[微积分Ⅱ]8-5 场的方向导数与梯度.pdf

微积分讲课提纲 微积分（ II） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@ 第五节 场的方向导数与梯度 第八章 多元函数微分学 一、场的概念 二、场的方向导数 三、梯度 一、场的概念 在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个 场 如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场等 如果这个量是数量我们称该场为 数量场 ；如果这个量是矢量，则称该场为 矢量场 如果场与时间无关，称为 静态场 (稳定场 )，反之为 时变场(不稳定场 )在直角坐标轴上的投影表示是某个空间区域，来表示，这里或的矢量函数：矢量场可以用点是某个空间区域来表示，这里或的数量函数数量场可以用点AAAAVVzyxPkPAjPAiPAAPAAzyxPVVzyxPzyxuuPuuzyxPzyxzyx,,),,(,)()()()(),,(),,(),,()(:),,(从数学上看，场是定义在空间区域上的函数 为了直观表示场在空间的变化，经常使用场的等值面来表示所谓 等值面 是标量场为同一数值各点在空间形成的曲面。

  Czyxu ,,导体等电位面 标量场的等值面  .,,过有且只有一张等值面通中任意一点，的单值性知，对于由 Vzyx .,)(,,)(,)(它称为等值线或等位线为一曲线则即给定在平面区域上若数量场CPuyxuPuPu实例 ：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)， (5,1)， (1,3)， (5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在 (3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的 实质 ：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行． 二、场的方向导数 讨论函数 在一点 P沿某一方向的变化率问题． ),( yxfz ．引射线内有定义，自点的某一邻域在点设函数lPPUyxPyxfz)(),(),().(),(,pUPlyyxxPlx上的另一点且为并设为的转角轴正向到射线设（如图） oyxPylxP || PP ,)()( 22 yx ),,(),( yxfyyxxfz 且当 沿着 趋于 时， P Pl),(),(lim0yxfyyxxf ,z考虑是否存在？ .),(),(lim0 yxfyyxxflf 依定义，函数 ),( yxf 在点 P 沿着 x 轴正向 }0,1{1 e、y 轴正向 }1,0{2 e的方向导数分别为 yx ff , ； 沿着 x 轴负向、 y 轴负向的方向导数是 yx ff  , .的方向导数．沿方向则称这极限为函数在点存在，时，如果此比值的极限趋于沿着当之比值，两点间的距离与函数的增量定义lPPlPyxPPyxfyyxxf22)()(),(),(记为 定理　如果函数 ),( yxfz  在点 ),( yxP 是可微分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有  s inc o syfxflf，其中  为 x 轴到方向 L 的转角．证明 由于函数可微，则增量可表示为 )(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 两边同除以 , 得到 cos sin)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向导数 ),(),(lim0yxfyyxxf .s i nc o s  yfxf lf例 求函数 yxez 2 在点 )0,1(P 处沿从点 )0,1(P 到点 )1,2( Q 的方向的方向导数 . 解 故 x 轴到方向 l的转角 4 .;1)0,1(2)0,1( yexz ,22 )0,1(2)0,1( yxeyz所求方向导数)4s i n(2)4c o s ( lz .22这里方向 l 即为 }1,1{ PQ ,例 求函数22),( yxyxyxf  在点（ 1 ， 1 ）沿与 x 轴方向夹角为  的方向射线 l的方向导数 . 并问在怎样的方向上此方向导 数有 （ 1 ）最大值； （ 2 ）最小值； （ 3 ）等于零？ 解  s i n)1,1(co s)1,1()1,1(yx fflf 由方向导数的计算公式知 ,s i n)2(c o s)2( )1,1()1,1(  xyyx  s i nc o s ),4s i n(2 故 （ 1 ）当 4 时，方向导数达到最大值 2 ;（ 2 ）当 45  时，方向导数达到最小值 2 ;（ 3 ）当 43  和 47  时，方向导数等于 0 .对于三元函数 ),,( zyxfu  ，它在空间一点),,( zyxP 沿着方向 L 的方向导数 ，可定义为,),,(),,(lim0 zyxfzzyyxxflf 推广可得三元函数方向导数的定义 （ 其中 222 )()()( zyx  ） 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有.c o sc o sc o s zfyfxflf设方向 L 的方向角为  ,,,c o s  x ,c o s  y ,c o s  zxfxfxzx )0,0()0,(lim0)0,0(.||l i m0 xxx 同理： )0,0(yz yyy ||l i m0故两个偏导数均不存在 .例 　讨论函数22),( yxyxfz  在 )0,0(点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？解 沿任意方向 },,{ zyxl  的方向导数 ,)0,0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx故沿任意方向的方向导数均存在且相等 .此例说明 :1、方向导数存在时，偏导数不一定存在 . 2、可微是方向导数存在的充分条件，而不 是必要条件 . 3、函数在一点连续，不是方向导数存在的 必要条件，更不是充分条件。

定义 设函数 ),( yxfz  在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 DyxP ),( ，都可定出一个向量 jyfixf ，这向量称为函数),( yxfz  在点 ),( yxP 的梯度，记为),( yxg r a d f jyfixf .三、梯度的概念 ?: 最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题 P s i nc o s yfxflf  }s i n,{ c o s},{  yfxfeyxgr ad f  ),( ,c o s|),(| yxgr ad f其中 )),(( , eyxg r a d f 当 1)),,(cos( eyxgradf  时， lf 有最大值 .设 jie   sincos  是方向 l 上的单位向量， 由方向导数公式知. , y)( x , darg e 取最大值的方向重合时与即当 lff 00darg m a x PPflf 且 .上的投影导数等于梯度在方向的方向处沿方向在点可见：llPf 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致 , 而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为22|),(| yfxfyxgr adf .结论 当 xf 不为零时，x 轴到梯度的转角的正切为　xfyft a n ．gradfgradfP 三元函数 ),,( zyxfu  在空间区域 G 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 GzyxP ),,( ，都可定义一个向量 ( 梯度 ).),,( kzfjyfixfzyxg r a d f类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值 . 梯度的概念可以推广到三元函数 例 求函数 yxzyxu 2332 222  在点 )2,1,1( 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？ 解 由梯度计算公式得 kzujyuixuzyxgr ad u ),,(,6)24()32( kzjyix  故 .1225)2,1,1( kjigr adu  在 )0,21,23(0 P 处梯度为 0 .vg r a dug r a dvug r a d   )()1(:,,,, 法则梯度运算具有以下运算为常数可微设 vuug r a dvvg r a duvug r a d ).()2(ug r a dufufg r a d )(')()3( 解 ?,,),,(0000222222模此方向导数等于梯度的具有什么关系时的方向导数，问的向径处沿点在点求cbarzyxMczbyaxu 例   ,,,, 2020200000 0 zyxrzyxr .c o s,c o s,c o s000000rzryrx  处的方向导数为在点 M c o sc o sc o s0MMMM zuyuxuru002000200020 222rzczrybyrxax  )(2222222000czbyaxr .),,(2 202020000 zyxzyxu处的梯度为在点 Mkzujyuixug r a d u MMMM ,222 2 02 02 0 kczjb yiax ,2 424242000czbyaxg r a d uM ,时当 cba  ,2 2222 000 zyxag r a d u M ,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxaruM ,0MM g r a d uru .,,, 模此方向导数等于梯度的相等时故当 cba。