KNm4KN/mBD1002525100252.5KN0.5KNFs（（KN））M（（KNm））2.521. 251. 75+-+0. 5解：解：1、画出剪力和、画出剪力和弯矩图；弯矩图；9/16/202434yC =42.5mmD截面上侧有最大拉应力：截面上侧有最大拉应力：D截面下侧有最大压应力：截面下侧有最大压应力：100252510025yCCzy2、计算截面形心和对中性轴的惯性矩；、计算截面形心和对中性轴的惯性矩；3、计算最大正应力；、计算最大正应力；M（（KNm））1. 251. 75-+0. 5ADC50cm50cmAC50cm3KNm4KN/mBD2.5KN0.5KN9/16/202435100252510025yCCz 最大剪应力出现在最大剪应力出现在AB段段的中性层上。

的中性层上Fs（（KN））2.52+4、计算最大切应力；、计算最大切应力；50cm50cmAC50cm3KNm4KN/mBD2.5KN0.5KN9/16/202436§5-5 §5-5 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施•一．减小最大弯矩一．减小最大弯矩•二．提高抗弯截面系数二．提高抗弯截面系数 •三．提高材料的力学性能三．提高材料的力学性能 9/16/2024371 1．改变加载的位置或加载方式．改变加载的位置或加载方式 2 2．改变支座的位置．改变支座的位置一．减小最大弯矩一．减小最大弯矩F9/16/202438合理布置支座合理布置支座9/16/2024391．选用合理的截面形状．选用合理的截面形状 二．提高抗弯截面系数二．提高抗弯截面系数zyzzyyCCCzyC脆性材料脆性材料 塑性材料塑性材料 9/16/202440合理设计截面合理设计截面9/16/202441合理放置截面合理放置截面9/16/2024422．用变截面梁（等强度梁．用变截面梁（等强度梁 ））9/16/202443阶梯轴阶梯轴 9/16/202444•构件选用何种材料，应综合考虑安全、经济等因素。

构件选用何种材料，应综合考虑安全、经济等因素•低合金钢如低合金钢如16Mn、、15MnTi代替普通钢；代替普通钢；•球墨铸铁代替钢材制造曲轴和齿轮球墨铸铁代替钢材制造曲轴和齿轮 三．提高材料的力学性能三．提高材料的力学性能9/16/202445本本 章章 小小 结结 1．基本概念：．基本概念： 纯弯曲、横弯曲、中性层、中性轴纯弯曲、横弯曲、中性层、中性轴3．弯曲．弯曲切切应力应力（（了解了解）） 2．弯曲正应力．弯曲正应力 （（1））计算公式计算公式（（2））分布规律分布规律 沿截面高度，弯曲正应力按线沿截面高度，弯曲正应力按线性性规律变化规律变化正负由弯矩方向判定正负由弯矩方向判定））9/16/2024465．提高构件弯曲强度的主要措施是：．提高构件弯曲强度的主要措施是：减小最大弯矩；提高抗弯截面系数和材料性能减小最大弯矩；提高抗弯截面系数和材料性能4．正应力的强度条件．正应力的强度条件（（1）塑性材料）塑性材料（（2）脆性材料）脆性材料特别注意：截面特别注意：截面形状形状为非对称时为非对称时梁的危险点的确定梁的危险点的确定9/16/202447本本 章章 作作 业业 P1665-1、、5-4、、5-5、、5-11、、5-12、、5-16、、5-175-21、、9/16/202448。